大專應(yīng)用數(shù)學(xué)試卷

大專應(yīng)用數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列哪個(gè)函數(shù)不是初等函數(shù)？

A.$e^x$

B.$\lnx$

C.$\sqrt{x}$

D.$x^3$

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，下列哪個(gè)函數(shù)有最大值？

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=-x^2$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=-x^3$

3.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)是增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)的符號為：

A.正

B.負(fù)

C.零

D.無定義

4.若函數(shù)$f(x)=\lnx$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)是減函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)的符號為：

A.正

B.負(fù)

C.零

D.無定義

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f'(x)$在$x=1$處的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

6.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)是增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)的符號為：

A.正

B.負(fù)

C.零

D.無定義

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f''(x)$在$x=1$處的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

8.若函數(shù)$f(x)=\lnx$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)是減函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)的符號為：

A.正

B.負(fù)

C.零

D.無定義

9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)是增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$內(nèi)的符號為：

A.正

B.負(fù)

C.零

D.無定義

10.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f''(x)$在$x=1$處的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

二、判斷題

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，所有奇次冪函數(shù)都是增函數(shù)。（）

2.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）

3.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（）

4.對數(shù)函數(shù)$f(x)=\lnx$的圖像在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

5.若函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$恒大于0，則函數(shù)$f(x)$在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

三、填空題

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______。

2.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$等于______，則$f(x)$在其定義域內(nèi)是______函數(shù)。

3.函數(shù)$f(x)=e^x$的積分表達(dá)式為______。

4.若函數(shù)$f(x)=\lnx$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)是增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)的值______。

5.二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的判別式$\Delta=b^2-4ac$，當(dāng)$\Delta=0$時(shí)，函數(shù)的圖像與x軸______。

四、簡答題

1.簡述導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。

2.如何求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？請舉例說明。

3.簡述積分的概念及其與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

4.如何判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性？請舉例說明。

5.簡述二次函數(shù)的性質(zhì)，包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向等。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)$f'(2)$。

2.求函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的積分$\intf(x)\,dx$。

3.計(jì)算定積分$\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx$。

4.求函數(shù)$f(x)=e^x\sinx$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。

5.解微分方程$\frac{dy}{dx}=3xy^2$，并給出初值條件$y(0)=1$。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=1000+10x+0.1x^2$，其中$x$為生產(chǎn)的數(shù)量。該產(chǎn)品的售價(jià)為$50$元/件，市場需求函數(shù)為$D(x)=200-0.5x$。

（1）求該公司的收益函數(shù)$R(x)$。

（2）求該公司的利潤函數(shù)$L(x)$。

（3）求利潤最大化時(shí)的生產(chǎn)數(shù)量$x$。

（4）根據(jù)以上分析，給出公司生產(chǎn)決策的建議。

2.案例背景：某城市居民用水量與水費(fèi)的關(guān)系如下：當(dāng)用水量$x$小于等于30立方米時(shí)，水費(fèi)為$4$元/立方米；當(dāng)用水量$x$大于30立方米時(shí)，超過部分按$6$元/立方米計(jì)費(fèi)。

（1）求居民用水量$x$為30立方米時(shí)的水費(fèi)。

（2）求居民用水量$x$為40立方米時(shí)的水費(fèi)。

（3）若居民用水量為$x$立方米，求水費(fèi)$y$的表達(dá)式。

（4）討論水費(fèi)$y$隨用水量$x$的變化規(guī)律，并說明原因。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為$1000$元，每件產(chǎn)品的變動(dòng)成本為$10$元，售價(jià)為$20$元。求：

（1）求該公司的總成本函數(shù)$C(x)$，其中$x$為生產(chǎn)的數(shù)量。

（2）求該公司的收入函數(shù)$R(x)$。

（3）求該公司的利潤函數(shù)$L(x)$。

（4）求利潤最大化時(shí)的生產(chǎn)數(shù)量$x$。

2.應(yīng)用題：一個(gè)物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度$a=2$米/秒2。求：

（1）物體在第3秒末的速度$v$。

（2）物體在前5秒內(nèi)所走的距離$s$。

（3）物體在速度達(dá)到10米/秒時(shí)所走的距離$s$。

3.應(yīng)用題：某市計(jì)劃修建一條新的高速公路，預(yù)計(jì)成本為$5000$萬元，預(yù)計(jì)使用年限為20年。假設(shè)每年的維護(hù)費(fèi)用為$250$萬元，并且每年遞增$5\%$。求：

（1）求每年的總費(fèi)用函數(shù)$F(t)$，其中$t$為年數(shù)。

（2）求20年內(nèi)的總費(fèi)用。

（3）若高速公路的折舊率為每年$2\%$，求高速公路的凈現(xiàn)值。

4.應(yīng)用題：某城市居民用電量與電費(fèi)的關(guān)系如下：基礎(chǔ)用電量為每月$100$千瓦時(shí)，基礎(chǔ)電費(fèi)為$30$元；超出基礎(chǔ)用電量部分按$0.5$元/千瓦時(shí)計(jì)費(fèi)。求：

（1）求居民每月用電量為$150$千瓦時(shí)的電費(fèi)。

（2）求居民每月用電量為$200$千瓦時(shí)的電費(fèi)。

（3）若居民每月用電量為$x$千瓦時(shí)，求電費(fèi)$y$的表達(dá)式。

（4）討論電費(fèi)$y$隨用電量$x$的變化規(guī)律，并說明原因。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.D

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.A

9.A

10.D

二、判斷題答案

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題答案

1.(2,-5)

2.$-\frac{1}{x^2}$，減

3.$\inte^x\,dx=e^x+C$

4.大于0

5.相切

四、簡答題答案

1.導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。幾何意義上，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的切線斜率。

2.求導(dǎo)數(shù)的方法：基本導(dǎo)數(shù)公式、鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則、商法則等。

3.積分概念：積分是求函數(shù)在某一區(qū)間上的累積變化量。與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)是積分的反函數(shù)，積分可以看作是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。

4.判斷單調(diào)性的方法：通過求導(dǎo)數(shù)，觀察導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若導(dǎo)數(shù)恒大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)恒小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。

5.二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，對稱軸為$x=-\frac{2a}$，開口方向由系數(shù)$a$決定，$a>0$時(shí)開口向上，$a<0$時(shí)開口向下。

五、計(jì)算題答案

1.$f'(2)=12-12+9=9$

2.$\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx+C$

3.$\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x^2+x\right]_0^1=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}$

4.$f'(x)=e^x\cosx+e^x\sinx$

5.$y=\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{3}$

六、案例分析題答案

1.（1）收益函數(shù)$R(x)=50x-10x-0.1x^2=40x-0.1x^2$

（2）利潤函數(shù)$L(x)=R(x)-C(x)=(40x-0.1x^2)-(1000+10x+0.1x^2)=30x-0.2x^2-1000$

（3）利潤最大化時(shí)，$L'(x)=30-0.4x=0$，解得$x=75$。

（4）建議公司生產(chǎn)75件產(chǎn)品以實(shí)現(xiàn)利潤最大化。

2.（1）$v=at=2\times3=6$米/秒

（2）$s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\times2\times5^2=25$米

（3）$s=\frac{v^2}{2a}=\frac{10^2}{2\times2}=25$米

3.（1）$F(t)=5000+250(1+0.05)^{t-1}$

（2）$F(20)=5000+250(1+0.05)^{19}\approx7900$萬元

（3）凈現(xiàn)值$NPV=\sum_{t=1}^{20}\frac{F(t)}{(1+0.02)^t}\approx5300$萬元

4.（1）電費(fèi)$y=30+0.5\times50=40$元

（2）電費(fèi)$y=30+0.5\times100=80$元

（3）$y=30+0.5(x-100)$

（4）電費(fèi)隨用電量增加而增加，超出基礎(chǔ)用電量后，電費(fèi)增加速度加快。

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

一、選擇題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和運(yùn)用能力，如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等。

二、判斷題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概