2023-2024學(xué)年北京市八年級上期中數(shù)學(xué)分類匯編：新情境新定義（原卷版）

2023?2024學(xué)年北京市八年級上期中數(shù)學(xué)分類一一新情境新定義

1.(2023秋?北京四中期中)為了比較兩個實數(shù)的大小，常用的方法是判定這兩個數(shù)的差的符號，我們稱

這種方法為“作差比較法”.要比較兩個代數(shù)式的大小，同樣可以采用類似的方法.因此，可以利用不

等式比較大小.如果要證明/>3,只需要證明/-8>0；同樣的，要證明只需要證明

例如：

小明對于命題：任意的實數(shù)0和6,總有片+廬》2a6,當(dāng)a=6并且只有a=6時，等號成立，給出了如

下證明：

證明：'.'a2+b2-2ab—(a-b)2^0,

a2+b2^2ab,當(dāng)a=6并且只有a=6時，等號成立.

(1)請仿照小明的證明方法，證明如下命題：

若a,b,x,y20,且則(a-x)2+(b-y)Ca+b-x)2+y2.

(2)若...》即20,bi2b22....，瓦20,

==

JEL。1+。2+...+anb\+bi+...+bn1>

求(ai-bi)2+(02-62)2+...+(a”-bn)2的最大值.

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2.（2023秋?北京師大附屬實驗中學(xué)期中）我國古代數(shù)學(xué)曾有許多重要的成就，其中“楊輝三角”（如圖）

就是一例.這個三角形給出了（。+6）"（〃=0,1,2,3,4,5,6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順

序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，第三行的三個數(shù)1,2,1,恰好對應(yīng)（a+b）2=片+2仍+店展開式中各項

的系數(shù)；第五行的五個數(shù)1,4,6,4,1,恰好對應(yīng)著（a+b）4=a4+4a36+6a2y+4仍3+方4展開式中各項

的系數(shù).

（1）（a+b）5展開式中03廬的系數(shù)為；

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3.(2023秋?北京師大附屬實驗中學(xué)期中)對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一

個數(shù)學(xué)等式，例如由圖①可以得到Q+b)(a+26)=a2+3ab+2b2.請回答下面的問題:

ba

a廠

<2口bb

ba

圖1圖2圖3

(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)公式.

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+6+c=10,aW+c2=64,求仍+ac+6c的值.

(3)圖③中給出了若干個邊長為。和邊長為6的小正方形紙片，若干個長為6,寬為。的長方形紙片,

利用所給的紙片拼出一個幾何圖，使得計算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式(2a+b)(3a+26)=6a2+7ab+2b2.

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4.(2023秋?北京四中期中)閱讀下列材料：

對于多項式，+x-2,如果我們把x=l代入此多項式，發(fā)現(xiàn)d+x-2的值為0,這時可以確定多項式中

有因式(x-1)；同理，可以確定多項式中有另一個因式(x+2),于是我們可以得到：/+x-2=(x-1)

(x+2).

又如：對于多項式2/-3x-2,發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時，2/-3x-2的值為0,則多項式27-3x-2有一個因

式(x-2),我們可以設(shè)2?-3x-2=(x-2)(mx+n),解得機(jī)=2,n=1.

于是我們可以得到：2x2-3x-2=(x-2)(2x+l)

請你根據(jù)以上材料，解答以下問題：

(1)當(dāng)》=時，多項式6f-x-5的值為0,所以多項式6/-X-5有因式,從而

因式分解6x2-x-5=；

(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，常用來分解一些比較復(fù)雜的多項式，請你嘗試用試根法分

解多項式：x3-7x+6.

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5.（2023秋^一學(xué)校期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P,點M給出如下定義：如果點P與原點

。的距離為。，點M與點P的距離是。的左倍“為整數(shù)），那么稱點M為點P的。倍關(guān)聯(lián)點

（1）當(dāng)p（2.5,0）時，

①如果點尸1的4倍關(guān)聯(lián)點M在x軸上，那么點M的坐標(biāo)為；

②如果點是點Pi的左倍關(guān)聯(lián)點，且滿足x=2.5,54y46/7,那么整數(shù)k的最大值為;

（2）已知在RtZX/BC中，ZABC=90°,ZACB=3Q°,A（2b-1,0）,B（26+1，0）.若放（-1,

0）,且在△4BC的邊上存在點P2的4倍關(guān)聯(lián)點0,求6的取值范圍.

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6.(2023秋?首師大二附中期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P,。分別在線段O/,08上，如果存在

點M使得(點M,P,。逆時針排列)，則稱點〃是線段尸。的“關(guān)聯(lián)點”,

如圖1,點M是線段尸。的“關(guān)聯(lián)點”.

(1)如圖2,已知點/(4,4),B(8,0),點P與點N重合.

①當(dāng)點。是線段03中點時，在Mi(4,2),跖(6,2)中，其中是線段P。的“關(guān)聯(lián)點”的是；

②已知點M(8,4)是線段P。的“關(guān)聯(lián)點”，則點。的坐標(biāo)是.

(2)如圖3,已知。/=。2=4,NAOB=6Q°.

①當(dāng)點尸與點N重合，點。在線段08上運動時(點。不與點。重合)，若點M是線段P。的“關(guān)聯(lián)

點”，判斷線段與。/的位置關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點P。分別在線段CU,08上運動時，直接寫出線段P0的“關(guān)聯(lián)點”M形成的區(qū)域的周長.

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7.(2023秋?匯文中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點/,B,C我們給出如下定義：“橫

長”?：三點中橫坐標(biāo)的最大值與最小值的差，“縱長”6：三點中縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差.若三

點的橫長與縱長相等，我們稱這三點為正方點.

例如：點/(-2,0),點3(1,1),點C(-1,-2),則4,B,C三點的“橫長"。=|1-(-2)|

=3,A,B,C三點的“縱長"6=|1-(-2)|=3,因為。=6,所以/,B,C三點為正方點.

(1)在點R(3,5),S(3,-2),7(-4,-3)中，與點4,3為正方點的是；

(2)點尸(0,/)為y軸上一動點，若/,B,尸三點為正方點，貝心的值為；

(3)已知點。(1,0).平面直角坐標(biāo)系中的點￡滿足以下條件：點/,D,￡三點為正方點，且a=b

=3.

①在圖中畫出所有符合條件的點E組成的圖形;

②當(dāng)△/QE為等腰三角形時，稱E點為等腰正方點，直接寫出所有位于x軸上方的等腰正方點.

yAyA

3-3-

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8.(2023秋?八一學(xué)校期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點尸，點M給出如下定義：如果點尸與原點

。的距離為。，點M與點P的距離是。的左倍“為整數(shù))，那么稱點〃為點P的“左倍關(guān)聯(lián)點”.

(1)當(dāng)尸1(-1.5,0)時，

①如果點Pi的3倍關(guān)聯(lián)點M在x軸上，那么點M的坐標(biāo)為.

②如果點是點尸i的4倍關(guān)聯(lián)點，且滿足了=-1.5,-20W4,那么整數(shù)人的最大值為:

(2)已知在RtzMBC中，ZABC=90°,ZACB=30°,A(b,0),B(6+1,0).若尸2(7,0)

且在A/BC的邊上存在點尸2的2倍關(guān)聯(lián)點0,求6的取值范圍.

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-1012345f

-1-

一2-

-3-

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9.(2023秋?文匯中學(xué)期中)在平面中，對于點M,N,P,若/MPN=90。，且PM=PN,則稱點尸是點

M和點N的“垂等點”.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

(1)已知點M-3,2),點N(1,0),則點為(0,3),尸2(-2,-1),P3(-5,-2)中是點M

和點N的“垂等點”的是；

(2)已知點/(-4,0),B(0,b)(6>0).

①若在第二象限內(nèi)存在點C,使得點8是點N和點C的“垂等點”，寫出點C的坐標(biāo)(用含b的式子

表示)，并說明理由；

②當(dāng)6=4時，點。，點E是線段/。，8。上的動點(點。，點E不與點N,B,。重合).若點歹是

點。和點E的“垂等點”，直接寫出點尸的縱坐標(biāo)/的取值范圍.

yA

GL

r-r-rr-r1Irr-r-r-r

9

r_n-r-nr

aIIIII

n_r-r-rn

7II-I-II

r_rrrr

6II-I-II

r_rrrr

2

--L-2-3-4-5-6x

11111k

r-r-r-r-r-^z~

_'_b_

備用圖1備用圖2

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10.(2023秋?東城區(qū)171中學(xué)期中)平面直角坐標(biāo)系xQy中，等邊△/8C的頂點/在y軸正半軸上，頂

點、B、C都在x軸上，給出如下定義：若點P為x軸上一點，且點尸與△/2C的一個頂點的距離恰好等

于△48C的邊長，則稱點尸為△N3C的友好點，這個距離稱為點P和△/BC的友好距離，記作d.

(1)若點P和△NBC的友好距離4=6,寫出△NBC的頂點2的坐標(biāo),頂點C的坐

標(biāo);

(2)如圖，等邊△/2C的頂點2坐標(biāo)為(-1,0),頂點C坐標(biāo)為(1,0),

①在尸1(-3,0),Pi(-1,0),P3(2,0)中，△/8C的友好點是；

②己知點￡坐標(biāo)為(m,0),點尸坐標(biāo)為(m+4,0),若線段￡尸上恰有兩個△/3C的友好點，直接寫

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IL（2023秋?師大附中期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（xo,川），若存在點Pi（xi,yi）、Pi

（X2,夕2）,滿足關(guān)系：xo-xi=xi-xi,yo-yi=yi-J2,則稱點P為以尸i和尸2為端點的線段的關(guān)聯(lián)點.

（1）線段。的兩個端點坐標(biāo)分別為（1,2）和（3,-2）,則下列點是線段。的關(guān)聯(lián)點的是；

（填寫序號即可）

①尸1（-1,6）；②P2（2,0）；③P3（4,-4）；④尸4（5,-6）.

（2）已知點/（2,2）,點8在過點/且垂直于〉軸的直線上，M（m,2）,N（m+1,2）.

①如圖1,當(dāng)加=0時，點M是線段的關(guān)聯(lián)點，求滿足條件的點3的坐標(biāo)；

②如圖2,點。（5,2）,在線段4D任取兩點連接的線段中，若線段上存在其中某條線段的關(guān)聯(lián)

點，直接寫出m的取值范圍.

y、

4-4-

cMA

L-?2。.-A?-------------D?

025力025x

圖1圖2

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12.(2023秋?北師大二附西城實驗學(xué)校期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于給定的兩點尸，Q,若存在

點使得△VP0的面積等于1,即S△必0=1,則稱點M為線段P。的“單位面積點”，解答下列問

題：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(1,0).

(1)在點/(I,2),8(-1,1),C(-1,-2),。(2,-4)中，線段OP的“單位面積點”是；

(2)已知點￡(0,3),F(0,4),將線段O尸沿y軸向上平移/。＞0)個單位長度，使得線段斯上

存在線段OP的“單位面積點”，直接寫出/的取值范圍.

(3)已知點。(1,-2),H(0,-1),點跖N是線段尸0的兩個“單位面積點”，點M在的延

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13.(2023秋?三帆中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點尸(x,y)和數(shù)6,將點。(-x,y+6)

稱為點尸的“6-關(guān)聯(lián)點”.例如，點(1,-1)的“3-關(guān)聯(lián)點”為(-1,2).

(1)若點0是點尸(3,2)的“1-關(guān)聯(lián)點”，則點。的坐標(biāo)為；

(2)P(-1,t-1),N⑵，5t)的“6-關(guān)聯(lián)點”分別是點尸1,Ni,且點尸1在x軸上，△OPM的

面積為1,求才和6的值；

(3)點/(1,-1),5(5,-1),以AB為邊在直線48的下方作正方形48CD,點E(-4,0),尸

(-3,2),G(-2,1)的“6-關(guān)聯(lián)點”分別為Ei，F(xiàn)i,Gi，若△EFiGi與正方形48co的邊有公

共點，直接寫出b的取值范圍.

*A

X

4^一

L-;3-二

.

.-二

.

.U:

.T

備

用圖

第13頁(共25頁)

14.(2023秋701中學(xué)期中)設(shè)等腰三角形的底邊長為w,底邊上的高長為力，定義左=為為等腰三角形的

W

“胖瘦度”.設(shè)坐標(biāo)系內(nèi)兩點尸(xi，yi),Q(X2,”)，X1#X2,尹力”，若P，。為等腰三角形的兩個

頂點，且該等腰三角形的底邊與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱這個等腰三角形為點P,。的“逐夢三角形”.

(1)設(shè)是底邊長為2的等腰直角三角形，則△A8C的“胖瘦度”k=；

(2)設(shè)尸(5,0),點。為y軸正半軸上一點，若尸，。的“逐夢三角形”的“胖瘦度”左=5,直接寫

出點0的坐標(biāo)：；

(3)以x軸，y軸為對稱軸的正方形的一個頂點為/(a,a),且點/在第一象限，點P(12+L,

2

8+2),若正方形邊上不存在點。使得P,。的“逐夢三角形”滿足左=5且〃W5,直接寫出。

3

的取值范圍：.

第14頁(共25頁)

15.(2023秋?北京八中期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若點P和點P關(guān)于y軸對稱，點P和點22關(guān)

于直線/對稱，則稱點2是點尸關(guān)于y軸、直線/的“二次對稱點”.

(1)已知點/(3,5),直線/是經(jīng)過(0,2)且平行于x軸的一條直線，則點/〃為點/關(guān)于y軸，

直線/的“二次對稱點”，則點的坐標(biāo)為；

(2)如圖1,正方形/8C。的頂點坐標(biāo)分別是4(0,1),B(0,3),C(2,3),D(2,1)；點E的

坐標(biāo)為(1,1),若點M為正方形(不含邊界)內(nèi)一點，點為點M關(guān)于y軸，直線OE的''二

次對稱點"，則點M'的橫坐標(biāo)x的取值范圍是；

(3)如圖2,T(60)G20)是x軸上的動點，線段RS經(jīng)過點T,且點R、點S的坐標(biāo)分別是R(?)

1),S4,-1),直線/經(jīng)過(0,1)且與x軸夾角為60°,在點7的運動過程中，若線段RS上存在

點N,使得點N'是點N關(guān)于了軸，直線/的''二次對稱點"，且點N'在y軸上，則點N'縱坐標(biāo)y的

取值范圍是.

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16.（2023秋?人大附中朝陽學(xué)校期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/為一、三象限角平分線.點P關(guān)

于夕軸的對稱點稱為P的一次反射點，記作Pi,為關(guān)于直線/的對稱點稱為點P的二次反射點，記作

P2,例如，點、P（-2,5）的一次反射點為P（2,5）,二次反射點為P2（5,2）.根據(jù)定義，回答下

列問題：

（1）點（2,5）的一次反射點為，二次反射點為；

（2）若點/在第二象限，點小，血分別是點/的一次、二次反射點，/4。42=50°,求射線。/與

x軸所夾銳角的度數(shù).

（3）若點/在y軸左側(cè)，點小，山分別是點力的一次、二次反射點，△441出是等腰直角三角形，請

直接在平面直角坐標(biāo)系中畫出由符合題意的點/所構(gòu)成的圖形.

第16頁（共25頁）

17.(2023秋?陳經(jīng)綸中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/為一、三象限角平分線，點P關(guān)于y軸

的對稱點稱為P的一次反射點，記作為；P關(guān)于直線/的對稱點稱為點P的二次反射點，記作尸2.例

如，點(-2,5)的一次反射點為(2,5),二次反射點為(5,2).根據(jù)定義，回答下列問題：

(1)點(4,3)的一次反射點為,二次反射點為；

(2)當(dāng)點N在第三象限時，點M(-4,1),N(3,-1),。(-1,-5)中可以是點力的二次反射

點的是；

(3)若點/在第二象限，點〃，上分別是點/的一次、二次反射點，N/ICM2=40°,則射線0/與

x軸所夾銳角的度數(shù)是.

(4)若點/在y軸左側(cè)，點由，山分別是點/的一次、二次反射點，△//1血是等腰直角三角形，請

直接寫出點/在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置.

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18,(2023秋?十一學(xué)校分校期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點MG,y)到％軸和〉軸的距離的較大

值定義為點M的“相對軸距”，記為d(M).即:如果慟2例,那么d(M)=慟；如果慟V[y],那么d

(W=[y].例如：點M(1,2)的“相對軸距"d(M)=2.

(1)點尸(-2,1)的“相對軸距"d(尸)=；

(2)請在圖1中畫出“相對軸距”與點尸(-2,1)的“相對軸距”相等的點組成的圖形；

(3)已知點4(1,1),B(2,3),C(3,2),點N是△45。內(nèi)部(含邊界)的任意兩點.

①直接寫出點M與點N的“相對軸距”之比且如的取值范圍；

d(N)

②將△45C向左平移左(左＞0)個單位得到△/5C,點M與點N為△48C內(nèi)部(含邊界)的任意兩

點，并且點加與點”的“相對軸距”之比d(M')的取值范圍和點M與點N的“相對軸距”之比旦坦

d(『)d(N)

的取值范圍相同，請直接寫出左的取值范圍.

yk

6-

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-J^123456x

-2

-3

-4

-5

-6

圖1備用圖

第18頁(共25頁)

19.(2023秋?十一學(xué)校分校期中)對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的點尸(a,6)與圖形〃，我們給出如下定

義：若同》回.將圖形〃關(guān)于直線x=a對稱，得到圖形*'；若同〈回，將圖形7r向上平移|臼個單

位長度，得到圖形并稱〃'為圖形"的“斗轉(zhuǎn)星移圖”.

(1)點/(3,3)關(guān)于點(1,-2)的“斗轉(zhuǎn)星移圖”為；

(2)若點、B(5,-2)關(guān)于點(m+2,m)的“斗轉(zhuǎn)星移圖”坐標(biāo)為(5,6),求加的值；

(3)已知點C(2后，1),點。(2〃2+3,1),點P](n2-n+l,—)?點￡(“+1,3”)，點/(〃+1,

3〃+3),P2(A,-1),若線段CA關(guān)于點P的“斗轉(zhuǎn)星移圖”與線段跖關(guān)于點為的“斗轉(zhuǎn)星移圖”

無公共交點，則n的取值范圍是.

yA

5-

???iiA

23456%

第19頁(共25頁)

20.(2023秋?東直門中學(xué)期中)對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的點尸和圖形少，給出如下定義：圖形少關(guān)

于經(jīng)過點(m,0)且垂直于x軸的直線的對稱圖形為少，若點尸恰好在圖形沙上，則稱點P是圖形少

關(guān)于點(m,0)的“關(guān)聯(lián)點”.

(1)若點尸是點。(3,2)關(guān)于原點的“關(guān)聯(lián)點”，則點尸的坐標(biāo)為；

(2)如圖，在△/3C中，A(1,1),B(6,0),C(4,-2).

①點C關(guān)于x軸的對稱點為。，將線段3。沿x軸向左平移d(d>0)個單位長度得到線段所(E,F

分別是點3,。的對應(yīng)點)，若線段跖上存在兩個△/8C關(guān)于點(1,0)的“關(guān)聯(lián)點”，則d的取值范

圍是.

②已知點M(加+1,0)和點N(w+3,0),若線段MN上存在△/SC關(guān)于點(m,0)的“關(guān)聯(lián)點”，

求〃？的取值范圍.

■

T

A

2?)

—

4

1j

，

Ij

IT

—

r

第20頁(共25頁)

21.(2023秋?首師大附中期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M是x軸正半軸上的一個點，點M關(guān)于y

軸的對稱點記作點N.若在坐標(biāo)系內(nèi)有一點尸，使得則稱點P為點M的“a-關(guān)聯(lián)點”.如

圖1,點尸是點M的“50°-關(guān)聯(lián)點”.已知點/(4,0),B(t,0),其中/>0且/W4.

(1)下列各點中，是點/的“45°-關(guān)聯(lián)點”的是；

①尸1(0,4),②尸2(-b3),③P3(1,-3).

(2)若點。是點/的“90°-關(guān)聯(lián)點”，同時也是點3的“60°—關(guān)聯(lián)點”，當(dāng)N03OW3O°時，求才

的取值范圍；

(3)已知線段CD上總存在線段Z8上每個點的“30。一關(guān)聯(lián)點”，若CA的最小值為國，請直接寫出

2

f的值.

備用圖

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22.(2023秋?北京二中期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，稱過點(m,0)且與y軸平行的直線為直線x

=m,對于任意圖形G,給出如下定義：將圖形G先沿直線翻折得到圖形Gi,再將圖形Gi沿第一、

三象限的角平分線翻折得到圖形G2,則稱圖形Gi是圖形G的單變換圖形，圖形G2是圖形G的雙變換圖

形.

已知點-1),B(m-2,-1),C(w-2,2).

(1)當(dāng)加=1時，點C的單變換圖形點Ci的坐標(biāo)為,雙變換圖形點C2的坐標(biāo)

為;

(2)用含加的式子表示點C的雙變換圖形點C2的坐標(biāo)為.

(3)當(dāng)△/8C單變換圖形Gi與雙變換圖形G2有公共點時，求出機(jī)的取值范圍；

(4)若△NBC的雙變換圖形上只存在兩個與x軸的距離為2的點，直接寫出機(jī)的取值范圍.

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23.(2023秋?北京師大附屬實驗中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/表示過(0,m)且垂直于y

軸的直線，對某圖形上的點尸(a,b)作如下變換：當(dāng)aWH時，作點P(。，6)關(guān)于直線/的對稱點

尸1,稱為I(加)變換；當(dāng)。>|訓(xùn)時，作點P(a,b)關(guān)于y軸的對稱點尸2,稱為H(m)變換，若某

個圖形上既有作I(機(jī))變換的點，又有作II(M)變換的點，則稱此圖形為加-雙變換圖形.例如，

已知/(4,1),5(-1,-1),如圖1所示，當(dāng)機(jī)=2時，點/應(yīng)作H(2),變換后為由(-4,1)；

點8應(yīng)作I(2)變換，變換后為由(-1,5).

(1)當(dāng)"2=1時，

①已知點P(-1,0),則P作相應(yīng)變換后的坐標(biāo)為；

②若點尸(a,b)作相應(yīng)變換后的點的坐標(biāo)為(-2,-1),則點P的坐標(biāo)為；

(2)已知C(1,5),D(4,2),

①若線段CD是m-雙變換圖形，則m的取值范圍為；

②己知點E(-m,m)(m<0)在第四象限角平分線上，若△CDE及其內(nèi)部(點E除外)組成的圖形

是m-雙變換圖形，且變換后所得圖形記為F,直接寫出所有圖形/所覆蓋的區(qū)域的面積為.

2

5-

4-

3-

2

4J1-tA

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-5-4-3-2-1012345^

B--1-

-2-