2022年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：數(shù)與式附答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：數(shù)與式

選擇題（共io小題）

s+s+??,+S

1.（2021?任城區(qū)二模）記5及=41+〃2+???+劭，令Tn=—i-----.............-,則為41,CL2,…，

n

an,這列數(shù)的“凱森和”.已知。2,…〃500的“凱森和”為2004,那么18,a\,ai,…

4500的“凱森和”為（）

A.2018B.2019C.2020D.2021

2.（2021?婁底模擬）a是不為1的有理數(shù),我們把」一稱為a的差倒數(shù),如2的差倒數(shù)為。

l_a1_2

=-1,-1的差倒數(shù)——J、已知。1=5,42是的差倒數(shù)，〃3是42的差倒數(shù)，

1-（-1.：12

44是〃3的差倒數(shù)…，依此類推，42020的值是（）

A.AB.-AC.AD.5

543

3.（2021?陽谷縣一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為

“楊輝三角”，這個“三角形”給出了Q+b）nCn=l,2,3,4,???）的展開式的系數(shù)

規(guī)律（按”的次數(shù)由大到小的順序）.

11(a+b)i=a+b

121(a+))2=屏+2而+出

1331(〃+))3=a5+3屏方+iab2+b3

14641(〃+i)4=a^+4(fb+6a1b2+4ab3+bA

請依據(jù)上述規(guī)律，寫出毆工）2021展開式中含/019項的系數(shù)是（）

X

A.-2021B.2021C.4042D.-4042

4.（2021?開平區(qū)一模）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10……這樣的數(shù)稱為“三

角形數(shù)”，而把1,4,9,16…….這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個

大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，根據(jù)上面

的規(guī)律，用含有〃（〃為大于等于1的整數(shù)）的等式表示上面關(guān)系正確的是（）

4=1+39=3+616=6+10

A.〃+〃+2="2

B.n(n+3)=n2

C.31)(n-1)=n2-1

n(n+l)(n+1)(n+1+1),2

D.--------2---------=(n+l)

22”

5.(2021?懷寧縣模擬)已知實數(shù)aWbWcWO,且滿足￡=a+6,￡_=b+6,貝i]y——-也

abccc

的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2021?渝中區(qū)校級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,

則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

7.(2021?嘉善縣一模)已知一列數(shù)al,ai,03,…，具有如下規(guī)律:a2n+t~an+an+l,a2n

=a,i("是正整數(shù)).若＜71=1,則437的值為()

A.1B.5C.7D.11

8.(2021?云南模擬)觀察下列關(guān)于尤的單項式，探究其規(guī)律：

-x,47,-7x3,10x4,-13%5,16/，...

按照上述規(guī)律，則第2020個單項式是()

A.606lx2020B.-606lx2020C.6058%2020D.-6O58x2020

9.(2020?江漢區(qū)模擬)把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組，(1),(3,5,7),

(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31)…，若AM=(i,j)表示正奇

數(shù)M是第，?組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，若由=(2,3),則42019=()

A.(32,26)B.(32,49)C.(45,42)D.(45,80)

10.（2020?新野縣三模）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分［如圖

（1）］,畫2條直線，最多能把白紙分成4部分［如圖（2）］,畫3條直線，最多能把白

紙分成7部分［如圖（3）］,當(dāng)在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）部

分.

（1）（2）（3）

A.190B.191C.210D.211

二.填空題（共5小題）

11.（2021?北京模擬）《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時期重要的數(shù)學(xué)專著，其中包含了“雞兔

同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學(xué)問題.《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三

數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除

以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的正整數(shù).”請用含有上的代數(shù)式表示滿

足條件的所有正整數(shù).

孫

子

算

經(jīng)

12.（2021?洪澤區(qū)二模）將2021個邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點A,Ai,

Ai,A3,…，A2021和點M,M\,Mi,…，M2020是正方形的頂點，連接AA/i,AMi,AM3,…,

AM2020,分別交正方形的邊AiM,A2M1,MMi,???,A2020M2019于點M,Ni,N3,…，

N2020,則N2020A2020長為.

13.（2021?徐匯區(qū)二模）古希臘數(shù)學(xué)家把下列一組數(shù)：1、3、6、10、15、21、…叫做三角

形數(shù)，這組數(shù)有一定的規(guī)律性，如果把第一個三角形數(shù)記為XI,第二個三角形數(shù)記為

XI,???,第W個三角形數(shù)記為切，那么%-1+X”的值是（用含W的式子表示）.

14.（2021?長沙模擬）規(guī)定：在一個矩形中，先剪下一個最大的正方形稱為裁剪1次，再在

剩余的圖形中剪下一個最大的正方形稱為裁剪2次，……依次進(jìn)行，若裁剪〃次后，最

后剩余的圖形也是一個正方形，我們把這樣的矩形稱為完美矩形.已知在完美矩形中，

兩條相鄰邊長分別為4,a,若。=7,則Jn=；若1<?<3,且〃=3,貝！Ja=.

15.（2021?咸寧模擬）下面是一組有規(guī)律的算式，根據(jù)其中規(guī)律，第"個算式為：12+22+32+...

+n2=.

12=1X2蟲;第1個算式

6

12+22=2義論5；第2個算式

6

12+22+32=3X4X7；第3個算式

6

2222

1+2+3+4=4X5X9；第4個算式

6

三.解答題（共5小題）

16.（2021?五蓮縣模擬）（1）計算：

（_]_）2021+（-2）?+（⑶14-兀）0-4cos30°+12-V12I;

222

（2）先化簡，再求值a-jab”.aabg,其中°,6滿足Q-2）向=（）?

17.（2021?重慶模擬）一個三位自然數(shù)a,滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和不超過10,并且個位數(shù)

字與百位數(shù)字不同，我們稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.將。的個位數(shù)字與百位數(shù)字交換得到一

個新數(shù)。'，記G（a）=生工-例如，當(dāng)a=125時，a'=521,G（125）=l±5-5z.l=

1111

-36；當(dāng)a=370時，a'=73,G（370）=3"。-在=27.

11

（1）判斷236（選填“是”或“不是”）完美數(shù)，計算G（321）=；

（2）已知兩個“完美數(shù)”m,n,滿足m=l00a+10+b,n=100c+d（0Wb<aW9,OWc

W9,0WdW9,a,b,c,d為整數(shù)）,若G（m）能被7整除，且GCm）+G（n）=9（d+2）,

求優(yōu)-〃的最小值.

18.（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第

一位的數(shù)稱為第一項，記為ai,排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為。2,依次類推，排在

第"位的數(shù)稱為第”項，記為所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：?1,。2,。3,…，

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1,3,

5,7,…為等差數(shù)列，其中41=1,〃4=7,公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

(1)等差數(shù)列5,10,15,…的公差d為,第5項是.

(2)如果一個數(shù)列41,及，〃3,…，礪…，是等差數(shù)列，且公差為d,那么根據(jù)定義可

至:42—=d,〃3—42=d,Q4—〃3=d,***,Cln~-1=d,***.

所以a2=ai+d,

〃3=〃2+d=(〃i+d)+d=〃i+2d,

〃4=〃3+d=(〃i+2d)+d=ii+3d,

由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：即=〃1+()d.

(3)-4040是不是等差數(shù)列-5,-8,-11…的項？如果是，是第幾項？

(4)如果一個數(shù)列二,a2,03,…，an---,是等差數(shù)列，且公差為d,前〃項的和記為

Sn,請用含41,幾,d的代數(shù)式表示S〃，Sn=.

19.(2021?重慶模擬)任意一個正整數(shù)小都可以表示為：n=aXbXcQaWbWc,a,b,c

均為正整數(shù))，在〃的所有表示結(jié)果中，如果|26-(〃+c)|最小，我們就稱aXbXc是〃

的“階梯三分法”，并規(guī)定：F(?)=生工，例如：6=1X1X6=1X2X3,因為|2X1-

b

(1+6)|=5,|2X2-(1+3)|=0,5>0,所以1X2X3是6的階梯三分法，即/(6)

=lt3=2.

2

(1)如果一個正整數(shù)p是另一個正整數(shù)g的立方，那么稱正整數(shù)p是立方數(shù)，求證：對

于任意一個立方數(shù)比，總有尸(m)—2.

(2)，是一個兩位正整數(shù)，r=10x+y(1WXW9,0WyW9,且xNy,x+yW10,x和y均

為整數(shù))，r的23倍加上各個數(shù)位上的數(shù)字之和，結(jié)果能被13整除，我們就稱這個數(shù)t

為“滿意數(shù)”，求所有“滿意數(shù)”中尸C)的最小值.

20.(2021?威遠(yuǎn)縣一模)閱讀下列材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項，記為m,依此類

推，排在第w位的數(shù)稱為第〃項，記為斯.

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（qWO）.如:

數(shù)列1,3,9,27,…為等比數(shù)列，其中m=l,公比為q=3.

然后解決下列問題.

（1）等比數(shù)列3,6,12,…的公比q為,第4項是.

（2）如果已知一個等比數(shù)列的第一項（設(shè)為fli）和公比（設(shè)為《）,則根據(jù)定義我們可

依次寫出這個數(shù)列的每一項：ai,a\q,ax'q1,….由此可得第"項即=（用

ai和q的代數(shù)式表示）.

（3）若一等比數(shù)列的公比4=2,第2項是10,求它的第1項與第4項.

（4）己知一等比數(shù)列的第3項為12,第6項為96,求這個等比數(shù)列的第10項.

2022年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：數(shù)與式

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

s+s+???+s

1.(2021?任城區(qū)二模)記即=〃1+〃2+3+即，令----------—,貝!］及為ai,…，

n

an,這列數(shù)的“凱森和”.已知41,a2,…“500的“凱森和”為2004,那么18,m,ai,…

4500的“凱森和”為()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【分析】先根據(jù)已知求出了500的值，再設(shè)出新的凱森和小，列出式子，把得數(shù)代入，即

可求出結(jié)果.

++

【_解答_】解E：?.?"=」S1_+S9J--?-.-.---S巴?，

n

7500=2004,

???51+52+……+5500=2004X500=1002000,

18,ai,CL2,…4500的“凱森和”為

18+(18+S1)+(18+S2)+..........+(18+S500)

T501=501

18X501+S?+S2+--?■+S5QQ

―501

=18X501+1002000

501

=18+2000

=2018.

故選：A.

【點評】此題考查了數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是掌握“凱森和”這個新概念，找出其

中的規(guī)律，再根據(jù)新概念對要求的式子進(jìn)行變形整理即可.

2.(2021?婁底模擬)a是不為1的有理數(shù),我們把」一稱為a的差倒數(shù),如2的差倒數(shù)為。

l_a1_2

=-1,-1的差倒數(shù)一=1,已知。1=5,及是的差倒數(shù)，6Z3是?2的差倒數(shù)，

1-(-1)2

“4是。3的差倒數(shù)…，依此類推，Q2020的值是()

A.AB.-Ac.AD.5

543

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；倒數(shù).

【專題】規(guī)律型；數(shù)感；運算能力.

【分析】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次

循環(huán)，用2020除以3,根據(jù)余數(shù)的情況確定出與。2020相同的數(shù)即可得解.

【解答】解：：ai=5,

〃2=11

4

4

1-號)5

〃445

數(shù)列以5,-X芻三個數(shù)依次不斷循環(huán),

45

V20204-3=673-l,

??42020==5,

故選：D.

【點評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個數(shù)為一個循環(huán)

組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?陽谷縣一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為

“楊輝三角”，這個“三角形”給出了（〃+方）〃（〃=1,2,3,4,…）的展開式的系數(shù)

規(guī)律（按九的次數(shù)由大到小的順序）.

11(a+))i=a+b

121(a+>)2=屏+2々匕+b2

1331(a+i)3=a5+3屏匕+3a^+b3

14641(a+i)4=a^+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

請依據(jù)上述規(guī)律，寫出（X」-）2021展開式中含尤2019項的系數(shù)是（）

X

A.-2021B.2021C.4042D.-4042

【考點】完全平方公式；數(shù)學(xué)常識；規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】規(guī)律型；猜想歸納；整式；數(shù)感；運算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析歸納.

2020

【解答】解：由題意得，含/019項為2021x.（2）=-4042/019.

X

（X」-）2021展開式中含7019項的系數(shù)是-4042.

x

故選：D.

【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握特殊到一般的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)

鍵.

4.（2021?開平區(qū)一模）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10……這樣的數(shù)稱為“三

角形數(shù)”，而把1,4,9,16….…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個

大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，根據(jù)上面

的規(guī)律，用含有w（w為大于等于1的整數(shù)）的等式表示上面關(guān)系正確的是（)

4=1+39=3+616=6+10

A.n+n+2=n2

B.n(w+3)=ir

C.(n+1)(n-1)="2-1

n(n+l)Jn+l)(n+l+l)

D.(n+1)2

22

【考點】數(shù)學(xué)常識；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；平方差公式；函數(shù)關(guān)系式.

【專題】猜想歸納；數(shù)感；運算能力.

【分析】根據(jù)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此題.

【解答】解：第1個圖形，（1+1）2=4=1+（1+2）；

第2個圖形，（2+1）2=9=1+2+（1+2+3）；

第3個圖形，（3+1）2=16=1+2+3+（1+2+3+4）；

第4個圖形，（4+1）2=25=1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；

第〃一1個圖形,(H-1+1)2=〃2=I+2+3+???+〃?I+(1+2+3+…+幾)；

第〃個圖形，(n+1)2=1+2+3+…+幾+(1+2+3+—Fn+n+l).

(n+1)Jn+1)(n+2)

???(n+1產(chǎn)?

~2-12

故選：D.

【點評】本題主要考查規(guī)律型，熟練掌握特殊到一般的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵.

22”

5.(2021?懷寧縣模擬)已知實數(shù)aWbWcWO,且滿足￡=Q+6,—=/?+6,則且—+上_-9目

abccc

的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【考點】分式的化簡求值.

【專題】分式；運算能力.

【分析】根據(jù)￡=〃+6,￡=8+6,通過變形，可以得到a+b的值，然后再將所求式子變

ab

形，即可得到所求式子的值.

【解答】解：,.?￡=〃+6,—=/?+6,

ab

??。=。2+6。,C=Z?2+6Z?,

4Z2+6?=/?2+6Z?,a2=c-6a,b2=c-6b,

a2-b2=-6(〃-b),

/.(o+Z?)(a-b)=-6(a-b),

'.a-bWO,

??a+b=:16,

2-i2QU

.?._a_+b__3b

ccc

=c-6a6b36

ccc

=2c-6(a+b)-36

c

=2.6-(-6)+36

c

=2-0

=2,

故選：D.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是求出。+人的關(guān)系.

6.(2021?渝中區(qū)校級三模)用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，

則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是()

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】壓軸題；規(guī)律型；猜想歸納；推理能力.

【分析】觀察與比較每個圖案相同點與不同點，得出后一個圖案總是在與之相鄰的前一

個圖案基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加圓點數(shù)，即在前一個圖案的基礎(chǔ)上增加比圖案序號數(shù)多一個

的圓點數(shù)，從而解決該題.

【解答】解：當(dāng)〃=1時，第1個圖案的圓點的個數(shù)是聲=5+2=7個.

當(dāng)n=2時，第2個圖案的圓點的個數(shù)是y2=yi+3=5+2+3=10個.

當(dāng)”=3時，第3個圖案的圓點的個數(shù)是*=”+4=5+2+3+4=14個.

當(dāng)”=4時，第4個圖案的圓點的個數(shù)是聲="+5=5+2+3+4+5=19.

以此類推，第〃個圖案的圓點的個數(shù)是加=5+2+3+4+...+（n+1）

->_n（2+n+l）<.n（n+3）小

一2-

..?當(dāng)〃=8時，第8個圖案的圓點的個數(shù)是y產(chǎn)”土9個.

故選：C.

【點評】本題主要考查學(xué)生的觀察能力，運用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此類規(guī)律題.

7.（2021?嘉善縣一模）已知一列數(shù)ai,〃2,〃3,…，具有如下規(guī)律：a2n+i=an+an+i,ain

=an（"是正整數(shù)）.若〃1=1,則437的值為（）

A.1B.5C.7D.11

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】創(chuàng)新題型；能力層次.

【分析】根據(jù)題干公式尋找規(guī)律.

【解答】解：由42〃+1=斯+即+1,a2n=an（〃是正整數(shù)）可得：

〃37=。18+。19=2〃9+〃10=2（44+〃5）+。5=2。4+3〃5=2。2+3。3=2及+3（。2+。3）=5〃2+3〃3

=8〃1+3〃2=116/1=11.

故選：D.

【點評】考查數(shù)字變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)題中規(guī)律拆項.

8.(2021?云南模擬)觀察下列關(guān)于x的單項式，探究其規(guī)律：

-x,4尤Z-7x3,10x4,-13X5,16x3

按照上述規(guī)律，則第2020個單項式是()

A.606lx2020B.-606lx2020C.6O58%2020D.-6058x2020

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項式.

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【分析】根據(jù)題目中的單項式，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，從而可以寫出第"個單項式,

進(jìn)而求得第2020個單項式，本題得以解決.

【解答】解：?一列關(guān)于x的單項式：-尤,4/,-7?,10x4,-13?,16x6……,

.?.第w個單項式為：(-1)-2)

...第2020個單項式是(-1)2020.(3X2020-2)^2020=6058x2020,

故選：C.

【點評】考查數(shù)字的變化類、單項式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項式的變化

規(guī)律.

9.(2020?江漢區(qū)模擬)把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組，(1),(3,5,7),

(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31)…，若(Z,j)表示正奇

數(shù)M是第，組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，若A7=(2,3),則42019=()

A.(32,26)B.(32,49)C.(45,42)D.(45,80)

【考點】有理數(shù)大小比較；規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【分析】由題意可知2019是第1010個數(shù)，由1+3+5+7+…+2〃-121010,確定1010在

第32組，第1024個數(shù)是1024X2-1=2047,第32組的第一數(shù)是2X962-1=1923,則

2019是第202-1923+1=49個數(shù),即可求解.

2

【解答】解：由己知可知，第一組1個奇數(shù)，第二組3個奇數(shù)，第三組5個奇數(shù)，…

2019是第1010個數(shù)，

設(shè)2019在第"組，則1+3+5+7+…+2〃-1R010,

.">31,

當(dāng)”=31時，1+3+5+7+-+61=961,

當(dāng)”=32時，1+3+5+8+―+63=1024,

...1010個數(shù)在第32組，

第1024個數(shù)是1024X2-1=2047,

第32組的第一數(shù)是2X962-1=1923,

則2019是第20197923+1=49個數(shù)，

2

.?.2019是第32組第49個數(shù).

故選：B.

【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；理解題意，利用奇數(shù)和給出的分組特點，逐步確定

具體位置是解題的關(guān)鍵.

10.(2020?新野縣三模)如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分［如圖

(1)］,畫2條直線，最多能把白紙分成4部分［如圖(2)］,畫3條直線，最多能把白

紙分成7部分［如圖(3)］,當(dāng)在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）部

分.

HUB1?

(1)(2)(3)

A.190B.191C.210D.211

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】規(guī)律型；運算能力.

【分析】根據(jù)題意可得〃=1,?1=1+1；n=2,a2=ai+2；〃=3,〃3=“2+3，，?；n=llf（In

=珈一1+"，以上式子相加整理可得一般式，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意得：

71=1,。］=1+1；n—2,<72=41+2；"=3,。3=。2+3…；n=-〃，Cln=Cln-1+〃，

以上式子相加整理得，@/1+1+2+3+…5口必要.

?..20條直線最多能把白紙分為：i+2°j21=2ii部分.

故選：D.

【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)

律.

二.填空題（共5小題）

11.（2021?北京模擬）《孫子算經(jīng)》是中國南北朝時期重要的數(shù)學(xué)專著，其中包含了“雞兔

同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學(xué)問題.《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三

數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除

以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的正整數(shù).”請用含有左的代數(shù)式表示滿

足條件的所有正整數(shù)105R23.

孫

子

算

經(jīng)

【考點】列代數(shù)式.

【專題】整式；符號意識；運算能力；推理能力.

【分析】先確定出除以21余2的最小正整數(shù)為23,此時也滿足除以5余3,再確定出3,

5,7的最小公倍數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：；一個正整數(shù)，除以3余2,除以7余2,

.?.這個正整數(shù)除以21也余2,

,除以21余2的最小正整數(shù)為23,

而234-5=4*3,

滿足條件的最小正整數(shù)為23,

V3,5,7的最小公倍數(shù)為3X5X7=105,

符合條件的正整數(shù)為105左+23,

故答案為1054+23.

【點評】此題主要考查了列代數(shù)式，同余問題，最小公倍數(shù)的求法，確定出滿足條件的

最小正整數(shù)為23是解本題的關(guān)鍵.

12.（2021?洪澤區(qū)二模）將2021個邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點A,Ai,

Ai,—3,…,A2021和點A/,Mi,Mi,…，M2020是正方形的頂點，連接AMi,AMi,AM3,…,

AM2020,分別交正方形的邊A2M1,A3M2,…，A2020M2019于點Ni,N2,N3,…，

N2020,則N2020A2020長為"'ZU

—2021—

【專題】幾何圖形；幾何直觀.

【分析】因為圖形是由邊長為1的正方形組成，所以圖象里有多個三角形相似，可以利

用“A字型”相似求解即可.

【解答】解：由題意可得

.N1A—AA1

兒送2AA2

:正方形的邊長都為1,

.'.MAI=A.

2

同理可得△A42020N2020SAAA2021Af2020,

...一。2口以2。2。=4=202口

^2020^2021^^20212021

N2020A2020=202°..

2021

【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?徐匯區(qū)二模）古希臘數(shù)學(xué)家把下列一組數(shù)：1、3、6、10、15、21、…叫做三角

形數(shù)，這組數(shù)有一定的規(guī)律性，如果把第一個三角形數(shù)記為XI,第二個三角形數(shù)記為

XI,第”個三角形數(shù)記為X",那么X"一1+.切的值是/（用含”的式子表示）.

【考點】數(shù)學(xué)常識；列代數(shù)式；規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】創(chuàng)新題型；解題思想；數(shù)感；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】此題注意對數(shù)據(jù)（數(shù)列）的分析：（1）數(shù)據(jù)依次差2,3,4,5,6,…；（2）數(shù)

據(jù)擴(kuò)大2倍，形成新數(shù)據(jù)：2,6,12,20,30,42,--可以依次改成相鄰兩個正整數(shù)

的乘積.這樣可以得到第一個數(shù)的規(guī)律.

【解答】將條件數(shù)據(jù)1、3、6、10、15、21、…,依次擴(kuò)大2倍得到：2,6,12,20,30,

42,???，

這組新數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)可以改寫成兩個相鄰正整數(shù)的乘積，即2=1X2,6=2X3,

12=3X4,20=4X5,…，

.?=nX（n+1）,（自）.

n2

所以=（n-l）Xn+nX（n+l）2.

An-1An211

故答案是：n2.

【點評】此題是對數(shù)字規(guī)律的考查，關(guān)鍵是對數(shù)字有“數(shù)感”，從特殊到一般的探尋.

14.（2021?長沙模擬）規(guī)定：在一個矩形中，先剪下一個最大的正方形稱為裁剪1次，再在

剩余的圖形中剪下一個最大的正方形稱為裁剪2次，……依次進(jìn)行，若裁剪〃次后，最

后剩余的圖形也是一個正方形，我們把這樣的矩形稱為完美矩形.已知在完美矩形中，

兩條相鄰邊長分別為4,a,若。=7,則〃=4；若1ca<3,且"=3,貝!I°=&>或

—5―

_8

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】推理填空題；分類討論；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】第一空可以直接代入數(shù)字進(jìn)行推理.第二空給了a的取值范圍，因此第一次裁

剪后可以得到兩邊分別為a，4-a.第二次裁剪不能確定兩個鄰邊的大小，所以需要分情

況討論.再根據(jù)第三次裁剪是正方形，可以列等式求出a的值.

【解答】解：（1）由題中裁剪方法知，當(dāng)a=7時，

第一次裁剪后剩余的邊長分別為3,4；

第二次裁剪后剩余的邊長分別為1,3；

第三次裁剪后剩余的邊長分別為1,2；

第四次裁剪后剩余的邊長分別為LL

.*.n=4.

（2）Vl<a<3,且〃=3,

???第一次裁剪后剩余的邊長分別為。，4-〃

①若4-a>a,即〃V2.第二次裁剪后剩余的邊長分別為4-2ma.

I若4-2a>a,即。<廷，則第三次裁剪后剩余的邊長分別為4-3a,a,此圖形為正方

3

形,

??4-

.*.<2=1（舍去）.

II若4-2a<a,即a>4,則第三次裁剪后剩余的邊長分別為3a-4,4-2a,

3

/.3a-4=4-la,

.\a=—.

5

②若即。>2,則第二次裁剪后剩余的邊長分別為4-4，2〃-4.

I若4-a>2a-4,即則第三次裁剪后剩余的邊長分別為8-3a,2a-4.

3

?..第三次裁剪后的圖形為正方形，

.".8-3a—2a-4,

5

II若4-a<2a-4,即。>區(qū),則第三次裁剪后剩余的邊長分別為4-a,3a-8.

3

?..第三次裁剪后的圖形為正方形，

.*.4-a=3a-8,

:?a=3（舍去）.

故答案為4；空■或旦.

55

【點評】此題考查的是圖形的推理能力，分析圖形的關(guān)系并掌握分情況討論是解題的關(guān)

鍵.

15.（2021?咸寧模擬）下面是一組有規(guī)律的算式，根據(jù)其中規(guī)律，第〃個算式為：P+22+32+…

+〃2=n（n+l）（2n+l）

—6一,

12=1X2工3；第1個算式

6

12+22^2X3X5.第2個算式

6

12+22+32=3'X4X7；第3個算式

6

12+22+32+42^4X5X9；第4個算式

6

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算.

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【分析】根據(jù)所給算式分母為6,分子為a(〃+1)(2〃+1)求解.

【解答】解：>=1>(1+1)X(2義1+1),第一個算式，

6

12+22=2X(2+1)><(2X2+1),第二個算式，

6

:+22+32=3X(3+1)x(2X3+1),第三個算式，

6

12+22+3?+…+"2=“/l”匕n+1),第n個算式.

6

故答案為：n(n+l)(2n+l)

6

【點評】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，解題關(guān)鍵是通過前三個算式找出數(shù)字變化規(guī)律.

三.解答題(共5小題)

16.(2021?五蓮縣模擬)(1)計算：

(_1)2。21+(_2)?+((3.14-兀)0-4cos30°+12-V12I'

222

(2)先化簡，再求值a,ab\b.a_ab_2,其中①6滿足Q-2)24A而=()?

a-baa

【考點】分式的化簡求值；零指數(shù)幕；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的

性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；實數(shù)的運算.

【專題】實數(shù)；分式；運算能力.

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、零指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)值和絕

對值可以解答本題；

(2)根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)Q-2產(chǎn)+7^71=0.可

以得到a、b的值，然后代入化簡后的式子計算即可.

【解答】解:(1)(-1)2021+(-2)-2+((3.14-K)°-4cos30°+|2-V12l

=(-1)+A+1-4x2^1+712-2

42

=(-1)+A+1-2y+2在-2

4

=-7-.?

4

z9\a2-Zab+b」.a」-ab2

a2-b2-a

2

=(a-b)a_2

(a+b)(a-b)a(a-b)a+b

=L2^

a+ba+b

=.1,

a+b

v(a-2)2-tVb+l=0,

-2=0,b+l=0,

解得a=2,b=-1,

當(dāng)a—2,b--1時，原式=---------=-1.

2+(-1)

【點評】本題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值、有理數(shù)的混合運算，熟練掌

握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

17.(2021?重慶模擬)一個三位自然數(shù)a,滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和不超過10,并且個位數(shù)

字與百位數(shù)字不同，我們稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.將。的個位數(shù)字與百位數(shù)字交換得到一

個新數(shù)。'，記G(a)=宣支例如，當(dāng)。=125時，4=521,G(125)=125-521=

1111

-36；當(dāng)a=370時，a'=73,G(370)=迎匕至=27.

11

(1)判斷236不是(選填"是”或“不是”)完美數(shù)，計算G(321)=18；

(2)已知兩個“完美數(shù)”〃3n,滿足m=100.7+10+/?,n=100c+d(0W6<aW9,OWc

W9,OWdW9,a,b,c,d為整數(shù))，若G(M能被7整除，且G(M+G(〃)=9(d+2),

求m-n的最小值.

【考點】列代數(shù)式；因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式.

【分析】(1)根據(jù)定義可直接判斷236不是完美數(shù)，根據(jù)新定義的運算法則算出G(321)

即可；

(2)先算出G(機(jī))和G(?)的值，寫出a,c,［的關(guān)系，再由已知條件列出可能的情

況，根據(jù)完美數(shù)的定義確定c,d的值，最后求出機(jī)

【解答】解:(1)V2+3+6=11>10,

A236不是完美數(shù)，

根據(jù)題意，G(321)=32卜123:⑻

11

故答案為：不是；18.

(2)Vm=100^+10+/?,

加=100。+10+。，

,.?〃=100c+d,

\'=100d+c,

：.G(m)+G(")=m-m'+n-n'=9(6/+2),

112

?\a-Z?+c=2d+2,

設(shè)G(m)=7%,x為整數(shù)，

.?.99a-99b=7〃,gp9(a-b)=7x,

11

???0W/?<〃W9,

?,?滿足條件的。只有7或8或9,

當(dāng)。=9時，機(jī)不是完美數(shù)，故舍去，

當(dāng)。=8時，。=1,這個數(shù)是811,是完美數(shù)，

此時，8-l+c=2d+2,即c=2d-5,

???0WcW9,0WdW9,

?"=3,c=l時，幾=301,

貝!]m-〃=510；

d=4,c=3時，〃=403,

貝!Jm-n=811-403=408；

d=5,c=5時，〃=505,

貝ij機(jī)-〃=811-505=306；

d=6,c=7(舍去)，

???共有三種情況，最小的為306；

當(dāng)。=7時，b=0,這個數(shù)是710,是完美數(shù)，

此時，7-0+c=2d+2,即c=2d-5,

???0WcW9,0WdW9,

：.d=3,c=l時，〃=301,

貝!)徵-〃=710-301=409；

d=4,c=3時，〃=403,

貝|徵-〃=710-403=302；

d—5,c—5時，〃=505,

則機(jī)-w=710-505=205；

<7=6,c=7(舍去)，

...共有三種情況，最小的為205；

綜上，相的最小值為205.

【點評】本題主要考查新定義的運算和應(yīng)用，正確理解新定義的運算是解題的關(guān)鍵.

18.(2021?德州模擬)閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第

一位的數(shù)稱為第一項，記為排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為。2,依次類推，排在

第九位的數(shù)稱為第〃項，記為所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：42,。3,…，

ant….

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1,3,

5,7,…為等差數(shù)列，其中ai=l,。4=7,公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

(1)等差數(shù)列5,10,15,…的公差d為5,第5項是25.

(2)如果一個數(shù)列。2,。3,…，而…,是等差數(shù)列，且公差為d,那么根據(jù)定義可

彳導(dǎo)至［］：a2~ai=d,a3~。2=d,CIA-a3=d,***?cin-Un-1d,,■■.

所以a2—a\+d,

a3=a2+d=(m+d)+d=ai+2d,

aA—as+d—(m+2d)+d—a\+3d,

由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an=ai+(n-1)d.

(3)-4040是不是等差數(shù)列-5,-8,-11…的項？如果是，是第幾項？

(4)如果一個數(shù)列ai,02,。3,…，an-,是等差數(shù)列，且公差為d,前〃項的和記為

Sn,請用含ai,n,1的代數(shù)式表示Sw,Sn=—