2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類(lèi)匯編：幾何綜合壓軸題

2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類(lèi)一一綜合壓軸題

手拉手中點(diǎn)問(wèn)題(附加2題)一線(xiàn)三垂猜證類(lèi)等腰結(jié)論共計(jì)

6題倍長(zhǎng)2題相似3題1題1題1題14題

一、手拉手共5小題

1.(2022密云二模27題)如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)D在84的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)p是8c邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)打重合)，將線(xiàn)段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60?得到線(xiàn)段PE,連接RE和

DE

(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

(2)比較LBDE與AHPE的大小，并證明；

(3)用等式表示線(xiàn)段BE.RP與RD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】

(2)ZBDE=ZBPE

1

證明：???△/阿是等邊三角形???/”小60°

???線(xiàn)段/繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段PE：.PE=PD：.APDE是等邊三角形

:./PED1。。:./ABC=/PED

設(shè)總和M交于0在

XDOE和△反方中

/EOD=/BOP

：./BDE=/BPE

圖2

(3)BD=BP^BE

法1：證明：如圖3過(guò)點(diǎn)D作X)H//AC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H

:?/BD4/BAC$G0,/年NACB$0°

???△薇7是等邊三角形，BD=BH=DH

???△小是等邊三角形，/EDP$0°,ED=PD：.AEDB=APDH

:.BED也HPD:,BE=PH

?:BH=BP+PH：.BD=BP^BE

2

法2：如圖4

圖4

思路：過(guò)點(diǎn)E作EG平行于BC交AB于點(diǎn)G,利用四點(diǎn)共圓或者相似可得可證N圾?以=6〃

,得三角形BGE是等邊三角形，再證AGDE0ABPE,結(jié)論可得。

法3：如圖5

圖5

思路：過(guò)點(diǎn)P作PF平行于AC交AB于點(diǎn)F

可證APBEAPFD,結(jié)論可得.

法4：如圖6

圖6

思路：過(guò)點(diǎn)D作PF平行于BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F

可證ADFEADBP,結(jié)論可得.

3

2.（2022豐臺(tái)二模27題）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是BC中點(diǎn)，連接AO.點(diǎn)M在

線(xiàn)段AD

上（不與點(diǎn)，，。重合），連接點(diǎn)E在C/的延長(zhǎng)線(xiàn)上且=連接E8.

（1）比較/ABM與/AEM的大小，并證明；

（2）用等式表示線(xiàn)段AM,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】27.(1)【導(dǎo)角】

:AB=AC,D是BC中點(diǎn)，

：.AD垂直平分BC,AABC=AACB

:點(diǎn)M能調(diào)AD上

：.MB=MC

：.ZMBD=ZMCD

：.ZABC-ZMBD=ZACB-ZMCD

即ZABM=ZACM................................................................2分

,;ME=MB

：.ME=MC

：.ZAEM=ZACM

：.ZABM=ZAEM....................................................................3分

（2）法1：【截長(zhǎng)補(bǔ)短+證明等邊三角形+全等】

證明：延長(zhǎng)/E至點(diǎn)R^AF=AB,居F8

VZBAC=[20°：.ZE4B=60°△尸氏4是等邊三角形

:.AB=BF,NFS/=60°

VZEAB+ZAEM+Z1=ZEMB+ZABM+Z2=l80°,ZAEM=ZABM,Z1=Z2

ZEAB=ZEMB=60°；.ABEM是等邊三角形

：.BE=BM,ZEBM=60°：.ZFBA-ZEBA=ZEBM+ZEBA即

:ZEB義AAMB：.FE=AM：.AB=AF=AE+EF=AE+AM

4

法2：【截長(zhǎng)補(bǔ)短+構(gòu)造等邊三角形+全等】

在AB上截取一點(diǎn)M',使得AM=AM'.

"：AB=AC,ZBAC=12O°,。是8c中點(diǎn)

:./EAB=ZBAD=ZDAC=60°/.是等邊三角形

：.AM=M'M,ABM'M=ZEAM=120°

又,：NABM=/AEM:.AEAMQdBNTM：.AE=M'B

：.AB=AM,+BM,=AE+AM...............................................7分

3.（2022西城二模27題）在△4EC中，AB—AC,過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CB',使UC8'-4cB（點(diǎn)

B*與點(diǎn)B在直線(xiàn)4C的異側(cè)），點(diǎn)D是射線(xiàn)CB'上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線(xiàn)段

BC上，且ZJ）AE?￡ACD=90*.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與CB'的位置關(guān)系是，若BC=a，則＜D的長(zhǎng)為；

（用含a的式子表示）

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE

①用等式表示ABAC與Z.DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線(xiàn)段8E.CD.DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

5

【答案】27.解：(1)ADLCB),|；...........................................2分

(2)@ZBAC=2ZDAE.

證明：9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

：.ZBAC=1SO0-2ZACB.

ZDAE+ZACD=90°,/ACD=/ACB,

：.ZDAE=90°~ZACD=90°~ZACB.

：.ZBAC=2ZDAE,........................................................................4分

②BE=CD+DE.

證明：作ND4F=/D4E,4F交射線(xiàn)。夕于點(diǎn)尸，如圖，

則NEAF=/DAE+ZDAF=2ZDAE.

???/BAC=2NDAE,

：.ZBAC=ZEAF.

：.ABAC-NEAC=NEAF—ZEAC,

即NA4￡=NC4K

■:NABC=NACB,/ACD=/ACB,

：.ZABE=ZACF.

*：AB=AC,

：.AABE^AACF.

：.BE=CF,AE=AF.

?:AD=AD,

：.AAED^AAFD.

：.DE=DF,

：.CF=CD+DF=CD+DE.

：.BE=CD+DE..............................................................................7分

6

法1:構(gòu)造半角模型

證明：作NDAF=NDAE,AF交射線(xiàn)DB'于點(diǎn)F,如圖，則NEAF=NDAE+NDAF=2NDAE.

ZBAC=2ZDAE,ZBAC=ZEAF.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即ZBAE=ZCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,NABE=NACF.

VAB=AC,.".△ABE^AACF.；.BE=CF,AE=AF.

：AD=AD,△AED△AFD.|Z.DE=DF；.CF=CD+DF=CD+DE.

；.BE=CD+DE.7分

法2：截長(zhǎng)補(bǔ)短①

在BC上截取BM=CD,連接AM,再證明△ABMgzXACD

法3：截長(zhǎng)補(bǔ)短②

7

4.（2022大興二模27題）如圖，AC=AB,ZCAB=ZCDB=a,線(xiàn)段CD與AB相交于點(diǎn)0,以點(diǎn)A為中心,

將射線(xiàn)AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。〈a<180°）交線(xiàn)段CD于點(diǎn)H,

（1）若a=60°,求證：CD=AD+BD

（2）請(qǐng)你直接用等式表示出線(xiàn)段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）

【答案】

(1)證明：由題意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a/DAH=/CABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

;又AB=AC,.'△ABD也△ACH...............................................................3分

；.BD=CH,DA=AH.△ADH是等腰三角形.

VZDAH=ZCAB=a=60°,△ADH是等邊三角形.，AD=HD.

VCD=HD+CH；.CD=AD+BD..............................................................5分

(3)證法(一)

證明：過(guò)A點(diǎn)作AM_LCD于M由題意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a/DAH=/CABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,；./B=NC.

:又AB=AC,.,.△ABD^AACH..*.BD=CH,DA=AH.，△ADH是等腰三角形.

aCLCL

VAMXCDAZDAM=ZHAM=-DM=HM=AD?sin-DH=2AD-sin-

a

VCD=HD+CHACD=2AD?sin-+BD.

8

證法（二）

E

在4ADB的外側(cè)作/DAE=C(,交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,過(guò)點(diǎn)A作AN_LDE于N

VZCAB=ZCDB=a=ZDAEZ.ZEAB=ZDAC

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

?又AB=AC,.'△ABE絲ZXACD；.BE=CD,AE=ADAADE是等腰三角形.

acccc

VANXDE.\Z1=Z2=-DN=EN=AD?sin-DE=2AD?sin-

a

VBE=DE+BD.*.CD=2AD?sin-+BD.

5.(2022東城二模27題)如圖，在△ABC中，AB=AC,ACAB=2a,在AABC的外側(cè)作直線(xiàn)

AP(90°-a<ZB4C1800—2a),作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。，連接AZ),BD,BD交直線(xiàn)AP于點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)連接CE,求證：ZACE=ZABE.

(3)過(guò)點(diǎn)A作AR_LCE于點(diǎn)/，用等式表示線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

B

【答案】

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1:

P

圖1

9

(2)證明：如圖2點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AP對(duì)稱(chēng)，

AD=AC,ED=EC

在△ADE和△ACE中，

AD=AC

DE=EC

EA=EA

AADE=AACE/.ZADE=ZACE

AB=ACZADB=ZABDZABE=ZACE

圖3

結(jié)論：DE=BE+2EF

證明：在CE上取一點(diǎn)G,使CG=BE。

在△ABE和△ACG中，

AB=AC

<ZABE=ZACE

BE=CG

：./\ABE=AACG/.AE=AG

AF±EC：.EF=FG/.EC=BE+2EF/.DE=BE+2EF

1

法2：如圖4：

思路導(dǎo)航：

作AN，于點(diǎn)N

證A4A?3A4FC三A47VB

得EF=EN

由于△A3D是等腰三角形，據(jù)三線(xiàn)合一得：DN=BN

可以轉(zhuǎn)化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF,得證。

思路導(dǎo)航:

作AG±BD于點(diǎn)G,在線(xiàn)段ED上作GK=GE,可證AAGK=AAGE;AAKD=AAEB

得DK=BE;再證GE=GF,可以轉(zhuǎn)化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF，得證。

1

6.(2022燕山二模27題)在及△A2C中，乙4。2=90。,8是AB邊的中線(xiàn)，DE1BC于E,連結(jié)CD,點(diǎn)尸

在射線(xiàn)CB上(與B,C不重合).

(1)如果乙4=30。

①如圖1,OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,點(diǎn)P在線(xiàn)段C8上，連結(jié)。P,將線(xiàn)段。尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線(xiàn)段。尸，連結(jié)B凡補(bǔ)全

圖2猜想CP、3尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)如圖3,若點(diǎn)尸在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且/A=a(0°<cr<90°),連結(jié)。尸，將線(xiàn)段。尸繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線(xiàn)段DF,連結(jié)請(qǐng)直接寫(xiě)出DE、BF、2尸三者的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

【答案】

(I)(DP￡=jiBE

6)

證明:在灶△ABC中、

3為AB也中我

APf-PB,ZCPB-^oa

又,《陽(yáng)二0。

,；z|~zcpp.

X'；PF=DP

MOcp2ApBfISAS)

1\cp=BF

(i)BF=XEtond+甲

證朗：如闈在RtMB吐

yCD為AB邊中技

CD=PA=DB

\'zA=d

,、、Z3B="

又iPEXBCPC=PB

CB~2.cE,44々陽(yáng)“

*'~^~=tt^dlT?-PE=DE-fOno(

I"Df=&CDB

?.z.CPp=zBPf

52'：Dp=Df

DcpTaDBF

、'、B「"p=CB+BF=2BE+Bp

*東二2見(jiàn)tanW+Bp

1

二、中點(diǎn)問(wèn)題共5小題

附加1.(2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)尸在2C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，以尸為旋轉(zhuǎn)中心,

將線(xiàn)段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0<?<180)得線(xiàn)段PQ,連接AP,BQ.

(1)如圖1,若PC=AC,畫(huà)出w=60時(shí)的圖形，直接寫(xiě)出8。和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；

(2)當(dāng)"=120時(shí)，若點(diǎn)M為線(xiàn)段BQ的中點(diǎn)，連接尸判斷和AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1備用圖

【答案】解：(1)BQ=AP,BQ//AP,

如圖1所示：

AABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC,

y."：PC=AC,

：.ZR4C=ZAPC,

VZACB=ZB4C+ZAPC=60°,

AZR4C=ZAPC=30°,

/.ZBAP^90°,

:將線(xiàn)段尸C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線(xiàn)段尸0,

：.PC=PQ,ZCPQ=60°,

；.AB=AC=CP=PQ,ZAPQ=9Q°,

1

AZBAP+ZAPQ=1SO°,

C.AB//PQ,

???四邊形ABQP是平行四邊形，

：.BQ=AP,BQ//AP；

(2)AP=2MP,

理由如下：如圖2,以。為邊作等邊三角形CHP,連接

圖2

???△CHP和△CR4都是等邊三角形，

：?CB=CA,CP=CH,NACB=/HCP=NCPH=6U

：.ZBCH=/ACP,

在△力(7?和△BS中，

AC=BC

乙4cp=乙BCH,

CP=CH

：.AACP^ABCH("S),

：?AP=BH,

???將線(xiàn)段尸。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線(xiàn)段尸Q,

：.CP=PQ,ZCPQ=120°,

VZCP27+ZCP2=180°,

???點(diǎn)8,點(diǎn)尸，點(diǎn)。三點(diǎn)共線(xiàn)，

■:BM=MQ,PQ=CP=HP,

:?BH=2MP,

：?AP=2MP.

1

附加2.(2021?通州區(qū)一模)已知點(diǎn)P為線(xiàn)段上一點(diǎn)，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線(xiàn)段

AC；再將線(xiàn)段2尸繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線(xiàn)段瓦)；連接AD,取AD中點(diǎn)跖連接BM,CM.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CM上時(shí)，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P不在線(xiàn)段CM上，寫(xiě)出線(xiàn)段與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【解答】解：(1)有題意可得，ZCAP=60°,S.AP=AC,

：.AAPC是等邊三角形，

ZAPC=60°,

AZBPM=60°,

又?.?/PBD=120°,

Z.ZBPM+ZPBD=180°,

J.PM//BD.

(2)猜想，CMLMB,CM=?MB,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使得連接AG,BC,GC,PC,

：.四邊形AGCB是平行四邊形,

1

：.AG=BD,AG//BD,

：.ZBAG=180°-ZABD=60°,

：.ZCAG=120°,

VAAPC是等邊三角形，

：.AC=CP,ZCPB=120°,

,:PB=DB=AG,

:.ACAG咨LCPB(SAS),

：.CG=CB,ZAFC=ZPCB,

：.ZGCB^6Q°,

:ACBG是等邊三角形，

,:GM=BM,

：.CM±BM,CM=WMB.

7.（2022順義二模27題）

如圖，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D為射線(xiàn)AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)P的左側(cè)），且PD=BC,連接

CP,以P為中心，將線(xiàn)段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0〈n<180）得線(xiàn)段PE.

（1）如圖1,當(dāng)四邊形ACPE是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出n的值；

（2）當(dāng)n=135°時(shí)，M為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，連接PM.

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形。

②用等式表示線(xiàn)段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

1

【答案】

(1)n=45°

證明：,??四邊形ACPE是平行四邊形.,.ACZ/PE.*.ZAPE=ZCAP

VZACB=90°,AC=BC；./CAP=45°=NAPEAn=45°

(2)①如右圖

CP=2PM....4分

分析：此題已知了M是AE的中點(diǎn)，求證的是CP和PM的關(guān)系。先觀察度量就可以推斷出是二倍關(guān)系，所

以方法一：倍長(zhǎng)PM;方法二：作中位線(xiàn)。

證法(一)

證明：延長(zhǎng)PM到點(diǎn)Q,使QM=PM.連接AQ,EQ...........5分

VM為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，.\AM=EM.

又：QM=PM,四邊形APEQ是平行四邊形..\PE=AQ,PE//AQ.

...NQAP=180°-ZDPE=180°-135°=45°.

VZACB=90°,AC=BC,AZCAP=ZCBA=45°.ZCAP=ZQAP.....................6分

VAC=BC,PD=BC,PD=PE,AAC=AQ./.ACAP^AQAP.

.\CP=QP=2PM..................................7分

此問(wèn)也可以連接CQ,4ACQ為等腰三角形，AP平分/CAQ,根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一得AP垂直平分CQ,

于是CP=QP=2PM.

1

證法(二)

延長(zhǎng)EP到N,使PN=EP,連接AN.

VM為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，.\AM=EM.；.PM〃AN,AN=2PM

VZACB=90°,AC=BC,AZCAP=ZCBA=45°.

VZDPE=a=135°.*.ZNPA=45O=ZCAP

,/PE=PD=CB=AC=PNAP=PAAAACP^APNA.\CP=AN=2PM

8.(2022朝陽(yáng)二模27題)在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在DC上，且MV_L￡>E,

垂足為點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：MN=DE；

(2)將圖1中的向上平移，使得歹為。E的中點(diǎn)，此時(shí)與AC相交于點(diǎn)H,

①依題意補(bǔ)全圖2；

②用等式表示線(xiàn)段尸N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

圖1

1

【答案】27.(1)證明：?.?四邊形A3CD是正方形，

BC=CD,ZB=Z.BCD=90°...........................................................................1分

NMCB+ZDCF=90°,

:MNLDE,垂足為點(diǎn)F,Z,EDC+Z.DCF=90°/.Z.MCB=ZEDC

：./XMCB=Z\EDC.......................................................................2分

:.MC=DE.......................................................................3分

即MV=￡>E.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示。...................................4分

?HF=MH+FN.......................................................................5分

法1：對(duì)角線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性

證明：如圖，連接HB,HD,HE.

為DE的中點(diǎn)，且.MNYDE.：.HD=HE.6分

四邊形ABCD是正方形，；.ZACB=ZACD.

"：CH=CH,CB=CD,/\BCH=Z\DCH.：.HB=HD,NHBC=ZHDC.：.HB^HE.

：.ZHBE=ZHEB.：.ZHDC=ZHEB.：.ZHDC+ZHEC=180°.

NDHE+NDCE=180°./.Z.DHE=90°./?HF=-DE.

2

由(1)知=AHF=-MN.1分：.HF=MH+FN.

2

1

法2：截長(zhǎng)補(bǔ)短

在陽(yáng)上截取/T=W,連接ZD、TE,TE與4。于。，做NIF_L48于％

由尸T=W,FE=FD,TNLDE,可知四邊形ZBVD為菱形,

:.TE=DN,TE//DN,

易證四邊形4亞7Vo為矩形，AW=DN,

易證△°EC為等腰直角三角形，QE^EC,

易證△DECg>MW=EC,

：.AW=DN=TE,MW=EC=QE,

：.AM=TQ,

可證陽(yáng)，

：.HM=HT,

：.MH+FN=HT+FT=HF.

法3：利用角平分線(xiàn)構(gòu)造全等

過(guò)點(diǎn)H做“■?LBC于%,HG_LZ>C于G,

易證四邊形"CG為正方形，

叼7G=90。，HW=HG,

丈；HE=HD,

AHWE注公HGD，

■:NWHE=NGHD,

,/NWHE+ZEHG=90°,

/.AEHD=ZEHG+4GHD=ZEHG+5HE=90。,

...△//純?yōu)榈妊苯侨切危?/p>

-,.HF=FE=FD,

:.MH+FN=HF.

2

法4：倒角

AD

做MKLDC于K,交NC于G.連接廠C,

參考（1）易證AMNKWADEC，

^NMK=ZCD￡,

,,,△NBC為等腰直角三角形，

易證為等腰直角三角形，

設(shè)AEDC二ZNMK二a,則NFCD=a,

;四邊形功8為正方形，

二.Z.DCA=45°,

?*.ZFCH=45°-a,ZMHG=45°-a=AFHC,

&CH=AFHC,

:,FH=FC,

MH+FN=HF.

法5：構(gòu)造一線(xiàn)三垂直模型

過(guò)點(diǎn)H做HS工BC于S,交4D于7，

易證三角形△HSC為等腰直角三角形，

,HS=SC,

易證四邊形rss為矩形，

TD=SC,

MN±DE,MN平分DE

.'.HE=HD,

：.HS=TD,

AHSEWLDTH（HL）

^THD=ASEH,

ZSEH+4SHE=90。,

ZTHD+^SHE=9Q°,

...乙EfiD=90。，△也）E為等腰直角三角形，

:.HF=FE=FD,

MH+FN=HF.

2

法6：利用斜邊中線(xiàn)

連接尸C，

?；F為DE中點(diǎn),ZDCE=90°,

FC=FE=FD,

設(shè)ZFDC=a,則ZFCD=a,ZEFC=2a,

?.,四邊形45co為正方形，

ZJDCA=45°,

.".ZFCW=45°-a,&HC=180。-"CH-ZUFC=180°-(45°-a)-(90°+2a)=45°-a,

AFCH=AFHC,

二.FH=FC,

.'.MH+FN=HF.

9.(2022房山二模27題)如圖1,在四邊形/8CO中，NABC=/BCD,過(guò)點(diǎn)A作/￡//DC交BC邊

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CD邊于點(diǎn)F,連接AF,過(guò)點(diǎn)C作CH//AF交AE于點(diǎn)H,連接BHO

(1)求證：AABH^AEAF-,

BE

(2)如圖2,若BH的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)N尸的中點(diǎn)M,求——的值。

EC

圖1

2

【答案】(1)【平行四邊形性質(zhì)+全等證明】

證明：,:/ABC=/BCD,AE/7DC,EF/7AB

:.NABE=NAEB,NFEC=NFCE,/BAH=/FEA：.AB=AE,FE=FC

又,：CH〃AF，四邊形AHCF為平行四邊形:.FE=FC=AH

：.AABH^AEAF.........................................3分

BG

(2)【倍長(zhǎng)中線(xiàn)+數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化+相似比】

證明：延長(zhǎng)氏區(qū)，EF,兩延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G。

：M為ZE的中點(diǎn)AM=FM

又,：AB//EF：.ZABM=/FGM

■:/AMB=/FMGAABM^AFGM(AAS)：.AB=GM

又AB//EF：.AABHsAEGH

'：AE//DC,EF//AB,CH//AF,/ABC=/BCD

，四邊形AHCF為平行四邊形，AABE和/尸EC為等腰三角形,

.BE_AB

：./ABE=NFEC=ZAEB=NFCE：.AABE^AFEC

'~EC~~FE

設(shè)比值是。，則AB=AE=GR=axEE,AH=FC=FE,

HE=AE-AH=AE-FC=axFE-FE=(a-V)xFE

EG=EF+GF=axFE+FE=(a+l)xFE

.AB_AH_axFE_FE

'：AABH^AEGHI.(tz-l)xa=a+l

'EG~EH~(a+l)xFE~(a-l)xFE

ci"—2tz—1=0解得：a=1+舍去)

.??堊=1+啦.........................................7分

EC

2

10.(2022石景山二模27題)在AABC中，NACB=90。,CA=CB,D是AB的中點(diǎn)，E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)

(不與點(diǎn)A,C重合〉，連接DE,將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段BF,過(guò)點(diǎn)F作FHJ_DE于

H,交射線(xiàn)BC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)AE〈EC時(shí)，比較/ADE與/BFG的大?。挥玫仁奖硎揪€(xiàn)段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證

明：

(2)如圖2,當(dāng)AE>EC時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線(xiàn)段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】

方法一：在EC上截取EK=AE.連BK.

因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以DE^BK,DE〃BK,所以/ADE=/ABK,所以/ABK=/BFG.

由旋轉(zhuǎn)知AB=FB,ZGBF=90°-/ABC=45°=/A.

在△BGF與AAKB中，NBFG=NABK,BF=AB,NGBF=/A,所以△BGFOAKB(ASA).

所以BG=AK=2AE.

方法二：在ABFC與4ADE中，NGBF=NA,ZBFG=ZADE,所以△BFG~4ADE.

所以BG:AE=BF:AD=AB:AD=2:1,所以BG=2AD.

同上問(wèn)方法二，易證aEBG?ADAE,從而推出FG=2DE.

2

在Rt/XFCG中，Cp2+CG2=FG2

而CF=AC,所以g+CG2=（2QE）2=4DE2

方法二：逆用旋轉(zhuǎn)型全等。

作BK_LFH于K,BK交AF于N.

我們有/CBN+/BGK=90°=ZCFG+ZBGK,所以/CBN=/CFG.

顯然△BCNw/XFCG.所以CN=CG,BN=FG.

因?yàn)镈H±FH,BK±FH,所以DH〃BK,所以BN:DE=AB:AD=2:1,

所以BN=2DE.

RtABCN中，

222

BC+CN=BN2所以g+CG2=（2QE）2=4DE.

11.(2022門(mén)頭溝二模27題)如圖，在△4BC中，ZACB=90°,。是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE_LAO,

交于點(diǎn)交A3于點(diǎn)F作點(diǎn)￡關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接AG和GC,過(guò)點(diǎn)8作BMLGC

交GC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.

(1)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

②比較/BCF與/BCM的大小，并證明.

(2)過(guò)點(diǎn)2作BNLCT交CP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,用等式表示線(xiàn)段AG,硒與的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

2

27.（本小題滿(mǎn)分7分）

解：（1）①略；...............................................2分

②ZBCF=ZBCM,理由如下：

ZACB=90,

：.ZACE+NFCB=90,ZACG+NBCM=90.

,/點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)G,

：.^ACG^Z^ACE.

：.ZACE^ZACG.

90-ZACE=90-ZACG.

即NBCF=ZBCM.......................................................................................................4分

(2)法7：EN2=-BMAG,理由如下：

2

^ACG^^ACE.：.AG=AE,CG=CE.

:CELAD,：.ZAEC=ZCED=90°.：.ZCAE+ZACE=90°.

ZACB=90°,：./ECD+ZACE=90°.NCAE=ZECD.

2

CE_AE

△ACE1sLCDE.CE2=EDAE.

~ED~~CE

'：BN±CN,CELAD,：.DE〃BN.

。是5C的中點(diǎn)，/.CE=EN,DE=-BIV.

2

*.*ZBCF=/BCM,BN±CN,BM±CM,/.BN=BM：.DE=-BM.

2

?21

??EN2=-BMAG......................................................................................................7分

2

法2：

“一線(xiàn)三垂直模型”相似

'：AAGC-^ACMB

?_A_G___G_C_

…CM—BM

?_A_G__G_C_

?*CN-BM

?_A_G____G_C_

?.2EN-BM

AG_EN

FEN-BM

A2EN2=AG-BM

2

三、一線(xiàn)三垂共1小題

12.（2022海淀二模27題）已知N8=BC,ZABC=90°,直線(xiàn)/是過(guò)點(diǎn)8的一條動(dòng)直線(xiàn)（不與直線(xiàn)BC

重合），分別過(guò)點(diǎn)4C作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)，垂足為。，E.

（1）如圖1,當(dāng)45。＜/鉆。＜90。時(shí)，

①求證：CE+DE=AD；

②連接過(guò)點(diǎn)。作于H過(guò)點(diǎn)工作/斤〃2c交。H的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.依題意補(bǔ)全圖形,

用等式表示線(xiàn)段。尸，BE,的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）在直線(xiàn)/運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若。E的最大值為3,直接寫(xiě)出N8的長(zhǎng).

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；線(xiàn)段如,BE,龐的數(shù)量關(guān)系為防2+?！?=。尸.證明見(jiàn)解

析；（2）—V2

2

【分析】（1）①根據(jù)ASA證明△/切三叢BCE,推出/氏龍，BD^CE,由此得到CE+OE=AD.

②利用同角的余角相等推出//除/物氏禾傭三角形外角性質(zhì)推出/班氏//朋進(jìn)而證明△/如鄉(xiāng)

△迎4得到利用勾股定理證得^^+^爐二人彥，由此得至|］理2+?！?=。尸.

（2）當(dāng)直線(xiàn)/在/4%外部時(shí)，由（1）知△/劭會(huì)XBCE.得到密D/BFD賢AD,設(shè)/爐x,則應(yīng)三x,

DB=DE-BE=3-x,推出?=2，-|J+?,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答

【第（1）小問(wèn)①詳解】

①證明：ZAB（=90°,???ZABD^ZCBD=90°.

CELl,：.ZCEB-900./CBA/090°.AABD-AC.

ADL1,：.ZADB=90°=ZCEB.

AB=BQ：.^ABD之XBCE.：.AD^BE,BWCE.

9：BD+DE=BE,：.CE+DE=AD.

2

A

【第（1）小問(wèn)②詳解】

②補(bǔ)全圖形如圖：

------------------7r

”,，圖2

D

BC

線(xiàn)段陽(yáng)BE,龐的數(shù)量關(guān)系為3序+。序=。產(chǎn).

證明如下：

AF//BC,：.ZBAF+ZAB（^18Q°.

NABC=90°,：.NBA29Q°.：./曲9■/物490°.

"?AD1.I,：./ADB=9Q°.：.ZBAD^ZABD=90°.：.ZABD=ZDAF.

,：DFLAE于H,：./D眸9y.：.AHDE+AHED^^°.

'：/AD皆/ADR/HDE=QQ°,：.AHED^AADF.

'：由（1）中全等，有AD=BE,：.XADF9△曲.，D百AE.

在R/AADE中，AD~+DE2=AE~>BE2+DE2=DF2-

［第（2）詳解】

法1：

當(dāng)直線(xiàn)/在/力笈外部時(shí)，

由（1）知△/劭gLxBCE.：.AD=BE,BD=CE,:.D方DB+B4DB+AD,

設(shè)/女x,貝ij5斤x,DB=DE-BE=3-x,/.AB2=AD2+DB2=^2+（3-x^2=2^x+日

當(dāng)產(chǎn)一時(shí)，有最小值—，即月廬一

242

3

故當(dāng)龍取最大值3時(shí)，AB為二也

2

2

法2：

圖4圖5

圖6

3

圖8

3

如圖4~8,只有圖8當(dāng)四邊形ADEC是矩形的時(shí)，DE最大等于AC的長(zhǎng)度，此時(shí)AB=—0

2

如圖9,由（1）知2△及為.AD=BE,BD=CE

令A(yù)D=BE=x,BD=CE=y

222

再RtZXABD中，x+y=AB

（x"y）2=0/.2+2>2XV11ii

XVyy-（x2+y2）+-（x2+y2）>-（x2+y2）+-（2xy）

2222

*.*x+yW3

9

AB92<-

2

AB<AB"-I

22

：.AB三

2

3

故當(dāng)龍取最大值3時(shí)，AB為-6

2

3

四、猜證類(lèi)共1小題

13.(2022昌平二模27題)如圖，已知/例昨。(0°<a<90°),8是/加川的平分線(xiàn)，點(diǎn)/是射線(xiàn)施

上一點(diǎn)，

點(diǎn)A關(guān)于8對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8在射線(xiàn)ON上,連接A8交8于點(diǎn)Q過(guò)點(diǎn)A作AV的垂線(xiàn)，分別交OP,加于點(diǎn)D,E,

作/力￡的平分線(xiàn)加，射線(xiàn)附與利加分別交于點(diǎn)凡G.

(1)①依題意補(bǔ)全圖形；

②求/掰￡度數(shù)；(用含a的式子表示)

(2)寫(xiě)出一個(gè)a的值，使得對(duì)于射線(xiàn)M上任意的點(diǎn)力總有勿=行力尸(點(diǎn)力不與點(diǎn)。重合)，并證明.

【答案】27.(1)①

OA=OB.'：/就加a,

：.ZOBA=OAB^O°-—..............................