2022北京中考數(shù)學一模分類匯編：幾何綜合壓軸題

2022北京中考數(shù)學一模分類一一幾何綜合壓軸題（教師版）

倍長八字一線三垂直三線合一手拉手共計

5題1題1題5題12題

一、倍長八字共5小題

L（2022朝陽一模27題）在△ABC中，。是6C的中點，且ZBAD/90。，將線段AB沿AD所在

直線翻折，得到線段作CE〃/由交直線于點￡.

（1）如圖，若AB>AC,

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段A5,AE,CE之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）若上述結論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段

AB,A￡,CE之間新的數(shù)量關系（不需證明）.

【答案】（1）①如圖

②法一：延長AD交CE延長線與F點（類似倍長中線）

VCE^AB/.Z1=ZBZ2-ZF

又為BC中點.，.BD=CD.'.AABD^AFCD（AAS）

.*.AB=FCAAB=EF+EC

1

又：AB與AB'關于AD對稱AZ2=Z3AZ3=ZF即:EF=AE

，AE+EC=AB

②法二：補短法

連接B'D與B'C,VD為AB中點，AB與AB'關于AD對稱

二BD=BD'=DC,Z6=ZBZDBC=ZDCB，

又：EC/ZABAZ7=ZB.\Z7=Z6Z1=Z2

.,.EC=EB'/.AB'=AE+EB'；.AE+EC=AB

⑵不成立；AE=EC+AB或CE=AB+AE

①AE=EC+AB證法一：(類倍長中線)

延長AD交EC延長線與點F

在4ABD與4FCD中

Zl=ZF

ZADB=ZFDCAAABD^AFCD(AAS)；.AB=CF

BD=CD

又?:AB與AB'關于AD對稱AZ1=Z2+Z3AZ2+Z3=ZF即EA=EF

又：EF=EC+CF,AE=EC+AB

AE=EC+AB證法二：截長法

2

B'

E

BD

連接B'D與B'C

：AB與AB'關于AD對稱.,.△ABD^AABD.*.BD=B'DZB=ZAB'D

又；EC〃AB.,.ZB+ZDCE=180°

又?.,NAB'D+NDB'E=180°ZDCE=ZDBE

又為AB中點，BD=CD.,.BD=CD=B'DAZ7=N8AZ6=Z5即EB'=EC

AE=EC+AB

②CE=AB+AE，理由如下：

如圖，連接BD,BC

?\?將線段AB沿AD所在直線翻折，得到線段AB'.*.AB=AB,Z6=Z7

又：CE〃ABZ1=Z2

D為BC中點，CD=BD

=N2，

在4ABD和AKCD中(CD=BD/.△ABD△KCD(ASA)/.AB=CK

(Z3=Z4

?.?CE〃AB二/5=/6

又：N7=N8Z.Z5=Z8；.EA=EK；.CE=AB+AE

3

2.(2022順義一模27題)如圖，在中，ZAC8=90°,CD是斜邊AB上的中線，EF垂直平

分CD,分別交AC,BC于點E,F,連接DE,DF.

(1)求NEDF的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）解：解法（一）

：EF垂直平分CD

；.EC=ED,FC=FD.\ZECD=ZEDC,ZFCD=ZFDC.\NECF=/EDF

VZACB=90°.\ZEDF=90o

解法（二）

VEF垂直平分CD.\EC=ED,FC=FD

EF=EF/.AECF^AEDFNECF=NEDF

：NACB=90°.\ZEDF=90o

（2）AE2+BF2=EF2

證法（一）

證明：延長FD到M,使DM=DF,連接AM,EM

：AD=BD,ZADM=ZBDFAADM^ABDFZMAD=ZB,AM=BF

VZACB=90°.,.NCAB+/B=90。（這里也可以證AM〃BC得NMAC+NACB=180。）

二ZEAM=90°AE2+AM2=EM2

由（1）得NEDF=90°又,.?FD=DM；.EF=EMAE2+BF2=EF2

（本作法也可敘述為：過A點作AM〃CB,交FD的延長線于M,證法大同小異）

4

證法（二）

證明：延長ED到N,使DN=DE,連接BN,FN

VAD=BD,ZADE=ZBDNAAADE^ABDN；.AE=BN,ZA=ZDBN

VZACB=90°.,.NA+NABC=90。(這里也可以證AC〃BN得NNBC+NACB=180。)

ZFBN=90°BN2+BF2=FN2

由(1)得NEDF=90°.\EF=NF/.AE2+BF2=EF2

3.（2022平谷一模27題）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。為AB邊上一點（不與點A,B重合）,

作射線CD,過點A作AE_LCD于E,在線段AE上截取EF=EC,連接BF交CD于G.

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：ZCAE=ZBCD

（3）判斷線段BG與GF之間的數(shù)量關系，并證明.

27.(1)補全圖形.....................1

(2)證明：

7^ACB=90°

.：NBCD+NACD=90。...........................................2

'.'AEICD

ZCAE+^ACD=90°

.：/CAE=/BCD...........................................3

5

E

(3)方法一：BG=FG................4

過B作BMJ.CO于M,

：?/CAE=NBCD,AC=BC,/AEC=/BMC=90。

r.AAEC^ACBM(AAS).................5

?：BM=CE

VCE=EF

?：BM=EF................6

:?/AEG=/BMG=90。

/EGF=/BGM

/.AEFG^ABMG(AAS)

：.FG=BG................................7

6

方法二：

證明：延長AE到〃，使石〃=在，連接尸。、CH、BH.

；AE_LCD于E,EF=EC

尸EC是等腰直角三角形

：EF=EH

，F(xiàn)C=CH,NCFH=/CHE=45。

/”是等腰直角三角形................5

,.2HCB+/BCF=90。

^ACF+^BCF=90°

../ACF=/BCH

?.AC=BC,CH=CF

：.AAFC^ACHB(SAS)................6

?,./CHB=/CFA=135°

.?./AHB=135°-45°=90。

二.EG平行于

?FG_FE_1

?：FG=BG................................7

7

4.(2022豐臺一模27題)如圖，在AABC中，NBAC=a，點D在邊BC上(不與B,C重合),連接AD,

以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉180。-a得到線段AE,連接BE.

(1)ZBAC+ZDAE=°

(2)取CD的中點F,連接AF,用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關系，并證明。

A______________EA______________E

;

BDCB二DC

K答案』

(1)ZBAC+ZDAE=a+180°-a=180°.

(2)BE=2AF

證法一A一.

延長AF至G,使FG二AF,連接CG

/DF=CFNAFD二NGFDBDF\f

「.△AFD%GFC\/

\/

GV

/.AD=GCZADC=ZGCF

設NBAD邛

「AB=ACZBAC=a

8

NADC=NABC+NBAD=90冶+P=ZGCF

.".ZACG=ZACB+ZGCF=180°-a+P

???ZBAE=ZBAD+ZDAE=180°-a+P

.,.ZBAE=ZACG

?.AB=ACAE=AD=GC

」.△BAE斗ACG

.-.BE=AG=2AF

證法（二）

延長DA到M，使AM=DA連接MC

?.DF=CF/.CM=2AF

?.ZBAC=aZDAE=180°-a

.-.ZMAE=a=zBAC

.-.ZBAE=ZCAM

?.AB=ACAE=AD=AM

」.△ABE%ACM

，BE=CM=2AF

9

證法三

延長CA到N,使AN=AC連接DN

-.DF=CF.-.CM=2AF

?.zBAC=aZDAE=180°-a

.■,ZNAB=180°-a=zDAE

.-.zBAE=zNAD

.AB=AC=ANAE=AD

.?.△ABE2AND

.-.BE=ND=2AF

5.(2022石景山一模27題)如圖，△NC3中，NC=BC,乙4c8=90。，。為邊BC上一點(不與點C重合),

。＜助，點E在的延長線上，且磯)=4D,連接BE,過點2作BE的垂線，

交邊NC于點?

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：BE=BF；

(3)用等式表示線段“尸與CD的數(shù)量關系，并證明.

1

證法一

證明：(2)在DB上截取DK=DC,結合DE=DA得平行四邊形ACEK.

于是CD=DK,CK=2CD,KE=CA=CB,KE〃AC,注意ACXBC,知KE±BC.

因止匕NEKB=NACD=90°.

又由NFBC+NCBE=NFBE=90°=ZBEK+ZCBE有NFBC=NCBE.

在ABKE與AFCB中，NBKE=NFCB,KE=CB,ZKEB=ZCBF,

所以△BKE^/kFCB(ASA)，所以BE=FB.

(3)由(2),ABKE^AFCB,知BK=FC,結合BC=AC推出AF=CK=2CD.

證法二

證明：

將等腰RtAABC沿BC翻折，得等腰RtAKBC.則ACK共線.AKBC=AABC.

從而BK=BA,CK=CA,NBKA=NBAK=45°,ZCBK=ZCBA=45°,ZABK=90°=ZFBE.

所以NABF=/KBE.

1

連接EK.注意DE=AD,可知EK=2DC,EK/7DC.

因BCLAK,故EKLAK,故NBKE=45°=ZBAF.

在AABF與aKBE中,ZABF=ZKBE,AB=KB,ZBAF=ZBKE,

所以△ABF=Z\KBE(ASA),

所以

BF=BE,(2)得證；

AF=KE=2DC,(3)得證.

證法三

證明：如圖沿BF翻折AABF,得△KBF；沿BC翻折△ABC,得△KBC.ACL共線.

ZBKF=ZBLF=45°,BFKL共圓.

EL=2CD,EL/7CD,EL±AL,BFLE共圓.

BFKLE共圓.

ZBEF=ZBLF=45°,BF=BE.(2)得證.

ZFLK=ZFBK=ZFBA=ZLBE=ZLFE,KL〃FE,FK=EL,AF=2CD.(3)得證.

二、一線三垂直共1小題

1

6.(2022通州一模27題)如圖，在及△ACfi中，ZAC8=90°,AC=BC.點。是延長線上一

點，連接AD.將線段AD繞點A逆時針旋轉90。，得到線段AE.過點、E作EF//BD,交AB于點

(1)①直接寫出ZAFE的度數(shù)是；②求證：ZDAC=ZE；

(2)用等式表示線段A廠與QC的數(shù)量關系，并證明.

【答案】

27.(1)①NAFE的度數(shù)是135。；............1分

②證明：'：ZACB^9Q°,AC=BC,：.ZBAC=ZB=45°,

ZDAE=90°,：.ZDAC+ZEAF=45°,......................

EF〃BD,：.NEFB=/B=45。.：.ZEAF+ZE=45°.

：.ZDAC=ZE....................3分

(2)線段正和CD的數(shù)量關系是AR=我。。.

證明：延長跖交NC于點G.4分

VEF//CB,ZACB=90°：,ZACD=90°,NAGE=90°,5分

/.ZACD=NEG4在和△AGE中，

ZDCA=ZAGE

<ZDAC=ZE,

AD=AE

：.ADCA也△/GE,6分

：.CD=AG?：ABAC=45°Z.AF=42AG.7分

AF=V2CD.

法二：在AC上截取CH=CD,連接DH,證明AADH2AEAF(ASA)

1

ZACD=90°，/DHC=45°.-.DH=V2DC..........5分

ZADH+ZDAH=45°（三角形的外角等于與它不相鄰內角的兩個內角和）

AZEAF+ZDAH=45°（由圖可得）

ZADH=ZEAF又：/DAH=/E（由（1）②可知）AD=AE（旋轉）

AAADH^AAEF（AAS）............6分

ADH=AF.-.AF=V2CD.........................7分

法三：見下圖：過A點作AH1_AC,且AH=AC,連接EH。

則AAEH會ZkADC,；.HE=DC。過點F作FMJ_AH于點H,則可得

矩形EFMH,；.MF=HE=DC,AF=V2MF,可得結論AF=&CD。

(注：最后一問添加輔助線的方法：截長補短和旋轉)

三、三線合一共1小題

7.(2022大興一模27題)已知：如圖，OB=BA,ZOBA=15Q°,線段A4繞點N逆時針旋轉90。得到線段

NC連接BC,OA,OC,過點。作OO_L/C于點D

(1)依題意補全圖形;

(2)求/。OC的度數(shù).

OOO

1

【答案】27.（本小題滿分7分）（1）補全圖形如圖所示,

（2）輔助線如圖所示：

法1：【利用/則=/勵，”角平分線到角兩邊距離相等“，過點/作如延長線的垂線，再利用

利用N酬=30°,AE=AD=-AB=-AC=DC,中點和垂足重合，三線合一得所求是15°]

22

過點/作/反L加于日

:ZAEB=90°,

?：/ABO=150°,

:ZABE=30°,

ZBAE=60°,

又；BA=BO,

:ZBAO=/BOA=15°,

“OAE=75°,

■：^BAC=90°,

:ZDAO=ZBAC-/BAO=90°-15°=75°

：.ZOAE=ZDAO,

〔,勿_L/C于點D,

:ZAEO=ZADO=90°,

：./\AOE合/\AOD,......................4

分

：.AE-AD,

在Rt△/龐中，/.ABE=30°,

：.AE=-AB,

2

又：AB=AC,

：.AE=AD=-AB=-AC,

22

:.AD=CD,

又：/ADO=^CDO=90°,

ADO^CDO,...6分

:ZDCO=NDAO=75°,

1

"DOC=15°...........................................................................................................................7

分

法2：【出現(xiàn)30。，利用30。所對直角邊等于斜邊一半，此時又出現(xiàn)了矩形詢BE=AD=

*=DC'中點和垂足重合,三線合一得所求是15?！?/p>

過點6做BE±勿交于點E。

■：OB=BA,N084=150°

:/BOA=15°

于點。線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC,BE±OD

：.BA//OD,四邊形曲座是矩形，BA=AC

"BAO=ZAOD=15°,/BOE=30°,BE=AD

：.BE=AD=-OB=-BA=-AC=DC

222

：.AD=DC..........................................................................................................................4

分

又：/ADO=ACDO=90°,

ADO^CDO,....................................................................................................................6分

"DOC=15°.........................................................................................................................7分

法3:【與法2類似，構造含有30。角的直角三角形，此時又出現(xiàn)了矩形3；OE=AD=g

2

BO=^-AC=DC,中點和垂足重合，三線合一得所求是15°]

22

1

A

EO

延長AB,過點。做應'垂直延長線于點Eo則：AD//EO,AEAO=/AOD

OB=BA,ZOBA=150°

:.ABOA二匕BAO二乙AOD=15°

"OBE=30°,OE=-OB=-BA

22

■■■ODV4、于點D,線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC,OE±AB

:四邊形/〃/是矩形，OE=AD=-OBBA=-AC=DC

222

.?.點D是“宛底邊/C的中點和垂

足......................................................................................................4分

由等腰三角形三線合一得，

....................................................................................................................................6分

"DOC=AAOD=15°.

....................................................................................................................................7分

法4：【構造平行四邊形含有30°角的直角三角形，結合NADO=90°,NZ即=30°,得到AD

=kAE=9°=匆二°C,中點和垂足重合，三線合一得所求是6】

1

A

過點A做AE//BO,交切于點Eo

■：OB=BA,ZOBA=150°

:.^BOA=乙BAO=15°

于點D,線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC

：.BA//0D,OB=BA=AC

：四邊形/￡依■是平行四邊形，/BOA=/BAO=^AOD=15°

:ZBOE=AAED=30°

：.AD=-AE=-OB=-BA=-AC

2222

，點D是MOC底邊〃的中點和垂

足......................................................................................................4分

由等腰三角形三線合一得，

....................................................................................................................................6分

“DOC=乙AOD=15°.

....................................................................................................................................7分

法5：【構造正方形，△咳是等邊三角形，得到N￡Z=AEC0=15°,再由EC〃O0,得,DOC

=乙OCE=15°]

1

A

過點占做BE//AC,與CA的垂線CE交于點瓦

?.線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC

：.BA±AC,BA=AC

■.■BE//AC

:ZABE=90°

又?.?AC_LCE

：四邊形/應'，是正方形

：.BE=AC=AB=BO

：^OBA=150°

：ZOBE=60°

：三角形￡05是等邊三角形,EO=EB=EC

"OEC=150°

■:/EOC=乙ECO=

150..............................................................................................................4分

：.OD±AC,4ACE=90°

OD//EC.................................................................................................

?….6分

：ZDOC=乙EOC=15°.

..........................................................................................................................7分

1

法6：【利用△板外角等于30°,構造含有30°的直角△腑；"'等于郎的一半；同理，F(xiàn)D

等于辦的一半；利用AD和AC的一半關系，即中點，三線合一得NRC=NOCE=15°】

延長CAX如交于點凡

???OB=BA,ZOBA=150°

：.^BOA=/BAO=15°,/.FBA=30°

:.AF=-BF,AB=BO=—AF

22

-：OD±AC,線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC

：.BA//OD,乙BOA=乙BAO=乙AOD=15°,AB=AC=—AF

2

:ZFOD=30°,FD=-OF=-{OB+BF)=—AF+AF=FA+AD

224

A/31

:.—AF=AD=-AC

42

.?點D是MOC底邊/C的中點和垂

足...................................................4分

由等腰三角形三線合一得，

........................................................................................................................6分

:ZDOC=AAOD=15°.

........................................................................................................................7分

2

法7：【在池上取一點（構造含有30°的直角△械,也等于他的一半；利用/師=ABOD

=30°得到四邊形則是等腰梯形，從而得到初等于W（=物=m）一半，三線合一得N

DOC=Z.OCE=15°]

在AB上取一點K,使得NAKD=30°

.??線段BA繞點A逆時針旋轉90。得到線段AC

:ZBAD=90°,AD=上KD,BA=AC

2

■：ODrAC

:.BA//OD

:.Z.KDO=30°

OB=BA,ZOBA=150°,BA//OD

：.ABOA=ABAO=Z.AOD=15°

“BOD=30°

二四邊形加。是等腰梯形

:.KD=2AD=OB=BA=AC

.?.點D是“%底邊NC的中點和垂

足...................................................4分

由等腰三角形三線合一得，

........................................................................................................................6分

2

"DOC=NAOD=15°.

....................................................................................................................................7分

四、手拉手共5小題

8.(2022燕山一模27題)如圖，在三角形ABC中，AB=AC,ZBAC<60°,AD是BC邊的高線，將線段

AC繞點A逆時針旋轉60。得到線段AE,連接BE交AD于點F.

(1)依題意補全圖形，寫出/CAE=°

(2)求/A4F+/ABF和/EBC的度數(shù)；

(3)用等式表示線段ARBF,EE之間的數(shù)量關系，并證明.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質，補全圖形即可;

(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，求得/掰氏!由旋轉的性質可得//吠由三角形內

2

角和定理在△/座中，AABE+AE+ZBA(=^°-NCAE,便可求得/胡丹//班再由三角形外角的性質可

得NFBC；

(3)在斯上取點弘梗EM=BF,連接/〃由A/J?隹求得/4幽/BA后NEAM,再由/。氏60°可

得△加的是等邊三角形，便可解答；

【小問1詳解】

解：如圖分別以4。為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點￡,連接的交朋于點凡則/。氏60°；

【小問2法(1)詳解】

2

解：?.?AB=AC,A￡＞是3c邊的高線，

ABADABAC,

2

V線段AC繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE,

AB=AE,又N0LE=6O。，

；?ZABE=NE,

在AABE中，ZABE+ZE+ABAC=1800-ZCAE=120°,

1(ZABE+ZE+ZBAC)=60°

ZBAF+ZABF=6Q°

又是5c邊的高線，...NAD3=90°

,：ZBFD=ZBAF+ZABF,

：.ZFBC=90°-(ZBAF+ZABF)=30°.

【小問2法(2)圖解】

思路：構造輔助圓

【小問3法（1）詳解】

解：如圖，在斯上取點助使的冊連接力必

2

?：AB=AE,ZABF^ZAEM,B2EM,:?叢ABF^叢AEMQSB),

:?A戶AM,/BA六/EAM,

?：/DAO/BAF,:./DAO/EAM,

VZC4^60°,AZFA^&0°,

???△/阿是等邊三角形，

：.F^AF,

:.ARBQEF；

【小問3法(2)圖解】

思路：在線段EF上截取EM=BF,構造△然修△至MSAS）,證AAFM是等邊三角形，進而轉化結論：AF+BI^EF

【小問3法（3）圖解】

2

思路:連接CE在線段FE上截取FG=FC,構造等邊三角形FCG;證證△/注△及進而轉化

結論：AF+BF^EF

【小問3法（4）圖解】

思路：延長FD到點G,使得FG=FB,構造等邊三角形BFG;證△/戊運△成次進而轉化結論：ARB2EF

【小問3法（5）圖解】

2

E

B

G

思路：連接CE;倍長FD到點G,使得DG=FD,證△的匕△CGD;

可證；4FCG是等邊三角形；

再證△/屐涇△仇?；?

進而轉化結論：ARB2EF

【小問3法(6)圖解】

思路：在線段FE上截取FG=FA,構造等邊三角形AFG;證△/■△/仔;進而轉化結論：ARB氏EF

2

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形判定的性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質,

等邊三角形的判定和性質；熟練掌握相關性質是解題關鍵.

9.(2022門頭溝一模27題)如圖，在等邊△ABC中，將線段AC繞點A順時針旋轉a(0<a<60),得到

線段AO,連接CD,作的平分線AE,交BC于E.

(1)①根據(jù)題意，補全圖形；

②請用等式寫出/BAO與NBCD的數(shù)量關系，并證明.

(2)分別延長CD和AE交于點R用等式表示線段AFCF,。尸的數(shù)量關系，

并證明.

AAA

AAA

BCBCBC

解：(1)①略；...........................................................................................................2分

②ZBAD=2ZBCD,理由如下：...................................................................................3分

「△ABC是等邊三角形，A

ZBAC=ZACB=ZABC=60°.

.??線段ZC繞點/順時針旋轉。(00<a<60°),a

NCAD=a,AC=AD.

F

/.ZBAD=ZBAC-ZCAD=60°-at

ZACD+ND=180°—a.

XAC=ADt

./4CD-ZD-180~a-900

22

2

/.ZBCD=ZACD-ZACBJ90?！筩r]-60。=30?！筧.

/.ZBAD=2ZBCD.5分

⑵AF.CF,。尸的數(shù)量關系是=/，證明如下:

將線段b繞點C順時針旋轉60。交/廠于點G

???△ABC是等邊三角形,

:.AB=AC=BC,ZACB=60°.

..ZFCG=ZACB.

ZFCG-/BCG=ZACB-/BCG?

即/BCT=NACG.

?/ZE平分/BAD,ZBAD=2ZBCD

：.ZBAF=ZDAF=ZBCF.

,/ZAEB=ZCEF,

180°-ZBAF-ZAEB=180°-ZBCF-ZCEF.

即ZABC=ZAFC=60°.

：ZFCG=6ff,

△。尸G是等邊三角形.

/.CG=FG=CF.

..AACG^ABCF(SAS)

2

：.AG=BF.

AC=ADt

AB-AD.

AABF^AADF(SAS)

BF=FD.

/.AG=FD.

/.AF=DF+CF........................................................................................................7分

（三線合一）

證明：

作AKXCF干K.

由旋轉.AD=AC,

1

所以DK=CK=：CD.

因為AABC為M三角形.

所以AB=AC=AD.

所以A為^BCD的外心.

1

所以/BCD=;NBAD=/BAF.

因為NBCF+NF=/BAF+NB.

所以NF=ZB=60：

1

所以FK=AFcosF二；AF.

依次寫出：

1

DF+DK=;CD.

I1

DF-；CD=；AF.

11

DF+-(CF-DF)=-AF.

2DF+CF-DF=AF.

CF+DF=AF.

2

（手拉手）

證明：

由旋轉,AD=AC.

1

所以DK=CK=；CD.

因為△ABC為［三角形.

所以AB=AC=AD.

所以A為△BCD的外心.

1

所以ZBCD=-ZBAD=ZBAF.

因為NBCF+NF=NBAF+/B.

所以NF=NB=602

在FAI或取FK=FC,

則ACFK為正三角形.

于是NFCB+NBCK=ZFCK=60^ZBCK=ZKCA+ZBCK,

從而NFCB=NKCA

連接BF.

在△FCB與AKCA中.

FC=KC.ZFCB=ZKCA,BC=AC.

所以△FCBaaKCAISAS).

所以BF=AK.

所以AF=AK+KF二BFYE

又因為AB=AD.AF平分/BAD.

所以AF是線段BD的中垂線i為圖形簡潔，圖中未作的線段BD「

所以BF=DE

所以AF=BF+DF.

10.（2022房山一模27題）已知：等邊△ABC,過點8作AC的平行線/.點尸為射線A3上一個動點（不

與點A,3重合）,將射線PC繞點P順時針旋轉60。交直線/于點0.

（1）如圖1,點尸在線段A5上時，依題意補全圖形;

①求證：NBDP=NPCB；

②用等式表示線段3c應＞,5P之間的數(shù)量關系，并證明;

（2）點P在線段A5的延長線上，直接寫出線段3C3。,3P之間的數(shù)量關系.

【答案】27.（本小題滿分7分）

27.（1）①補全圖形如圖所示,

3

A

...................................................................1分

證明：設,PD交BC于點E

,「△ABC是等邊三角形

ABAC=ZABC=ZACB=60°

1,將射線PC繞點川I頁時針旋轉60°

.-.ZDPC=60°

-：l//AC

:.NDBE=ZACB=60。

：.ZDBE=ZCPE=60°

：ZBED=APEC

：.ZBDP=ZPCB.......................................................................3分

②BC=BD+BP

法1:【利用"先量后猜再證明〃或出現(xiàn)60。和旋轉構造

全等，使得60^

在以上取一點。使得BQ=BP,連接PQ

■：ZABC=60°

△P5Q是等邊三角形

:.PB^PQ,Nfi%=60°

ZBPD=ZCPQ

3

又:/BDP=/PCB

:.APBD2APQC

：.BD=QC

.BC=BQ+QC

：.BC=BD+BP.............................................................5分

法2：【利用"四點共圓”和出現(xiàn)60。和旋轉構造全等，翻取BD=BG

在班上取一點G使得BD-BG,連接DG

:NDBC=ZACB=60。

△皮）G是等邊三角形，ZDBG=60°,BD^GD

由上問知：ZBDP=ZPCB

「?四邊形四點共圓（同底同側的頂角相等的兩個三角形，四點共圓）。

:.NBPD=NGCD

在ABDP與4GDC中:

-：BD=GD,ZBPD=ZGCD,NDB六NDGO\20°

:.△BDP^AGDC

：.BP=GC

.BC=BG+GC

3

：.BC=BD+BP.............................................................5分

(2)BC=BD+BP.............................................................7分

證明：在a'上截取一點￡使得法外，連接物

,「△ABC是等邊三角形

ABAC=ZABC=ZACB=60°

1?將射線PC繞點產順時針旋轉60°

.-.ZZ)PC=60°

-：l//AC

：.ZDBC=ZACB=ZPBD=60°

△P3E是等邊三角形

NBPE=ZBPC+NCPE

,ZCPD=ZEPD+NCPE

:.ZBPC=ZEPD

在ABPC與△EPD中：

：ZBPC=ZEPD,ZPBC=APED,PB=PE

：.ABPC^AEPD

：.BC=ED

.BD=BE+ED

：.BC=BD+BP

11.(2022海淀一模27題)27.在Rt^Agc中，ZABC=90°-ZBAC=300'D為邊BC上一動點，

點后在邊AC上，CEuCE).點D關于點3的對稱點為點R，連接AD，p為AD的中點，連接

PE,PF,EF-

(1)如圖1,當點。與點3重合時，寫出線段PE與尸尸之間的位置關系與數(shù)量關系；

(2)如圖2,當點。與點氏。不重合時，判斷(1)中所得的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明,

若不成立，請舉出反例。

圖1圖2

困2圖2

3

【答案】

第一類：倍長:

方法1:

倍長E尸到點連接4W,FM,DE,

①/^AMP^ADEP——1分

②由上面全等得到4W〃QE,

證△CQE是等邊，可得/C=NCED=60°

進而得NME=60°

③詳細導邊可證4E=CP

④由4V/=OE,DE=CEWAA^CE——3分

得ACEF@AAME

這里三個全等條件都要證，出來任何一個得1分，出來三個得2分

⑤證明△麗是等邊三角形，然后得到數(shù)量與位置關系！——4分

注意：兩個關系都要有！

類似的，先延長CF到點G,使FG=C￡>,

然后連接ZG得到大等邊A4CG,進而得4G〃OE,

再證qIXDEP,

從而得到“小。E=CE,再導月E=C下，

得AAHEgAC￡F,——3分

也可以完成證明.一一4分

方法2：

倍長EP到點M,連接DW,FM,DE,

①AAEPgADMP——1分

②由上面全等得到HE〃DW,

證△(7￡)￡?是等邊，可得NC=NCE￡>=60。

進而得NA/QE=60°=NC——2分

③詳細導邊可證4E=CF,進而得DMCF——3分

④ACDE是等邊得DE=CE

得ACE%ADEM

⑤證明△FEM是等邊三角形，然后得到數(shù)量與位置關系！——4分

3

方法3：

N

倍長FP到點M,連接并延長。E,AM交于N,

連接EM

①AAPM名AD