2023-2024學(xué)年天津市四校聯(lián)考高二年級(jí)下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市四校聯(lián)考高二下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={久|醫(yī)一1|>2},B={x|(l-x)(4-x)>0},則4CiB=()

A.{x|l<x<3}B.{x|3<x<4]

C.{x\x<-1或x>4}D.{x\x<-1或x>3}

2.使不等式含<1成立的一個(gè)充分不必要的條件是()

A.xV—2B.-2<%<1C.-2<%<1D.-2<汽<1

3.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為4(孫%)。=123,…,10),經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2x+

a,若￡昌々=40,￡昌％=100,則。=()

A.20B.-17C.-170D.2

4.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引

導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有()

A.102種B.105種C.210種D.288種

5.定義在R上的函數(shù)/(久)導(dǎo)函數(shù)為((久)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)久，有/(久)>/(久)，且f(x)+2024為奇函數(shù)，則不

等式/(%)+2024靖<。的解集為()

A.(-OO,0)B.(0,+co)C.(-8,3)D.&+8)

6

6.設(shè)a=3°，8,b=90-,c=logne,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

7.已知f(久)=久+%g(久)=爐—3久+8—a,若對(duì)Vx】e[1,3],總?cè)?e[1,3],使/(與)=g(久2)成立，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[2,21]B.[|,21]C.[1,22]D.[11,22]

8.已知/(%)=sinx一%+1,則不等式/(租?)+/(3m+2)>2的解集為()

A.(-3,0)B.(-2,-1)

C.(-00,-3)U(0,+oo)D.(-00,-2)U(-1,+oo)

9.已知函數(shù)/(%)=In%一2%存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,一I)B.(一|,+8)C.［一|,+8)D.(l,+oo)

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.若命題使/+(a-1)久+1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

11.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為三知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為

100%,而不知道正確答案來時(shí)猜對(duì)的概率為/那么他答對(duì)題目的概率為

12.已知G+展開式中的常數(shù)項(xiàng)是540,則實(shí)數(shù)a的值為

13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，｛6?｝是公比為3的是等比數(shù)列，且的=瓦=3,設(shè)Sn=a%+i+

aaa

bn+2+bn+3,?,+bn+n'則?=

14.設(shè)科n為正數(shù)，且加+幾=2,則喈+如善的最小值為

m+1n+2--------

15.若/(%)=\x2-ax\-\ax-2|+1有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多,某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不

超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分，每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互

獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為右兩小時(shí)以上且不

超過三小時(shí)還車的概率分別為"兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).

(1)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；

(2)求甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元的概率；

(3)設(shè)甲、乙兩人所付的

租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列、均值E(X)、方差。(X)

17.(本小題12分)

如圖，4BCD是邊長為4的正方形，DELnABCD,AF//DE,且DE=32F=3.

(1)求證：BF〃平面DEC;

(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.

18.(本小題12分)

已知/'(x)=(x—l)ex+ax,g(x)=^x2+ax—1,其中a〉0

(1)令M>)=f(x)-g(x)

①求h(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

(ii)若h(x)存在大于0的零點(diǎn)，且方程/i(x)=1-a恰有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

G4-00),fg+%2)--％2)>2a

(2)若對(duì)V/CR,x2(0,2久恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

19.(本小題12分)

2,

已知數(shù)列｛an｝是遞增的等差數(shù)列，｛6n｝是等比數(shù)列，尻=2aL2,求歷=2口b3=2a4

(1)求數(shù)列｛廝｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

2

(2)記數(shù)列｛(一1產(chǎn)碌｝的前n項(xiàng)和為Sn,若小加>Sn對(duì)VzieN*恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(3)設(shè)”=；,求￡乜10的值?

U1U2U3un+l

20.(本小題12分)

已知/(%)=41n(ax+力)———i.

(1)若y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程為8%-y-1=0,求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)當(dāng)b=0時(shí)，若久(/(%)+%2+1)+2x(a-4)+a>0對(duì)任意％G(0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若/(%)有零點(diǎn)，求證：a2+b2>|.

答案解析

1.C

【解析】由—1|>2,得久—1>2或久—1<—2,即久>3或％<—1,

故/={x\x>3或久<—1},

(1—%)(4—%)>0,即(汽—1)(%—4)>0,解得久>4或久<1,

故8={x\x>4或％<1},

則/nB={x\x<—1或%>4].

故選：C.

2.B

【解析】由等價(jià)于空—1W0,即等W0,解得—

X—1x—lX—1

因?yàn)?-2,1)真包含于［-2,1),

所以不等式”1<1成立的一個(gè)充分不必要的條件是-2<x<1.

故選：B.

3.D

【解析】由于￡巴陽=40,鵡%=100,

所以h=4,y=10.

將(4,10)代入y=2x+a,

即2X4+a=10,解得：a=2.

故選：D.

4.C

【解析】先從8名志愿者中任意選出3名，

分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，有田種，

其中甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，有廢洛種,

故符合條件的選法共有呢-瑪掰=210種.

故選：C

5.B

【解析】設(shè)gQ)=號(hào),則g'(x)=

對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/0)>「(%)，

所以g'(x)<0,則g(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(久)+2024為奇函數(shù)，且/(久)的定義域?yàn)镽,

所以/(。)+2024=0,所以/(0)=—2024,所以g(0)=—2024.

因?yàn)榫?gt;0,所以求不等式/0)+2024〃<0的解集，

即求得<-2024的解集，即求g。)<g(0)的解集，

因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)的解集為％>0,

所以不等式/(久)+2024〃<0的解集為(0,+8).

故選：B

構(gòu)造函數(shù)9(?=得，根據(jù)題意，可得其單調(diào)性，從而求解不等式.

6.D

【解析】1Ve<冗，所以0Vlogne<1,即ce(0,1),

a=30-8>3°=1,b=90-6>9°=1,且力=906=312>308=a,

所以力>a>l>c>0,即b>a>c.

故選：D

7.A

【解析】由f(x)=x+p得/3=1—:=要=(x+2學(xué)一2),

所以當(dāng)1Wx<2時(shí)，f(x)<0,當(dāng)2<xW3時(shí)，f(x)>0,

所以/(久)在［1,2)上遞減，在(2,3］上遞增，

所以/O)min=/(2)=4,

因?yàn)閒(l)=5/(3)=3+(=.*所以/(X)max=5,

所以〃久)的值域?yàn)椋?,5］,

由g(%)=%3—3%+8—a,得g'(x)=3x2—3=3(%+1)(%—1),

當(dāng)％e［1,3］時(shí)，gf(x)>0,所以g(%)在［1,3］上遞增,

所以gQ)min=g(l)=l—3+8-a=6-a,5(%)max=g(3)=27-9+8-a=26-a,

所以g(x)的值域?yàn)閇6-a,26-a],

因?yàn)閷?duì)G[1,3],總?cè)?e[1,3]，使f(xi)=g(%2)成立，

所以[4,5]￡[6—ci,26—a],

所以[葭。14解得2WaW21.

126—a>5

故選：A

8.B

【解析】令g(%)=f(x)-1=cosx-x,

g'(%)=cosx—1<0,

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)間(一%)=—sinx+%=_g(%),

所以函數(shù)g(%)為奇函數(shù)，

由/(血2)+f(3m4-2)>2,得fXm?)—1>—/(3m+2)+1=—[/(3m+2)—1],

即。(病)>—g(3m+2)=g(—3zn—2),

所以血2<-3m-2,解得-2VmV-1,

所以不等式/(租2)+/(3m+2)>2的解集為(一2,—1).

故選：B.

9.B

【解析】43)=工_弧_2=上筆二紇x>0,

由題意可知，存在x>0,使((%)<0,即3—2a/一6久<0,

則2a>號(hào),x>0,2a>(空)，

x1%'min

3-6%/IV

---5——3I1I-3,汽>0

X2\X)

當(dāng)x=1時(shí)，3G-1)2_3取得最小值一3,

Q

即2a>—3,得a>——.

故選：B

10.—1Wa43

【解析】解：命題'勺％GR,使/+(a—l)x+1<0”的否定是：“WxeR,使/+(a-l)x+1>0”

即：△=(a—l)?—440,

—1<a<3

故答案是一1<a<3

11.景或0.8125

16

【解析】依題意，他答對(duì)題目的概率P=卜100%+(1-弓卜；=*

4\4/4Io

故答案為：

lo

12.+6

【解析】由題意得，(1+a/)6的展開式的通項(xiàng)為般+1=4g)6^(a/)k=MC"3k-6,

令3k—6=0,解得，k=2,

所以C+a/)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為口2量=15a2=540,

解得Q=±6.

故答案為：±6.

13.2-3n+n+2

n

【解析】由題意，an=2n+lfbn=3,

aaaa

則Sn=bn+l+bn+2+bn+3…+bn+n

=2(Z)n+1)+1+2(bn+2)+1+2(bn+3)+1+…+2(Z)n+?i)+1

,,,

=271,bn+2(14-2+3++n)+n

(1+n)n

=2展3n+2?-~——+n

=2n-3n+n2+2n,

所以包=2n芋+M+2"=2?+n+2.

nn

故答案為：2-3n+n+2.

14.當(dāng)或5.8

2m+33n+7_2(m+l)+l3(n+2)+l_-11

【解析】由題意,

m+lIn+2=m+r-1iIn+2m+-lIn+2

因?yàn)?72+71=2,

所以zn+l+n+2=5,

1

所以g(m+l+n+2)=l,

所以焉+焉=⑺+1+71+2),喘1++)=春,(黑+需+2)

■(需)+214

當(dāng)且僅當(dāng)需=需,即6=5,n=，時(shí)，等號(hào)成立，

所以5+4r+W25+g=?

m+ln+255

2m+3,3n+7、29

所以?

m+l+山產(chǎn)至，

2m+3

即+筆的最小值為總

m+ln+25

故答案為：y.

15.(—8,—V3)u(V-3,+°°)

【解析】由/(%)=0,得|%2_ax\-|ax-2|+1=0,

即|%2—ax|=\ax—2|-1,

令g(X)=I——ax\,ft(%)=\ax—2|-1,

則函數(shù)/(%)有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(%)與以%)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，

若。=0,貝療。)=/一1,由/(%)=o,解得％=±i,僅有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

若Q>0,由g(%)=0,解得久=0或％=a,

1Q

由九(%)=0,解得％=-或x=

、'aa

0<—<Cl

a

當(dāng)<0<-<a,即a>時(shí)，

0<-<a

、a

如圖①所示，在(-8,0］上，由于函數(shù)g(%)的增長速度大于函數(shù)Zi(%)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

在(0,a)上，函數(shù)g(x)與函數(shù)Zi(%)有兩個(gè)交點(diǎn)；

同理，在［a,+8)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)9(%)與以%)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(%)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；

0<—<d

a

當(dāng)<0<-<a,即，^<a<V3時(shí)，

a

->a

如圖②所示，在(-8,0］上，由于函數(shù)g。)的增長速度大于函數(shù)九(%)的增長速度,故有且僅有一個(gè)父點(diǎn);

在(0,a)上，函數(shù)g(%)與函數(shù)h(%)有一個(gè)交點(diǎn)；

同理，在口+8)上，沒有交點(diǎn)，

所以函數(shù)9(%)與攸%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

0<-<(2

a

當(dāng)<2之。，即時(shí)，

a

a

如圖③所示，在(-8,0］上，由于函數(shù)g(%)的增長速度大于函數(shù)九(%)的增長速度,故有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

在(0,a)上，函數(shù)g(%)與函數(shù)h(%)有一個(gè)交點(diǎn)；

同理，在［a,+8)上，沒有交點(diǎn)，

所以函數(shù)9(%)與以%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

f->a

a

當(dāng)<22a,即0<aW1時(shí)，

a

->a

當(dāng)x€(0,a)時(shí)，—2|+1=0可化為

—(x2—ax')+(ax—2)+1=0,即/—2ax+1=0,

因?yàn)榕袆e式/=4a2-4<0,所以--2ax+l=0無解

所以函數(shù)g(x)與h(x)的圖象在(0,a)上沒有交點(diǎn)，

如圖④所示，在(-8,0］上，由于函數(shù)g(x)的增長速度大于函數(shù)h(x)的增長速度,故有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

在(0,a)上，函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)沒有交點(diǎn)；

同理，在［a,+oo)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(?與h(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

1

<-<o

a

2

當(dāng)

時(shí)

<-<o即a<

a

3

<-<O

a

如圖⑤所示，在(-8,可上，由于函數(shù)9(%)的增長速度大于函數(shù)九(乃的增長速度,故有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

在(凡0)上，函數(shù)9(%)與函數(shù)九(%)有兩個(gè)交點(diǎn)；

同理，在［0,+8)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)0(%)與仗%)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(%)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；

a<-<0

a

當(dāng),a<2<0,即一V^Wa<—時(shí)，

a

［-<a

如圖⑥所示，在(-8,a］上，由于函數(shù)gQ)的增長速度大于函數(shù)/i(x)的增長速度，故沒有交點(diǎn)；

在(a,0)上，函數(shù)g(x)與函數(shù)九(久)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

同理，在［0,+8)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

a<-<0

a

當(dāng),24a9即一<a<—1時(shí)，

a

［-<a

如圖⑦所示，在(-8,可上，由于函數(shù)0(%)的增長速度大于函數(shù)以乃的增長速度，故沒有交點(diǎn)；

在(見0)上，函數(shù)g(%)與函數(shù)/i(%)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

同理，在。+8)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)9(%)與以%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

(~<a

a

當(dāng)<2<a,即一1<a<0時(shí)，

a

［-<a

當(dāng)x€(a,0)時(shí)，—ax|—|ax—2|+1=0可化為

—(x2—ax)+(ax—2)+1=0,即久2—2ax+1=0,

因?yàn)榕袆e式/=4a2-4<0,即久2-2ax+l=0無解

所以函數(shù)g(x)與％(久)的圖象在(a,0)上沒有交點(diǎn)，

如圖⑧所示，在(-8,?上，由于函數(shù)g。)的增長速度大于函數(shù)h(x)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

在(a,0)上，函數(shù)g(x)與函數(shù)h(%)沒有交點(diǎn)；

同理，在［0,+8)上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)八》)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-門)u(9,+8).

故答案為：(―8,一回0心,+8).

16.解：(1)

由題意可知，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為，，3

設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件4,貝1JP(4)++=3

42442416

所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為會(huì)；

16

(2)

若甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元，

則分為甲兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車，且乙不超過兩小時(shí)還車，

或者甲三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車，且乙兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車兩種情況,

甲所付的租車費(fèi)用比乙所付的租車費(fèi)用多2元的概率為]x|+|xi=1；

4ZZ44

(3)

X的可能取值為0,2,4,6,8,

111113

p(x=o)=g,p(x=2)=4X[+2X4=m，

XV11,11.113

P(X=4)=-X-+-X-+-X5=-1

d八11,113c、111

P(X=6)=^x-+-x-=->p^=8)=-x-=-,

分布列如下表：

X02468

131

P33

8168168

數(shù)學(xué)期望E(X)=0xi+2x^+4x^+6x^+8xi=4,

oloOIOO

D(X)==(0-4)2x1+(2—4)2X。+(4-4)2X|+(6—4)2x+(8—4)2x(=學(xué).

oloolooZ

【解析】(1)首先求出兩個(gè)人租車時(shí)間在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)的概率，則甲、乙兩人所付的租車費(fèi)

用相同：都不超過兩小時(shí)，都在兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)和都在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)三類求解即

可；

(2)根據(jù)題意分為甲兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車，且乙不超過兩小時(shí)還車，或者甲三小時(shí)以上且不超

過四小時(shí)還車，且乙兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車兩種情況，求解即可；

(3)列出隨機(jī)變量X的分布列，再利用期望、方差公式求值.

17.1?：(1)根據(jù)題意得：以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，貝UB(4,4,0),F(4,0,1)，

所以簫=(0,-4,1),

易知平面DEC的一個(gè)法向量為萬？=(4,0,0),

顯然瓦？?麗=0,又BFC平面DEC,

所以BF〃平面DEC；

(2)???￡(0,0,3),C(0,4,0),

貝區(qū)=(-4,一4,3)面=(-4,0,0),

設(shè)平面BEC與平面BEF的一個(gè)法向量分別為m=(a,b,c),n=(x,y,z),

即右(m-BE=0^f4a+4b-3c=0K-BE=o(4x+4y-3z=0

'^m-BC=014a=0U-BF=0Uy-z=0

取匕=3,y=l,則a=0,c=4,x=2,z=4,即布=(0,3,4),n=(2,1,4),

設(shè)平面BEC與平面BEF的夾角為6,則cos0=|普=%=%

1|m|-|n|15721105

(3)由(2)得平面BEF的一個(gè)法向量為n=(2,1,4),

又加=(0,0,3),所以點(diǎn)。到平面BEF的距離d=喘曰=得=學(xué)?

【解析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面位置關(guān)系，計(jì)算面面角及點(diǎn)面距離即可.

18.解:(1)

(D根據(jù)題意,

-1)=(%-l)ex—+1,

當(dāng)a<0時(shí)，h(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<aV1時(shí),九(%)在(-81na)上單調(diào)遞增，(Ina,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)，/%)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)a>1時(shí)，h(%)在(一8,0)單調(diào)遞增，(0,Ina)上單調(diào)遞減，(Ina,+8)上單調(diào)遞增；

(五)因?yàn)榉匠叹?%)=1-a恰有三個(gè)實(shí)根，

由(1)可知。<0和a=1兩種情況顯然不符合題意，

當(dāng)0<a<l時(shí)，/i(0)=-1+1=0,而久6(0,+8)時(shí)，/i(x)單調(diào)遞增，

無大于0的零點(diǎn)，不符合題意，

所以只能a>1,此時(shí)1—a<0,

由于九(%)在(0,Ina)單調(diào)遞減，/i(0)=0,在(—8,0)單調(diào)遞增，/i(lna)=(Ina—l)a—"712a+i,

h(%)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，/i(l+a)=ae1+a—(1+a)2+1=^(2e1+a—(1+a)2)+1,

令m(%)=2e1+x—(1+x)2,(%>0),則=2e1+x—2(1+%),

令u(%)=2e1+x-2(1+x),(%>0),則i/(%)=2(e1+x—1)>0,

所以u(píng)(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則u(x)>v(0)=2e—2>0,即M(%)>0,

所以zn(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，則zn(%)>m(0)=2e—1>0,

所以/i(l+a)>0,即Zi(%)在(Ina,+8)從最小值h(lna)增大到大于0,

所以方程以%)=1-a恰有三個(gè)實(shí)根，只需九(Ina)<1-a,

即(Ina—l)a—^ln2a+1<1—a,化簡為alnaQlna-1)>0,

而a>1,Ina>0,貝bIna—1>0,則a>e2,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(M,+8)；

(2)

由題意可得原不等式可化為+%2)一-%2)>(%1+%2)-(%1-％2)，

故不等式f(%1+犯)一+%2)>/(%1-久2)—(%1—久2)在R上恒成立.

設(shè)尸(%)=/(X)-X,則上式等價(jià)于尸(%1+%2)>-％2)，

要使產(chǎn)(%1+%2)>一％2)對(duì)任意V%1eR,%2E(。，+8)恒成立，

由％1+不>-12，只需函數(shù)F(%)=(%-l)ex+ax-%在7?上單調(diào)遞增，

Fz(x)=xex+a-1>0在R上恒成立.

即a之1—xex,(x6R)恒成立,

令G(%)=1—xex,(%G/?),則G'(%)=—(1+x)ex,

當(dāng)%e(一8,-1)時(shí),G'(%)>0,則G(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)％E(-1,+8)時(shí)，Gz(x)<0,則G(%)單調(diào)遞減，

11

所以GQQmax=G(-1)=1+工,故aNl+丁

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1+；，+8).

【解析】(l)(i)h(%)=(%-1)靖一￡/+1,求出導(dǎo)函數(shù)h'(%),然后分Q<0,0<a<1,a=1,a>1

四種情況分別討論即可求解；5)由(1)可知只能。>1,此時(shí)通過分析以%)的極值，可得方程

h(%)=恰有三個(gè)實(shí)根，只需/i(lna)<l—a,求解即可；

(2)將不等式變形為/(%i+久2)+(%1+%2)>/Ui-%2)+(%1-%2)，設(shè))(%)=f(X)-X,則問題等價(jià)于

x

F(%i+%2)>方(%1—%2)對(duì)任意%IER,%2W(0,+8)恒成立，故只需函數(shù)F(%)=(%—l)e+ax—/在R上

單調(diào)遞增，即a21-X短,(％€R)恒成立，從而求出。的最小值.

19.解：(1)

解：根據(jù)題意設(shè)數(shù)列的公差為d(d>0),數(shù)列｛幻｝的公比為q,

n-1

因?yàn)橥?2al=2,所以a九=1+(n—l)d,bn=2-q,

因?yàn)榱?=2a2，匕3=2a4，

所叱解得｛渭或憶卜舍去)，

所以a”-n,bn=2"；

(2)

解：由⑴知(-1嚴(yán)嗎=

所以s2n=-I2+22—32+42-----(2n-I)2+(2n)2

=(22-I2)+(42-32)+…+[(2n)2-(2n-l)2]

=(2+1)x(2—1)+(4+3)x(4-3)+,,,+(2九+2九-1)[2n—(2n-1)]

=1+2+3+4+…+(2n-1)+2n

=滔5=21+九，

n2

由mb九>S2n,得m?2>2n+n,

所以小>等*對(duì)VnGN*恒成立，

2222

人」2n+nmii,,2(n+l)+n+l2n+n—2n+3n+3

令dn=下l，則W+i~dn=---產(chǎn)-------/一=—嚴(yán)一

當(dāng)九二1時(shí)，d—di=1>0,當(dāng)九=2時(shí)，d—d=—^7—=^>0,

232OO

、[/_on-L,7_—18+9+3_3?

九—30^*，(1A1—do——io—-—77oV0，

所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)n23時(shí)，dn+1<dn,

所以63=三羅=4最大，

oZ

所以zn>I；

(3)

(1)知“的02a3…。九+1Ix2x3x--xn(n-1)(n+1)!

_(n+1)—1_J__]

(n+1)!n!(n+l)I，

所以=6得)+仁一+-+[3—&%]

1

—1---------------

0+1)!

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d(d>0),數(shù)列｛%｝的公比為q，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出d,q,

從而可求出數(shù)列｛a"和｛%｝的通項(xiàng)公式；

n22

(2)由(1)(一1嚴(yán)碌=(-l)n,利用并項(xiàng)求和法可求出S2n=2n+n,則將問題轉(zhuǎn)化為m>失*對(duì)Vne

N*恒成立，令4=等*,求出職的最大值即可；

(3)由(1)可得“='-還片，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.

20.解：(1)

由/'(x)=41n(ax+h)—x2—1,知1(x)=匕—2x.

由已知可得，y=/(%)在(0,/(0))處的切線8x—y—1=0經(jīng)過(0,—1),且斜率為8.

故有㈱代入函數(shù)表達(dá)式知俄方1=—1,從而｛叱？

(U)=8