2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬卷2

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬02

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，點（2,3）表示復(fù)數(shù)z,貝匹的虛部是（）

A.3B.3iC.-3D.-3i

【答案】C

【分析】先得到z=2+3i,貝丘=2-3i，再求出其虛部即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義得z=2+3i,從而1=2-3i，其虛部為-3.

故選：C

2.設(shè)。力不共線，AB=2a+Zb,BC=a+b,CD=a-3b,若A,B,。三點共線，則實數(shù)2的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】由向量共線定理求解.

【詳解】由已知

又三點共線，則共線，而不共線，AB=2a+Ab，

所以;=1,即九=一2，

故選：A.

3.已知圓臺的體積為152兀，兩底面圓的半徑分別為4和6,則圓臺的高為（）

A.6B.2V10C.4A/3D.572

【答案】A

【分析】

根據(jù)兩底面圓半徑分別求出其面積，代入圓臺體積公式即可求得高/z=6.

【詳解】設(shè)圓臺的高為心且上下兩底面面積分別為H=畛42=16%，邑=362=36無

根據(jù)圓臺體積公式可得;（岳+邑+鄧瓦%=：（16%+36%+>/16無-36兀）〃=152?1,解得h=6.

故選：A

4.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，區(qū),是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是（）

A.若m//a,n工/3,m工n,則cr_L/?

B.若mlla,m1/3,則a_L4

C.若mln,mua,nu°,則cr_L分

D.若機(jī)_La,〃uQ,m_L〃，則2_1夕

【答案】B

【分析】

舉例說明判斷ACD；利用線面垂直性質(zhì)、面面垂直的判定推理判斷B.

【詳解】

對于A,在長方體AC1中，平面AMGR,平面ABCD分別為%夕，A3,B片分別為直線利力,

顯然〃z//a,〃_L6，根_L〃，而平面AAGA〃平面ABCD，A錯誤;

對于B,由〃〃/口，知存在過加的平面/與a相交，令交線為c,則c//m,而機(jī),力,

于是c_L￡,a1/3,B正確;

對于C,在長方體AG中，平面AB|G2，平面ABCD分別為&,尸，4片,8c分別為直線利力,

顯然加_L〃，加ue,〃u尸，而平面AAGR〃平面ABC。，C錯誤;

對于D,在長方體AC1中，平面AMGR,平面ABCD分別為氏6，8片,A8分別為直線吸力,

顯然〃z_La,〃u_1_",而平面AB|G，//平面ABCD,D錯誤.

故選:B

5.如圖，在一"C中，已知2=45,￡＞是2C邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6,則AB的長為（）

C.60D.10

【答案】B

【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.

【詳解】在△ADC中，cos/A￡）C=10+6一煲=_]_

2x10x62

27r7T

因為0＜/4￡＞。＜兀，所以/AOC=—=

33

AB_AD

在.AD5中,AB=5底.

sin/ADBsinB

故選：B.

6.在銳角中，AD為BC邊上的高，tanC=2tan3,AD=xAB+yAC,貝卜一丁的值為（）

A.—B.!C.—D.—

2233

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及得到＞（即可得到；

tanC=2tanB9=2￡7,CO=C5,再由平面向量線性運算

法則及平面向量基本定理求出x、V,即可得解.

【詳解】如圖在銳角.ABC中，AD為BC邊上的高，

所以tanC=4^,tanB,又tanC=2tanB,

DCBD

4nAr）i

所以二:=2x=,所以加＞=2OC,則CO'CB,

DCBD3

所以AT＞=AC+CD=AC+—C3=AC+—（A5—AC）=—AC+—g

33、733

x——1

3I?1

XA￡＞=xAB+yAC,所以，所以無一＞=]一§=一].

y=—

[3

故選：C

7.如圖，已知。的內(nèi)接四邊形A3CD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,則809。=（）

B.D

3

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】由圓的內(nèi)接四邊形有/&m+/38=兀，再利用余弦定理可得30=2?,進(jìn)而利用平面向量的數(shù)

量積公式與運算法則即可得解.

【詳解】連接3D,如圖，

因為AB=2,BC=6,AD=CD=4,設(shè)BD=t,

由圓的性質(zhì)可知ZBAD+Z.BCD=71,故8sABAD+cosZBCD=0,

*zAB2+AD2-BD-BC2+DC2-BD2八

所以---------------+----------------=0,

2ABAD2BCDC

92J2—產(chǎn)A2-I-42—產(chǎn)

即—+=0,解得=2小，即5D=2A/7,

2x2x42x6x4

所以B0-CD=BO-(BD-BC)=B0-BD-B0-BC

=BDx能一BCx芋=2幣x幣-6x3=4

故選：D.

8.已知三棱錐5-ABC的底面是邊長為3的等邊三角形，且S4=AB,NS4B=120。，平面SAB，平面ABC,

則其外接球的表面積為()

A.1271B.24兀C.36KD.39兀

【答案】D

【分析】分別利用正弦定理求得的外接圓的半徑，再利用兩個面垂直的三棱錐的外接球半徑尺

滿足（2R）2=（2/）2+（2^）2-452,從而得解.

【詳解】因為三棱錐S-ABC的底面是邊長為3的等邊三角形,

所以AB=3,貝|SA=AB=3,

設(shè)的外接圓的半徑分別為、馬,

則在等邊中，21，Z0=3X/=2」,

sin60°，3

在△SA3中，Z5AB=120°,

所以S*=SA2+A82_2&4.ABCOS/SA8=32+32-2x3x3x^-1^=27,

貝”5=3/5-2c丫2=.SB=3①rr不2=6,

sin120°，3

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為尺,因為平面5AB，平面ABC,

22222

貝I］（2R『=⑵）+⑶）-AB=（2石『+6-3=39,

所以其外接球的表面積為4兀尺2=39兀.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列命題為真命題的是（）

A.復(fù)數(shù)2-2i的虛部為-2i

B.若i為虛數(shù)單位，則i2023=_i

C.在復(fù)數(shù)集C中，方程尤2+彳+1=0有兩個解，依次為二+"i,」_/i

2222

D.復(fù)平面內(nèi)滿足條件|z+i|<2的復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點z的集合是以點（0,1）為圓心，2為半徑的圓

【答案】BC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義可判斷A；根據(jù)i的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)方程的根可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何

意義可判斷D.

【詳解】對于A,復(fù)數(shù)2-2i的虛部為-2,故A錯誤；

對于B,14x505+3=j3=_j,故B正確；

小-2,(1丫3]173.YI5'

又寸于C,x+x+1=x~\—~\——xH1--------ixH-----------i,

I2)4I22)[22)

因此在復(fù)數(shù)集C中，方程d+x+l=0有兩個解，依次為一工+Yii，一工一代i,故C正確；

2222

對于D,復(fù)平面內(nèi)滿足條件|z+i|W2的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以點(0,-1)為圓心，2為半徑的圓面，故

D錯誤.

故選：BC.

JT

10.已知_ABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為d6,c,^b=9,a=2c,B=~,貝。()

A.ABC的外接圓的面積為277rB.一ABC的周長為9+

C.ABC是直角三角形D.ABC的內(nèi)切圓的半徑為(9-3小卜

【答案】ABC

【分析】選項A,根據(jù)條件，利用正弦定理，可求得外接圓半徑為R=36，進(jìn)而求出外接圓的面積，即可

判斷出選項A的正誤；根據(jù)條件，利用余弦定理，可求得c=3百，a=6有，進(jìn)而可判斷出選項B和C的

正誤，選項D,設(shè)內(nèi)切圓半徑為乙利用g6c=g(a+b+c)r,求出乙即可判斷出選項D的正誤，從而求

出結(jié)果.

jrh工=2R

【詳解】對于選項A,因為b=9,Q=2c,3=m，由正弦定理可得一^=2H,即.兀一，得到尺=36，

3sinBsin一

3

所以一ABC的外接圓的面積為兀尺2=27兀，故選項A正確,

22

對于選項B,由余弦定理Z?2=a+c-2accosB，

得至!J81=4/+/—2x2cxcxcos§,整理得到3c81,解得c=3G，所以a=65/5,

故」1BC的周長為9+9石，所以選項B正確，

對于選項C,因為〃=6^/§\C=36^b=9,所以。2=，+)2,故選項C正確,

對于選項D,設(shè)內(nèi)切圓半徑為,，由：bc=g(a+6+c)r,得到3如=(1+括)廠，解得廠=%芋，所以選項

D錯誤,

故選：ABC.

11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulli,于1996

年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測量一個Trulli的屋頂，得到圓錐SO(其中S為頂點，。為底面圓心)，母

線以的長為6m,C是母線9的靠近點S的三等分點.從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶

的最小長度為2而m.下面說法正確的是()

A.圓錐SO的側(cè)面積為1271m2B,過點S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為80m°

C.圓錐SO的外接球的表面積為7271m2D.棱長為鬲的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動

【答案】ABD

【分析】

利用圓錐的側(cè)面展開圖、余弦定理、扇形的弧長公式可求出圓錐的底面半徑，進(jìn)而可求出圓錐的側(cè)面積，

可知A正確；過點S平面截此圓錐所得截面面積最大為&SAB，計算可知，B錯誤；計算出圓錐SO的外接

球半徑后，再求出其表面積，可知C不正確；求出圓錐的內(nèi)切球的半徑和棱長為6的正四面體的外接球的

半徑，比較可知，D正確.

【詳解】對于A,設(shè)圓錐底面半徑為,，如圖，

在△ASC中，AS=6,SC=2,A'C=2yfl3,

...cos/ASC="+SCj'C、36+4-521

—,

2A'S-SC2x6x22

27r27r

二?NASC=—，所以2兀r=—x6,/.r=2（米）,

33

所以圓錐的側(cè)面積為=gx6x2兀X2=12TI(n?),故A正確;

“二c五SA2+SB2-AB27

對于B,在AASB中，cosZASB=---------------------=—

2SASB9

I49-40

所以sin/AS3=

所以過點S平面截此圓錐所得截面面積最大為

SASAB=-SA-SBsinZASB=—x6x6x=8^/2(n?),故B正確;

229

對于C,設(shè)圓錐SO的外接球半徑為R,則R2=（SO-R）2+/,

又SO=JSA2—戶=J36—4=40，

O

所以尺2=(40—村+4,：.R=-42,

圓錐S。的外接球表面積為4成一元福X2=粵，故C不正確;

1

對于設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為則??t=A/2，

D,SO4夜一—3

在棱長為石米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為小

則此正四面體的底面外接圓半徑為［x退xg=l,高為屈W=后,

所以片=1+（0-療，所以不=手，

因為乙<乙所以棱長為石米的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，故D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用圓錐的側(cè)面展開圖、余弦定理、扇形的弧長公式求出圓錐的底面半徑是關(guān)鍵點

一，利用棱長為有米的正四面體的外接球的半徑與圓錐的內(nèi)切球的半徑判斷D選項是關(guān)鍵點二.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，其中15題第一空2分，第二空3分，共15分.

12.已知平面向量3=（1,-2）,b=（2,m）,若a_Lb，貝！1k-0=

【答案】710

【分析】利用向量垂直、向量四則運算和向量模長的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】因為平面向量°=（1,一2）,b=（2,m）,a±b<

所以a.〃=lx2+（—2）x根=0,解得機(jī)=1,BP/?=（2,1）,

所以4-匕=（一1,-3）,\a-b\=7（-1）2+（-3）2=4lQ,

故答案為：回

13.相看兩不厭，只有敬亭山.李白曾七次登頂拜訪的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白獨坐

樓（如圖（1））,如圖（2）,為了測量該樓的高度A8,一研究小組選取了與該樓底部8在同一水平面內(nèi)的兩

個測量基點C與。，現(xiàn)測得N8C￡>=30°,NC￡>3=45°,BD=13m,在C點處測得該樓頂端A的仰角為600,

則該樓的高度AB為m.

【答案】13m

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理及直角三角形邊角關(guān)系計算即得.

BD13sin45

【詳解】在△3CD中，由正弦定理得BC==130,

sinZCDBsin/BCDsin30

在RtAABC中，AB=BCtanZACB=1372xtan60=13表（m）.

故答案為：13指

14.正三棱柱ABC-AgG中，所有棱長均為2,點E,尸分別為棱8月，AG的中點，則直線EF與直線

8C所成角的余弦值為；若過點A,E,尸作一截面，則截面的周長為.

【答案】4/0.7526

【分析】取CG的中點連接￡70,句W,則可得NEEM為異面直線EF與直線BC所成角，然后在△FEM

中求解，連接AE并延長交A4的延長線于點G,連接FG交4G于點。，連接即，則四邊形AEZm為截

面四邊形，然后求解其周長即可.

【詳解】取C。的中點“，連接近0,9,

因為點E為棱8月的中點，所以BC〃項T,BC=EM=2,

所以ZFEM為異面直線EF與直線BC所成角，

連接與尸，因為8氐，平面A4G，4尸u平面A與G，所以8月，27，

因為為邊長是2的正三角形，F(xiàn)為AG的中點，所以4尸=G，

所以EF=QBF+BE=7^71=2,

MF=QcF+cM=V2,

匕匚i\(r-i-t人口十^^丁中乙曰/EF?+EM?-FM?4+4-2_3

所以由余弦7E理得cos/FEM=----------------

2EFEM2x2x24

所以直線EF與直線BC所成角的余弦值為13,

4

連接AE并延長交A片的延長線于點G,連接FG交耳G于點。，連接瓦),

所以過點A,E,F的截面為四邊形AEZ>,

因為點E,F分別為棱8月，AG的中點，所以AE=AF=JH4=6,

過F作FN〃B、G,交A用于點N,則N為A瓦的中點,

因為AA〃8耳，所以GB\Es,GAXA,

所以普=煞=1，所以名為GA的中點，所以G4=A4=2,

CJAJAZ

因為RV〃片G,所以GBtDs△GNF,

所以等=瑞，T=r所以即4則CQ=2-V

所以O(shè)E=JBE+BD=

在△DFC1中由余弦定理得DF2=CQ2+c尸一2QDQFcos60°

“c4,113

+1-2x—xlx—=—

329

所以。尸=必，

3

所以四邊形A￡D廠的周長為AE+A尸+DE+0尸=2療+冬叵,

3

即截面的周長為26+冬叵，

3

故答案為："I",20+2^^

43

G

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查異面直線所成的角，考查幾何體的截面問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平面的性

質(zhì)結(jié)合題意作截面圖形，考查空間想象能力，屬于難題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知向量°,1滿足忖=0,忖=1,a-（a-b^=l.

⑴求a與b的夾角；

（2）若c=2a-b，d=a+2b求c+2d.

【答案】（l）f;

⑵卜+24=75^.

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積性質(zhì)及運算規(guī)律即可求解.

（2）由c+2d=4a+36，再利用求模公式求解.

【詳解】（1）因為問=忘，卜卜1,a-（a-b^=\,設(shè)<a,b>=9,

所以6）=a?—a2=同一一同?W，cosO=2—夜cosd=1,

所以cos6=，

2

jrIT

因為owew兀，所以e=:,即〃與〃的夾角為;.

44

（2）因為c+2d=2。-/?+2（。+2人）=4。+3人，

貝+2d1=（4Q+3Z?『=16〃2+9/+24〃電=16x（應(yīng)丁+9+24x1=65,

故上+24=辰

16.（15分）設(shè)虛數(shù)z滿足|2z+15|=6B+10|

⑴計算目的值；

（2）是否存在實數(shù)a,使二+@eR?若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由.

az

【答案］⑴5有

（2）存在,a=+5>/3

【分析】（1）首先設(shè)復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算公式，化解求解；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算公式，化簡三+@eR,即可判斷.

az

【詳解】（1）設(shè)z=c+6i（c,beR且人20）,則2=0-歷，

因為|2z+15|=?|2+10|,

所以|（20+15）+2同=例0+10）-同，

所以J（2c+IS）?+（2療=6j（c+ioy+r,

所以/+及=75,所以y/c2+Z?2=5^3,

所以|z|=5也；

（2）存在〃=±56滿足題意.

設(shè)2=。+歷（C/￡R且bwo）,假設(shè)存在實數(shù)a使三+q￡R,

az

.zac+bia（cac\（bab

則（有_+_:——+—-=-+^-y+——廠胃IER,

azaC+PI\ac+bJ\ac+bJ

h

所以2-鏟萬=0,因為6*0,所以"=/+/=75，

ac+b

得a=±55/3

所以存在實數(shù)a=±56,滿足三+@eR.

az

17.（15分）如圖，四棱錐P—ABCD中，AD//BC,BC1CD,BC=2CD=2AD=2五,平面ABC。，

平面PAC.

⑴證明：PC1AB；

(2)若尸A=PC=?^AC,M是出的中點，求三棱錐A1-ABC的體積.

2

【答案】(1)證明見解析

⑵2

3

【分析】

(1)根據(jù)底面的幾何關(guān)系，可證明AB1AC,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明;

(2)首先求點尸到平面ABC的距離，再根據(jù)體積轉(zhuǎn)化%_"c=g%-ABc，即可求解.

【詳解】(1)

取BC中點N,連接AN,則CN=A￡>=C￡>=0,又")〃CN,BC1CD,

所以四邊形ANCD為正方形，則NA7VB=NANC=9O。，ZNAC=45,

jrjr

又在A7VB中，AN=BN=五，貝!)/84"=^，所以NBAC=5，即AB，AC.

又平面ABCD_L平面PAC,平面ABCDc平面B4C=AC,ABu平面A3CD,

所以AB2平面PAC,又PCu面PAC,所以PCLAB.

(2)

連接DN,交AC于0,連接OP,

因為平面PAC,POu平面PAC,所以PO_LA3

由于AZ)〃8N,AD=BN,又因為R4=PC,。為AC的中點，所以O(shè)PLAC,

又因為ACu平面ABCD,ABu平面ABCD,所以尸01平面ABCD

所以尸A=PC=百，OP7P曾-AO?=7^1=2

114

SABC=gX2x2=2,七棱錐P.ABC=§x2x2=§

12

又因為M為PA中點，所以％

18.（17分）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃也c,且力=c,sA：co：C

2abca+c-o

⑴求8；

（2）設(shè)。為AC的中點，b=2,求8。的最大值.

【答案】（1）三

⑵百

【分析】（1）利用余弦定理及正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式計算可得;

（2）利用余弦定理求出火的最大值，再由BD=g（BA+3C）及數(shù)量積的運算律計算可得.

,、-/＜、e、r〃+ccosA+cosC

【詳解】（1）因為:7丁=__T，

2abca+c-b

a+ccosA+cosC._

“…----=-z---5---▼.a+ccosA+cosC

所以ba2+c2-b2,aBrP——=----------,

---------bcosB

lac

sinA+sinCcosA+cosC

由正弦定理可得

sin3cosB

所以cosB（sinA+sinC）=sinB（cosA+cosC）

所以sinAcosB-cosAsinB=sinBcosC-sinCcosB,

所以sin（A_g）=sin（3_C）,

因為A,昆Ce（0,7t）,則A-Be（-兀,兀），B-Ce（-7t,7t）,

所以4_3=3_<?或（4_5）+（5_（?）=?；颍ˋ_B）+（g_C）=_7i,

所以A+C=23或A—C=TT（舍去）或A—C=-7i（舍去），

TT

由A+5+C=7l,所以3=1.

（2）由余弦定理Z?2=a2+c2—2accosNCBA,gp4=+c2-,

所以4+ac=/+c2>2ac,解得QC《4當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號,

因為。為AC的中點，所以Br>=g（BA+BC）,

所以|叫=1（BA+BC）2+2BA-BC+BC^

1(2c兀2)

——c+2〃ccos—FCl

4〔3)

=?，+QC+"2)

=7(4+2QC)=1+5acK3,

所以退，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號,

即的最大值為用.

19.（17分）如圖，在正三棱柱ABC-中，AB=2,。為AB的中點，E、尸在AC上，2EF=3%E=3FC.

（1）試在直線A8上確定點尸，使得對于FQ上任一點。，恒有PD〃平面4OE；（用文字描述點尸位置的確定

過程，并在圖形上體現(xiàn)，但不要求寫出證明過程）

（2）已知。在直線AA上,滿足對于g上任一點D，恒有QDH平面AOE，尸為（1）中確定的點，試求當(dāng)△△加

的面積最大時，二面角P-AC-2的余弦值.

【答案】（1）答案見解析

⑵乎

【分析】

（1）延長0B至點尸，使BP=：OB,點尸即所求的點，然后證明出平面尸c/〃平面AOE,利用面面平行的

性質(zhì)可得出結(jié)論;

（2）分別延長C/、&A,所得交點即點。，連接PQ,則二面角P-4C-Q即二面角B-AC-A,推導(dǎo)出

S^P=—S^,可知，當(dāng)以4最大時，SAAM最大，利用基本不等式求出S△.同的最大值，及其等號成立的

0OBAal

條件，分析可知4明。為等腰直角三角形，取AC的中點則3M_LAC,在平面AA￡A內(nèi)過點M作

MNL^C,垂足為N,連接3N,分析可知/BMW為二面角的平面角，計算出BNM三邊邊

長，即可求得/BW的余弦值，即為所求.

【詳解】（1）解：延長08至點P,使BP=；OB,點尸即所求的點，圖形如下：

證明如下：連接P尸、PG，

在正三棱柱ABC-中，AV/CG且=CG，所以，ZAAlE=ZClCF,