2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)的最值與值域知識(shí)梳理

函數(shù)的最值與值域知識(shí)梳理

【考綱要求】

1.會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；

3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

4.在某些實(shí)際問題中，會(huì)建立不等式求參數(shù)的取值范圍，以及求最大值和

最小值.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

函數(shù)的最值與值域

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、函數(shù)最值的定義

1.最大值：如果對(duì)于函數(shù)/(%)定義域。內(nèi)的任意一個(gè)自變量x,存在毛eD,

使得/(x)</(x0)成立，則稱/(x0)是函數(shù)f(x)的最大值.

注意：下面定義錯(cuò)在哪里？應(yīng)怎樣訂正.

如果對(duì)于函數(shù)/(幻定義域。內(nèi)的任意一個(gè)自變量x,都有,則稱M

是函數(shù)/(%)的最大值.

2.最小值的定義同學(xué)們自己給出.

考點(diǎn)二、函數(shù)最值的常用求法

1.可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

2.分離常數(shù)法：主要適用于分式函數(shù)求最值或值域

3.換元法：很多含根式的函數(shù)的最值的求法經(jīng)常用到換元法來求.常用的換

元有-----三角代換，整體代換.

4.不等式法：利用均值不等式求最值.

5.利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值

6.含絕對(duì)值的函數(shù)或分段函數(shù)的最值的求法

7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。

8.構(gòu)造斜率、距離、面積等，利用數(shù)形結(jié)合求最值。

要點(diǎn)詮釋：

(1)求最值的基本程序：求定義域、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)、列表、根據(jù)表

比較函數(shù)值大小給出最值；

(2)一些能轉(zhuǎn)化為最值問題的問題：

/(x)>A在區(qū)間D上恒成立O函數(shù)/(初而>

/(x)<3在區(qū)間D上恒成立O函數(shù)/(x)max<B(xeD)

在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)了使/(x)<3O函數(shù)/(x)1mn<3(xe。)

在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)了使/⑴>A0函數(shù)/(x)1m*〉A(chǔ)(xe。)

【典型例題】

類型一、通過換元的方法求解函數(shù)的值域或最值

例1.求函數(shù)/(x)=e2x-mex+e~2x-me~x的最值.

【思路點(diǎn)撥】：此題中由于出現(xiàn)e2x,/,e-—e—2￡四種指數(shù)形式，且

62工=(/)2,63=(小工)2

從而聯(lián)想到通過換元將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù).而令e**或令印，=/均無法

達(dá)成目的，故可令短+"，=。

解：令V+e-=/?N2)則原函數(shù)的最值即g⑺=產(chǎn)-仁-2(d2)的最值。

因?yàn)間⑺關(guān)于”羨對(duì)稱，從而有：

①當(dāng)葭W2即加(4時(shí)，g⑺在［2,內(nèi))單調(diào)遞增，；.g⑺m"g(2)=2-2機(jī)，

無最大值.

②當(dāng)三〉2即加>4時(shí),g⑺在2,；］單調(diào)遞減，在T，+oo］單調(diào)遞增

■'''g?)min=gg)=_^--2

例2.已知S=*l,求值域

氐刀A(-Ji，5nic2tano-32tancif-3八.。

斛：令%=tan/a￡----,—,止匕日寸S=,---=----；----=2sin。-3cosa,

(22)71+tan2?J

COS。

32

由輔助角公式S=413sin（a-。）.其中角0滿足sin0=—/=,cos(p=—7=且0((p(7r

713V139

(7171

從而可得到a-cp^\--------cp,------cp

一1Vsin(a-0)<三-V13<S<2

V13

例3.求/(x)=x+J1-2x的值域

,____]_產(chǎn)

解：令J1-2x=/?20)則x=------所以：

2

]一產(chǎn)1

原函數(shù)的值域即g⑺=+t(t>0)的值域.???g(t)=1(-/+21+1)關(guān)于t=1

對(duì)稱.

g(t)<g⑴=1二值域是(-oo,l]

變式：在上題中若將Jl-2x改為，1-2改呢?

22

【思路點(diǎn)撥】：若改為V1-2%,采用上面做法令Vl-2%=Z（1＞Z＞0）＞行不通了，

11-/

因?yàn)橛胒表示X時(shí)會(huì)出現(xiàn)x=d亍.換元本身是為了消去根號(hào)，可這下又引入新

的根號(hào).說明此題與上一個(gè)題類型不同，需要一種新的換元方法，在消去根號(hào)同

-72V2

時(shí)不新添根號(hào)，而且換元后又能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)?？紤]到亍4%＜三，

可考慮令x=*sin&（一、＜￡＜叁）

解：令x=^-sma（-1＜a＜|），原函數(shù)的值域即

g(a)=*ina+cosa,ae7171

一萬'萬」的值域,

,??8（0=[哼）2+"吊（。+夕）,其中0滿足：*是。終邊上一點(diǎn)且。＜。＜]

?/?、/?/、/?/萬、

sm(°----)<sin(a+夕)<11,/sin(0)=-cos0=——?2==----7-5--

2243

—y[2y[6

【總結(jié)升華工只要是形如y=av+匕+八%”億>0/>0)的函數(shù)求值域均可用

三角換元

例4.求函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx-2sinx的值域

【思路點(diǎn)撥】本題可先用5皿2兀=25皿口05%將自變量統(tǒng)一成了,然后再考慮換元

將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角函數(shù)形式.

解：f(x)=2sinxcosx+2(cosx-sin%)=1-(cosx-sinx)2+2(cosx-sinx)

/.令cosx-sinX=t(tG[-V2,V2])原函數(shù)的值域即

ga)=-?2+2/+l,/e[-V2,V2]的值域.由于g⑺關(guān)于t=l對(duì)稱，故

g?)max=g(D=2,g?)m1n=g(—后)=一1一2后

/(x)值域?yàn)閇-1-2后,2]

類型二、分段函數(shù)求最值與值域

例5.求函數(shù)/(%)=卜+5|-k一1|的值域

6,x>1

解：由題意，得：/(x)=2x+4,-5<x<l,畫出該函數(shù)的圖像便可求出值域?yàn)?/p>

—6.x<—5

[-6,6]

變式：求函數(shù)/(%)=卜2+2耳—12+2%-3]

解：與上題類似，只需令必+2%=/"一1),則原函數(shù)的值域即

g(O=|?|-|r-3|(z>-D的值域

例6.若函數(shù)/(x)=/-2x+2當(dāng)r<x</+1時(shí)的最小值為g⑺，求函數(shù)g⑺當(dāng)

fe|-3,2]時(shí)的最值。

7(OJ>12f+2

解：由已知得：g(o=</(1),0<?<1=<1,0</<1,g⑺的圖像如下:

y(r+i),/<ot2+i,t<o

由圖像可知ZG[-3,2]時(shí)，g⑺min=l

g⑺max=gJ3)=10

類型三.數(shù)形結(jié)合求最值值域

例7.求函數(shù)y=4-2%-j3+2x-%2的值域

【思路點(diǎn)撥】：本題一開始容易想到換元法，令j3+2x-1=/,但會(huì)發(fā)現(xiàn)前面

的4-2%無法用/表示.而題中的函數(shù)又是我們不熟悉的，必須通過變形轉(zhuǎn)化為熟

悉的函數(shù).因此便想到了將兩部分分別換元.

解：令4-2%=",)3+2%-丁=v(0WvW2)原

函數(shù)的值域即y=w-v(0<v<2)的范圍.

(M,V)滿足：

(g)2+y=4^2i+r=i(0<v<2)

2164

y=〃—v(0WvW2)斜率為1且過點(diǎn)(y,0),

故原函數(shù)的值域即為“-0-v坐標(biāo)系中經(jīng)過橢

圓上的點(diǎn)且斜率為1的直線的橫截距范圍.由圖可知，當(dāng)直線位于乙與4的位置

時(shí)，截距分別取得最小值與最大值.

將y=u-v(0<v<2)與——+—=1(0<v<2)聯(lián)立得

164

5M2-(8y+4)〃+(4y2-12)=0

2

A=(8y+4)-20(4/-12)=0^/-4y-21=0y；=7,y2=-3

Zj:u—v+3=0yG[—3,6]

【總結(jié)升華】：此題求值域的方法類似于線性規(guī)劃，當(dāng)所給的函數(shù)比較復(fù)雜，通

過換元又無法將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)時(shí)可考慮此方法.

例8.求函數(shù)f(x)=+2無+5+J%?+6%+25的值域

【思路點(diǎn)撥】：本題與例8以及前面例3、例3的變式類型均不同，形式上有兩

個(gè)根號(hào)，而且根號(hào)下都為二次函數(shù)，顯然用基本的換元都難以將它轉(zhuǎn)化為熟悉的

函數(shù).又考慮到根號(hào)下的形式與兩點(diǎn)間距離公式比較接近，因此變考慮將其轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)距離之和.

解：/(%)=J(x+1戶+(0—2)2+J(x+3)2+(0-4)2,

故/(%)的值域即：P(x,0)到今(-1,2)與6(-3,4)的距

離之和，距離之和的最小值為片2)到6(-3,4)的

距離2炳，無最大值.

二值域?yàn)閇2J記,+8)

例9.求函數(shù)/(x)=的值域

COSX+A/3

解：令P(cosX,sinx),2(-73,0)則/(x)的值域即為

尸。的斜率女尸°,由圖可知，％PQ￡[-"2,.,.值域

丫22

是昔,爭

【總結(jié)升華】：本題需要對(duì)斜率式子比較敏感，且

有過做這種題經(jīng)驗(yàn)才可想到構(gòu)造斜率，類似地，還有這樣的題：已知

(X—2)2+/=1,求上或求后k取值范圍.前者是構(gòu)造斜率，后者是構(gòu)造距離.

例10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x+12y=65,則必了的最小值等于

解：由題意，設(shè)尸(x,y)為直線5x+2y=65上任意一點(diǎn)，則/^十/即為P到原點(diǎn)

的距離顯然\OP\最小值為。到原點(diǎn)的距離0Hmln="I=5

15+12

例11.已知點(diǎn)P(m7)是函數(shù)y=二？二五圖像上的動(dòng)點(diǎn)，則|4帆+3〃-21的最

小值是

【思路點(diǎn)撥】;此題若考慮傳統(tǒng)代數(shù)方法很難做出來,無法將所求式子轉(zhuǎn)化為以m

或“為自變量的熟悉的函數(shù).而所求的式子有點(diǎn)像點(diǎn)到直線距離的分子部分，因

此可將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離的倍數(shù).

解：一?勺詈J”

而［4噌〃-21|恰為到直線

?#+42

4x+3y-21=0的

距離,y=yl-x2-2xgp(x+l)2+y2=l

的上半部分.由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線

4x+3y+c=°與半圓相切時(shí)，兩平行線

間距離便是所求的最小值.將該直線方程與圓方程聯(lián)立，得：

25/+2(4c+9)x+c2=0由八=0即。2_8。_9=0解得q=9,。2=T.由圖可知，直

線在丁軸截距應(yīng)大于0,，c=T

,,1-21+11

4m+3n-21=5-'1=20

1正+42

方二.設(shè)P(cOS6Z-1,sinor),(0<a<7i)

原式_14(cosa-l)+3sina-21|=|4cosa+3sina-25]=|5sin(a+0)-2月

其中0<"<m，cos0=m,sin(i+e)=l時(shí)取得最小值20

類型五：參數(shù)方程求最值與值域

例12.在直線坐標(biāo)系xoy中，曲線G的參數(shù)方程為卜=Gc°s°為參數(shù))。

［y=sina

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程

為夕sin(8+?)=26.

(D寫出G的普通方程和。2的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)。在上，求"QI的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

解：⑴將G消去［得：-^-+J2=1"C2:psin(e+?)=2V2化簡得

夕sin8+夕cos。=4化為普通方程即：x+y-4=0

(2)求|P。的最小值相當(dāng)于求P到直線x+y-4=0距離的最小值.不妨設(shè)該

l|V3cos6Z+sincr-42sin(?+—)-4

距離為d由于P(V3cosa,sina),則d=J-----/------=-------產(chǎn)-----,顯

“2+1241

然當(dāng)Sin,+"=1即?=|時(shí)，d取得最小值痣，此時(shí)

P(A/3COS—,sin—)BP(―,—)

6622

方二：將直線向左下方平移，平移至與橢圓上半部分相切時(shí)，兩平行線間

距離便是pq最小值.

類型六：在不等式、向量、圓錐曲線、立體幾何最值上的應(yīng)用

22

例13過橢圓上任意一點(diǎn)。作圓(1)2+產(chǎn)=1的切線，切點(diǎn)分別為

A,3.則NAP5的最大值為()

A-B.-C.-D.-

6432

1解：由圖可知，NAP5=2NCP5(C為圓心)

且sinZCPB=鋁=3-,ZAPBe(0,-]

因附2

ZZh|pq/OB

(人斗],所以取得最小值時(shí)，最大從而

y"x"PB最大.由于C恰為橢圓的右焦點(diǎn)，

\/:.2<\P€\<4

-----------：.(ZCPB)=-7,(ZAP均max=-

m\axmdx，o>、/mdx3c

例14.已知在MBC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且有

acosB+bcosA-42ccosC=0

(I)求角C的大小(II)當(dāng)c=2時(shí)，求最大值

解：⑴???acosB+bcosA=c,c-V2ccosC=0,/.cosC=^-

一TC

又???(？€(0,%),:.C=—

4

i...

(2)5AABC/=\/l/J—a，sinC=——ab因此求出ab最大值即求出了LJLSMBC最大值

272_2B

又cosC=-------J且。=2,cosC=——a2+b2-4=41ab

lab2

3^,<7+1)2N2ab,yp2.cibN2ab—4ab<4+2A/2*.1.S<1H—

例15.在正三角形ABC中，。是AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=3,則麗?而的最小值為

()

【思路點(diǎn)撥】：顯然該向量數(shù)量積的最值取決于。的位置,又因?yàn)槿切螢檎?/p>

角形，因此可以建立直角坐標(biāo)系，將麗?配表示成以。橫坐標(biāo)為自變量的函數(shù),

該函數(shù)的最值便是麗?碇最值.

解：如圖，8(2,0),C(0,3”)BC=(-▲,3百)由于

2222

直線AC:y=6x+辿因此可設(shè)

2

D(m,——■i-V3m)(-—<加〈0)貝(J

BD=(m--,V3m+3百)

22

.-.5D-5C=—(/n--)+—(V3m+—)=—+9(--<m<9)

222222

因此最小值為亍

變式：在AABC中，NC=90°,48=25。=4,","是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

MN=i則面?瓦的取值范圍為()

A匹9]A[5,9]」29-

_4」14_

解：該數(shù)量積的取值范圍與M,N位置無關(guān),不放假設(shè)又在N上

方,N(m,243-V3/n),-,<m<2),繼而

222

便可將數(shù)量積表示為m的函數(shù)得出結(jié)果.

7

例16.在三棱錐P-ABC中，A3=2,AC，5c若該三棱錐的體積為4,則其外接

3

球表面積的最小值為()

C64萬25萬

A.5TID.

喏~9~~T~

解：A3=2,ACL5G故底面三角形外接圓半徑廠=1,

5080=3圓-。3?：((342+匿2)=1,當(dāng)04=08=及時(shí)等號(hào)

17

成立，故V=-SMBC-h=-,^h>2,當(dāng)P離平面ABC最遠(yuǎn)時(shí),

外接球表面積最小,此時(shí),P在平面ABC的投影為AB中心

。1，設(shè)球心為。，則。在尸。?上，故R2=(〃-R，+12，化簡得到

氏=2+工,雙勾函數(shù)y='+L在[2,田)上單調(diào)遞增，故

22h22x

c95

凡小了故Smm=4叫1n2=，故選D

例17.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足"x+D=2/(x),且當(dāng)xe(0,l]時(shí)，

Q

/(x)=x(x-1).若對(duì)任意Xd(-oo,〃z],都有則m的取值范圍是

97

A.—oo—B.—oo—

43.

5,8

C.—oo—D.—GO—

2