2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項突破：過三點的圓 （解析版）

專題19過三點的圓

考點1：確定圓的條件；考點2：三角形的外接圓與外心。

題型01確定圓的條件

1.如圖，點4B,C,。均在直線/上，點P在直線/外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）

ABCD1

A.3個B.4個C.5個D.6個

解：根據(jù)經(jīng)過不在同一直線上的三點確定一個圓得，經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為6個，

答案：D.

2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形

鏡子的碎片是（）

A.①B.②C.③D.均不可能

解：第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半

徑的長.

答案：A.

3.（易錯題）如圖，點A,B,C均在6X6的正方形網(wǎng)格格點上，過/,B,C三點的外接圓除經(jīng)過/,B,C三點

外還能經(jīng)過的格點數(shù)為5.

解：如圖，分別作/2、8c的中垂線，兩直線的交點為O,

以。為圓心、為半徑作圓，則。。即為過/,B,C三點的外接圓，

由圖可知，OO還經(jīng)過點。、E、F、G、〃這5個格點，

答案：5.

4.當(dāng)/(1,2),B(3,-3),C(%,〃)三點可以確定一個圓時，m,"需要滿足的條件5俏+2〃W9.

解：設(shè)直線的解析式為>=區(qū)+6,

\'A(1,2),B(3,-3),

."+6=2

''I3fc+=-3

59

解得：k---,b=~,

59

直線AB的解析式為y=--x+

丁點/(1,2),B(3,-3),C(機，?)三點可以確定一個圓時，

.,.點C不在直線48上，

5/M+2“W9,

答案：5m+2”W9.

5.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點/,B,C,其中8點坐標(biāo)為(4,4),則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為

(2,0).

解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心,

J'小

可以作弦和2c的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所示，則圓心是（2,0）.

答案：（2,0）

6.（易錯題）如圖所示，BD,CE是△48C的高，求證：E,B,C,。四點在同一個圓上.

證明：如圖所示，取8C的中點/，連接DREF.

和ABCE都是直角三角形.

DF,EF分別為RtABCD和RtABC￡斜邊上的中線,

：.DF=EF=BF=CF.

1

：.E,B,C,。四點在以尸點為圓心，/C為半徑的圓上.

題型02三角形的外接圓與外心

7.如圖，AC,BE是O。的直徑，弦AD與BE交于點、F,下列三角形中，外心不是點。的是（）

C

A.AABEB.AACFC.4ABDD.AADE

解：如圖所示：只有的三個頂點不都在圓上，故外心不是點。的是△NCF.

答案：B.

8.點。是△48C的外心，若/8OC=80°,則/8/C的度數(shù)為（）

A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°

解：如圖所示：是△/BC的外心，ZSOC=80°,

-40°,NA'=140°,

故/R4c的度數(shù)為：40°或140°.

答案：C.

9.（易錯題）如圖，等邊△48C的三個頂點都在。。上，AD是。。的直徑.若。/=3,則劣弧AD的長是（

兀3兀

A.弓B.TTC.-D.2TT

解：連接02、BD,如圖：

為等邊三角形,

Z.ZC=60°,

AZ￡>=ZC=60°,

：OB=OD,

.,.△BOD是等邊三角形，

:.NBOD=60°,

?.?半徑。/=3,

607rx3

劣弧BD的長為一兩一=n,

loU

答案：B.

10.如圖，O。是△N8C的外接圓，//=72°.過點。作2C的垂線交友;于點。，連接2D,則的度數(shù)為（）

A.64°B.54°C.46°D.36°

解：連接CD,

:四邊形NADC是圓內(nèi)接四邊形，N/=72°,

：.ZCDB+ZA=\^Q°,

AZBDC=1SO°-ZA=108°,

'JODLBC,

是邊BC的中點，

：.BD=CD,

1

：.ZODB=ZODC=-ZBDC=54°.

答案：B.

11.（易錯題）如圖，OO是等邊△48C的外接圓，點。是弧/C上一動點（不與/,C重合），下列結(jié)論①/ADB

=/BDC；②DA=DC；③當(dāng)。5最長時，DB=2DC；④DA+DC=DB,其中一定正確的結(jié)論有（）

A

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

解：?.?△NBC是等邊三角形，

AZBAC=ZACB=60°,

■：AB=AB,BC=BC,

；./4DB=NACB=6Q°,NBDC=NBAC=6Q°,

ZADB=ZBDC,故①正確；

;點。是弧/C上一動點，

.?.松與仇）不一定相等，

與。C不一定相等，故②錯誤；

當(dāng)。3最長時，為OO直徑，

:.NBCD=90°,

■:NBDC=60°,

:.NDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正確；

在。2上取一點E,使DE=4D,如圖：

VZADB^60°,

.?.△/DE是等邊三角形，

：.AD=AE,/DAE=60°,

V60°,

/.ZBAE=ZCAD,

,：AB=AC,

:.AABE冬AACD(SAS),

:*BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確；

正確的有①③④，共3個，

答案：C.

12.（易錯題）如圖，。。是△A8C的外接圓，弦BD交4c于點、E,AE^DE,BC=CE,過點。作。尸，/C于點

F,延長尸。交BE于點G,若DE=3,EG=2,則N8的長為（）

A.4V3B.7C.8D.4近

解：如圖，連接CD,

在△4ES和△DEC中,

Z.A=ZD

AE=ED,

.Z.AEB=乙DEC

??.△AEB名ADEC(ASA),

:?EB=EC,

■:BC=CE,

:.BE=CE=BC,

，△防。為等邊三角形,

AZACB=60°,

如圖，作即CL4C于點

OFLAC,

：.AF=CF,

???△E5C為等邊三角形,

：.ZGEF=60°,

AZEGF=30°，

?;EG=2,

：.EF=lf

?；AE=ED=3,

：.CF=AF=4,

.'.AC=8fEC=5,

:.BC=5,

VZBCM=6Q°,

AZAffiC=30°,

5RG

CM=—,BM=V3CM=——,

11

.\AM=AC-CM=—,

?■AB=JAM2+BM2，4）2+（573）2=7.

答案:B.

13.如圖，OO是△48C的外接圓，NR4C=60°,若。。的半徑。。為2,則弦8c的長為（）

A.4B.2V3C.3D.V3

解：過點。作交3C于點M,

：O。是△45C的外接圓，ZBAC=60°,

：.ZBOC=2ZBAC=120°,

又〈OB=OC,OMLBC,

1

AZCOM=-ZBOC=60°,MB=MC,

.?.在RtZ\C(W中，ZOCAf=30°,

1「「

：.OM=~OC=\,CM=y^OM=小

:.BC=2CM=24

答案:B.

14.如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點O,A,B,C,D,E均在格點上,點。是△N8C的外心,

在不添加其他字母的情況下，則除△NBC外把你認為外心也是。的三角形都寫出來.△ABD,A4CD,△

BCD.

解：由圖可知:

OA=712+22=V5>

OB=712+22=V5>

OC=712+22=近,

OD=712+22=V5>

OE=712+32=V10>

OA=OB=OC=OD中OE,

:AABD,/\ACD,△BCD的外心都是點O,

答案：LABD,4ACD,/XBCD.

15.（易錯題）如圖，4D是。。的直徑，△N8C是。。的內(nèi)接三角形.若/DAC=/ABC,AC=4,則。。的直徑

AD=4五.

解：如圖，連接CD、OC.

,?ZDAC=Z.ABC,

'.AC—DC,

J.AC^CD,

是（DO的直徑，

ACD=90°,

???/^ACD是等腰直角三角形,

.?./C=CD=4,

：.AD=岳C=4收

答案：4V2.

16.如圖，△45。內(nèi)接于O。，ZA=50°，點。是的中點，連接OD,OB,OC,則50°

解：'：ZA=50°,

/.ZBOC=100°.

9：OB=OC,

???△08。為等腰三角形，

又???。為中點，

???OD為上中線，

根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得0D為/BOC的平分線，

1

:?NBOD=《/BOC=50°.

答案：50°

17.(易錯題)如圖，NA4C的平分線交△45。的外接圓于點。，N45C的平分線交40于點E.

(1)求證：DE=DB；

(2)若NA4C=90°，BD=4,求外接圓的半徑.

(1)證明：?.?4D平分N5ZC,BE平分/ABC,

：?/ABE=/CBE,/BAE=/CAD,

BD=CD,

：.NDBC=/CAD,

：.ZDBC=/BAE,

'：ZDBE=NCBE+NDBC,ZDEB=ZABE+ZBAE,

：./DBE