2024-2025學年河北省保定市高二上冊12月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年河北省保定市高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為直線的傾斜角，則（）A. B. C. D.【正確答案】A解析：∵為直線的傾斜角，∴直線斜率，∴.故選：A.2.在正三棱錐中，為外接圓圓心，則（）A. B.C. D.【正確答案】D解析：如圖，在正三棱錐中，取中點，連接，則點為底面中心，且在上，則.故選：D.3.已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3 C.-2 D.-3【正確答案】A解析：因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A4.若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D解析：設切點為，由已知得，則切線斜率，切線方程為．∵直線過點，∴，化簡得．∵切線有2條，∴，則的取值范圍是，故選：D5.已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過點，并與坐標軸交于，兩點，，當?shù)拿娣e取得最小值時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：由題意可設直線：，將點的坐標代入，得，則，則.不妨假設在軸上，則，記為坐標原點，因為線段與的長度分別為，，所以的面積，當且僅當，即時，等號成立.故選：C.6.已知為的導函數(shù)，則的大致圖象是（）A B.C. D.【正確答案】A解析：由題意知，，定義域為，又，所以為奇函數(shù)，排除BD；又，排除C；結(jié)合選項，A符合題意.故選：A7.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前項的和為（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，因此新數(shù)列即為按照成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為，易知，一個周期內(nèi)的三個數(shù)字之和為；所以數(shù)列的前項的和為.故選：C8.曲線的形狀是一個斜橢圓，其方程為，點是曲線上的任意一點，點為坐標原點，則下列說法錯誤的是（）A.曲線關于對稱 B.的最大值為C.該橢圓的離心率為 D.的最大值為【正確答案】C解析：由方程可以看出其關于，對稱，A正確；由題意知，，，，，B正確：聯(lián)立方程，解得頂點坐標為和，所以橢圓長軸長為；同理可得另外兩個頂點坐標為和，所以橢圓的短軸長為，所以，所以該橢圓的離心率為：，C錯誤；看作關于的一元二次方程，，解得，D正確，故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.過拋物線的焦點的直線與C相交于，兩點，直線PQ的傾斜角為，若的最小值為4，則（）A.的坐標為 B.若，則C.若，則的最小值為3 D.面積的最小值為2【正確答案】ACD解析：由題設有，直線的斜率不為零，故設直線，則由可得，，所以，所以而，當且僅當時等號成立，故，故，故，故A正確；若，則，故，故的斜率為，其傾斜角為或，故B錯誤；若，則過作準線的垂線，垂足為，連接，則，當且僅當三點共線時等號成立，故的最小值為3，故C正確；，當且僅當時等號成立，故面積的最小值為2，故D成立.故選：ACD.10.已知數(shù)列滿足，關于數(shù)列有下述四個結(jié)論：其中正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.C.D.若為數(shù)列的前項和，則【正確答案】ACD解析：因為，所以，所以，所以，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列,所以A正確;又因為，所以，因為，所以，所以,故C正確；由累加法得,所以B錯誤；由分組求和得,所以D正確.故選：ACD11.如圖，直三棱柱中，，，．點P在線段上（不含端點），則（）A.存點P，使得B.的最小值為有C.面積的最小值為D.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值【正確答案】ACD解析：由題意得，，即，又在直三棱柱中，底面，平面，平面，，，則以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系.因為，，所以，，，，，，，則，，設（），則，解得，，，所以，對于A選項，，，要使，即，解得，當，即在中點時，，故A選項正確；對于B選項，如圖所示，將和沿展開，如圖所示，連接交于點，可知，當點與點重合時取得最小值，由題意得，，，，，，所以，，，，則，在中，由余弦定理得，，則，所以的最小值為，故B選項錯誤；對于C選項，，，設（），則，即，所以，則，因為，所以當時，取得最小值，故C選項正確；對于D選項，，故D選項正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則_______．【正確答案】解析：根據(jù)題意，數(shù)列滿足，當時，有；當時，有，不符合，故故13.已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為_____.【正確答案】##解析：設為坐標原點，則，從而.設的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為.14.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．【正確答案】##解析：由得，即，設，則，，當時，，所以在上單調(diào)遞增．因為x，y均為正實數(shù)，所以，由，可得，即．由知，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以．則．令，則，所以上單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值為．故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚.15.如圖，已知正方形是圓柱的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面），點在底面圓周上，，點是的中點.（1）求點到直線的距離；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【小問1解析】因為線段是底面圓的直徑，所以，所以，以點為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則所以，設點到直線的距離為，則，故點到直線的距離為；【小問2解析】由（1）可知，，設為平面的一個法向量，則由，可取，設為平面的一個法向量，則由，可取，設平面與平面所成角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.16.已知圓上一點（1）求圓在點處的切線方程；（2）過點作直線交圓于另一點，點滿足，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【小問1解析】由題意，點在圓上，可得，因直線的斜率為，則圓在點處的切線斜率為，故切線方程為，即；【小問2解析】如圖，由（1）知圓，又點，，當直線的斜率不存在時，直線，易知此時，，點到的距離為3，則，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線，即，代入中，整理得：，設，由韋達定理，，即，代入，可得，即，于是，則得，點到直線的距離為：，則，解得或，故直線的方程為或.17.若數(shù)列的前項和為，且，等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1），（2）【小問1解析】因為①，所以②，，①②得，又所以，故數(shù)列是以為公比，首項為的等比數(shù)列，，，等差數(shù)列的公差為.【小問2解析】由（1）可得，，兩式相減得，18.已知橢圓的離心率為，且過點．直線交于，兩點．點關于原點的對稱點為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【小問1解析】由已知，得，解得，則橢圓的方程為；【小問2解析】依題意，可設點，且，點關于原點的對稱點為，點在上，，作差得，直線的斜率為，直線的斜率為，，即為定值；【小問3解析】設弦的中點，點重心,，由，得，，且，的重心在軸上，，，則，在上的投影向量相等，則，且，則直線的方程為，，得，又點在上，，即又，則直線的方程為19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若方程有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【小問1解析】由題意可得，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為；【小問2解析】有兩個不同的解可化為有兩個不同的解，令，則，（?。┤?，則，由得．當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．①當時，，即，故沒有零點，不滿足題意．②當時，，只有一個零點，不滿足題意．③當時，，即，當時，，，又，故，所以，又，故在上有一個零點．