2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三年級第一冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷1至4頁，第Ⅱ卷5至8頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·球的體積公式，其中表示球的半徑.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C．，或 D．2．“直線與圓相交”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．4．某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測試，統(tǒng)計得到所有學(xué)生的體能測試成績均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測試成績按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測試成績采用按比例分層隨機抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項活動的志愿者，則體能測試成績在內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．105．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正三棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則正三棱柱的外接球的半徑為（

）

A．2 B． C． D．8．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)在上有個零點.正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②9．已知雙曲線，過原點O任作一條直線，分別交曲線兩支于點P，Q（點P在第一象限），點F為E的左焦點，且滿足，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．210．已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰好有4個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.11．已知為虛數(shù)單位，若，則.12．展開式中的常數(shù)項為．13．過點，且與直線相切于點的圓的方程為14．袋子中有6個大小相同的小球，其中4個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為.15．在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的取值范圍為.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的面積的最大值；(3)設(shè)是邊上一點，為角平分線且，求的值.17．在三棱錐中，和是邊長為的等邊三角形，，是中點，是中點．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的大??；(3)在棱上是否存在一點，使得的余弦值為？若存在，指出點在上的位置；若不存在，說明理由．18．已知橢圓的長軸長是，為右頂點，，，，是橢圓上異于頂點的任意四個點，當(dāng)直線經(jīng)過原點時，直線和的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)直線和的斜率之積為定值時，直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.19．在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若是的兩個極值點，證明.2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷1至4頁，第Ⅱ卷5至8頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·球的體積公式，其中表示球的半徑.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C．，或 D．【正確答案】D【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、具體函數(shù)的定義域【思路】求出集合，集合，再利用并集定義求出．【詳解】因為集合，集合，所以．故選：D．2．“直線與圓相交”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【思路】根據(jù)點到直線的距離公式,結(jié)合充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】若直線與圓相交，則圓心到直線的距離滿足，故，由于能推出，當(dāng)不能得到，故“直線與圓相交”是“”的充分不必要條件，故選：A3．函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【知識點】函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別【思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，根據(jù)函數(shù)零點排除A，當(dāng)時，由，排除C選項，即可得到結(jié)果.【詳解】，故為奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于原點中心對稱，排除B選項；令，則或，故在上有三個零點，排除A選項；當(dāng)時，，排除C選項.故選:D.4．某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測試，統(tǒng)計得到所有學(xué)生的體能測試成績均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測試成績按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測試成績采用按比例分層隨機抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項活動的志愿者，則體能測試成績在內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【正確答案】A【知識點】由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量【思路】根據(jù)題意，結(jié)合給定的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，體能測試成績在內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選：A.5．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【知識點】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算【思路】由已知利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求基本量，然后求出，再結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以.故選.6．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小【思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，所以，所以，故選：C.7．如圖，在正三棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則正三棱柱的外接球的半徑為（

）

A．2 B． C． D．【正確答案】D【知識點】球的截面的性質(zhì)及計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面垂直、由線面角的大小求長度【思路】根據(jù)給定條件，利用線面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半徑.【詳解】在正三棱柱中，取的中點，連接，則，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線與平面所成的角，則，由，得，而，則，，因此正三棱柱的外接球球心到平面的距離，而的外接圓半徑，所以正三棱柱的外接球的半徑.故選：D

8．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)在上有個零點.正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②【正確答案】A【知識點】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用【思路】利用函數(shù)的最小正周期以及平移后的函數(shù)的奇偶性求出、的值，可求得函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷①②的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷③的正誤；當(dāng)時，解方程可判斷④的正誤.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，則，則，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得.，，則，.對于命題①，，①正確；對于命題②，，②正確；對于命題③，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，③正確；對于命題④，當(dāng)時，，由可得或，解得或，④錯誤.故選：A.【總結(jié)】本題考查正弦型函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與零點個數(shù)的判斷，同時也考查了利用正弦型函數(shù)的周期和圖象變換求函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.9．已知雙曲線，過原點O任作一條直線，分別交曲線兩支于點P，Q（點P在第一象限），點F為E的左焦點，且滿足，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．2【正確答案】A【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【思路】利用右焦點，得到四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)雙曲線定義，可得的值且，最后利用勾股定理，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，由題意可知：P關(guān)于原點的對稱點為Q，則，四邊形為平行四邊形，則，，由，根據(jù)雙曲線的定義，，，，，在中，，，，，整理得，則雙曲線的離心率，故選：A.【總結(jié)】本題主要考查雙曲線的離心率，難點在于可以得到四邊形為平行四邊形，屬中檔題.10．已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰好有4個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍當(dāng)時，，求導(dǎo)，由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象求解.【詳解】當(dāng)時，，則，由，可得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與曲線的圖象如圖所示.若函數(shù)與恰好有4個公共點，則，即，解得.故選：D【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)與方程問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.11．已知為虛數(shù)單位，若，則.【正確答案】/【知識點】共軛復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算【思路】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可化簡得到，由共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】，.故答案為.12．展開式中的常數(shù)項為．【正確答案】135【知識點】求指定項的系數(shù)【思路】根據(jù)二項式展開式的通項特征，即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，所以常數(shù)項為，故13513．過點，且與直線相切于點的圓的方程為【正確答案】【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【思路】由圓心與切點的連線與切線垂直得出圓心所在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心到圓上兩個點距離相等建立等量關(guān)系，求得圓心，即可得到圓的方程【詳解】因為圓心與切點連線與切線垂直，且，所以圓心和切點連線的斜率，所以圓心與的連線的直線方程為：，設(shè)圓心，則，即，解得，即圓心，所以，所以圓的方程為.故14．袋子中有6個大小相同的小球，其中4個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為.【正確答案】//【知識點】計算條件概率、計算古典概型問題的概率【思路】利用古典概型和條件概率公式計算即可.【詳解】兩次都摸到紅球的概率為，第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率，可通過縮小樣本空間得出.故；15．在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的取值范圍為.【正確答案】【知識點】用基底表示向量、利用數(shù)量積求參數(shù)、用坐標(biāo)表示平面向量【思路】第一空：解法一：由圖結(jié)合向量加減法可得答案；解法二：如圖建立直角坐標(biāo)系，由題意可得答案；第二空：在上一空解法二的基礎(chǔ)上，設(shè)，結(jié)合題意可得關(guān)于的表達(dá)式，即可求得取值范圍.【詳解】第一空：解法一：因為，即，則，可得，所以；解法二：由題意可知：以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；第二空：因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，因為時函數(shù)遞增，所以當(dāng)時，取到最小值為；當(dāng)時，取到最大值為；則的取值范圍為，故；.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的面積的最大值；(3)設(shè)是邊上一點，為角平分線且，求的值.【正確答案】(1)(2)(3)【知識點】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、逆用和、差角的正弦公式化簡、求值、基本不等式求積的最大值【思路】（1）利用正弦定理與和角公式將題設(shè)等式化成，借助于三角形即可求得角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，即得的面積的最大值；（3）利用三角形角平分線定理推得，再由余弦定理推得，最后運用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）由和正弦定理，可得，因，代入可得，因,則，故，又因,故；（2）由余弦定理，，因，，代入整理得：，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，而的面積，在中，由，，和，易得，即當(dāng)時，的面積的最大值為；（3）如圖，因平分,且，則,即，在中，由余弦定理，，即得，則，故.17．在三棱錐中，和是邊長為的等邊三角形，，是中點，是中點．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的大??；(3)在棱上是否存在一點，使得的余弦值為？若存在，指出點在上的位置；若不存在，說明理由．【正確答案】(1)具體詳情見解析;(2)(3)在棱上靠近點的三等分點處．【知識點】證明面面垂直、面面角的向量求法、線面角的向量求法【思路】（1）連接，，中，為中點，易得，同理可得：，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為原點，以方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解線面角的正弦值；（3）設(shè)得，再求得平面的一個法向量為和面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，求解的值，從而確定點的位置．【詳解】（1）

證明：連接，，中，為中點，易得且．同理可得：，，又∵，∴，∴，又∵，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）以為原點，以方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，，,設(shè)平面的一個法向量為，則有，，，設(shè)直線與面所成的角為，則．（3）設(shè)在棱上存在點，設(shè)設(shè)平面的一個法向量為則有，且，取，，，∴，∵平面，∴設(shè)面的一個法向量為．設(shè)面與面所成二面角為，，解得：或（舍），∴．所以存在點且當(dāng)在棱上靠近點的三等分點處，滿足題意．18．已知橢圓的長軸長是，為右頂點，，，，是橢圓上異于頂點的任意四個點，當(dāng)直線經(jīng)過原點時，直線和的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)直線和的斜率之積為定值時，直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【正確答案】(1)(2)直線過定點【知識點】橢圓中的直線過定點問題、橢圓中的定值問題【思路】（1）由已知，設(shè)點，坐標(biāo)，結(jié)合斜率乘積可得，即可得橢圓方程；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程及點，坐標(biāo)，結(jié)合，解方程可得直線方程；②當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與斜率公式列方程，化簡可得或，代入直線方程可得解.【詳解】（1）由已知，即，所依橢圓方程為，當(dāng)直線過原點時，設(shè)，則，所以，所以，又，所以，，所以，則，所以橢圓方程為；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，點，（），則，，且，即，所以，解得，即此時直線方程為；②當(dāng)直線斜率存在時，由題可設(shè)直線方程為，舍Mx1,y1聯(lián)立直線與橢圓方程得，則，即，且，，又，，則，即，即，化簡可得，解得或，當(dāng)時，直線方程為y=kx?2k=kx?2，過點，不成立；當(dāng)時，直線方程為，過定點；綜上所述直線恒過定點.19．在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【正確答案】(1)3；5；9；13(2)(3)存在，【知識點】由遞推關(guān)系式求通項公式、等比中項的應(yīng)用、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項【思路】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4求解即可；（2）由題意，，再分與兩種情況求解即可；（3）根據(jù)等比中項的性質(zhì)，結(jié)合通項公式求解即可.【詳解】（1）由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.（2）由題意，.當(dāng)，時，，且滿足上式，所