2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三上冊第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一.選擇題(共9小題)1.已知集合A=x∣?5<A.{?1,0}B.{2,【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合交集的定義,即可求解.解:集合A=?3則A∩故選:A.【點評】本題主要考查交集及其運算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知x∈R,則“x2>0”是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意,分別驗證充分性與必要性即可得到結(jié)果.解:由題意可得,“x2>0”與“故“x2>0”是“故選:C.【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義,屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)fx=x1+m1A.-2B.-1C.1D.2【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的定義可得f?x=fx解:由題意得f?x即?x1所以?1?m1?e?x=整理得m=?故選:A.【點評】本題主要考查了偶函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.已知a=30.1,b=3A.a<b<cB.c【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,及中間量1,即可求解.解:a=由指數(shù)函數(shù)y=3b=33=3∴c故選:D.【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.5.設(shè)α,β是兩個平面,m,A.若α⊥β,m//α,l//β,則C.若α∩β=m,l//α,l//β【分析】根據(jù)題意,由線面平行性質(zhì)依次分析選項,綜合可得答案.解:根據(jù)題意,依次分析選項:對于A,直線m,l可能平行,相交或異面,故A對于B,平面α,β可能相交或平行,故B對于C,由直線與平面平行性質(zhì),分析可得C正確;對于D,平面α,β可能相交或平行,故D故選:B.【點評】本題考查平面與平面的位置關(guān)系,涉及平面與平面、直線與平面平行的性質(zhì)和應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)fx=?sin2ωxω>0的最小正周期為π,若將其圖象沿x軸向右平移aa>0個單位,A.πB.π3C.3π4【分析】由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,求得實數(shù)a的最小值.解:函數(shù)fx=?sin2ωx=cos若將其圖象沿x軸向右平移aa>0個單位,可得再根據(jù)所得圖象關(guān)于x=π3對稱,可得2×π3?2a=kπ,k∈故選:B.【點評】本題主要考查三角恒等變換,余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于中檔題.7.已知圓C:x?42+y2=4,點M在直線y=x上,過M作圓A.π2B.3π4C.2π【分析】由題意作圖,根據(jù)相似三角形以及勾股定理,建立所求圓的半徑與CM的等量關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合,可得答案.解:由圓C:x?42+y2=由題意可作圖如下:∵MA,MB與圓C分別相切于設(shè)AB∩CM=D,易知△ADC～△MDA,則ADMD=DCAD,可得在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2由圖可知MD+CD=CM整理可得R2由圖易知當(dāng)CM垂直于直線y=x時,CM取得最小值,則由函數(shù)R2=4?16CM2在[以AB為直徑的圓的面積S=πR2,∴故選:C.【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,是中檔題.8.設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0A.3B.33C.3D.【分析】先根據(jù)點到直線的距離公式求出MF1,在Rt△MOF1中,求出cos∠OF1M,在解:F1在Rt△MOF1中,在△MF1F2即3b所以2c2=3b所以e=c故選:A.【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì),屬于中檔題.9.在三棱錐S?ABC中,∠BAC=3∠SCAA.25πB.256πC.1253π【分析】先證明AB⊥平面SAC,再根據(jù)正弦定理求解△SAC外接圓的半徑,進而根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置,解:∵∠BAC又∵SA⊥AB,SA在Rt△SAB中,SB又∵∠SCA=30°,則△SAC取BC,AC的中點D,E,△SAC的外心為F,過D作平面過F作平面SAC的垂線交l于點O,即為球心,連接DE,EF,FA,OA則FA=∴OA即三棱錐S?ABC外接球的半徑為∴三棱錐S?ABC外接球的體積為故選:D.【點評】本題考查球的體積計算,關(guān)鍵是求出球的半徑,屬于中檔題.二.填空題(共6小題)10.若復(fù)數(shù)z=3+i1?3i【分析】運用復(fù)數(shù)乘法進行化簡計算,再根據(jù)實部虛部概念計算即可.解:復(fù)數(shù)z=則z的實部與虛部之積為23故答案為:?4【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.11.2x3?【分析】寫出二項展開式的通項公式,令k=3解:2x3?1k=令k=則T4故第四項的系數(shù)為-160.故答案為:-160.【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12.過拋物線x2=4y上一點P作切線與y軸交于點Q,直線PQ被圓x2+y2=1截得的弦長為2【分析】由題意,利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線的切線方程,再結(jié)合點到直線的距離以及弦長進行求解.解:因為x2即y=可得y′設(shè)切點Px此時切線斜率為k=x所以切線方程為yx即2x令x=解得y=所以Q0因為直線PQ被圓x2+y2=所以圓心到直線PQ的距離d=此時?x即x0解得x02=4或所以點Q坐標(biāo)為(0,-1).故答案為:(0,-1).【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了邏輯推理和運算能力,屬于基礎(chǔ)題.13.A,B,C,D,E五種活動,甲、乙都要選擇三個活動參加,甲選到A的概率為?35;已知乙選了【分析】設(shè)事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個.甲選到A的概率為PA=C11C42C53解:設(shè)事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個.甲選到A的概率為PAP∴乙選了A活動,他再選擇B活動的概率為:P故答案為:35【點評】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.14.如圖,△ABC是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形,若AD=4,BD=2,那么BE?CD=_____-6；點M為線段CE【分析】由平面向量的數(shù)量積運算,結(jié)合余弦定理求解即可.解:在△ABD中,AD=4,BD=2,∠則BE×2由余弦定理可得:AB=在△ABD中,由余弦定理可得:則cos∠ACE設(shè)CM=則MA?即當(dāng)λ=58時,MA?MC故答案為:-6;-254【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,重點考查了余弦定理,屬中檔題.15.已知函數(shù)fx=ax2+2x2?ax+【分析】根據(jù)函數(shù)gx=2x2?ax+1是否有零點進行分類討論:當(dāng)Δ<0時,gx≥0恒成立,結(jié)合題意求解即可;當(dāng)Δ>0且a>0時,fx>解:設(shè)gx=2x2?(1)當(dāng)Δ=a2?8≤0,即?2x2因為fx有兩個零點,所以a≠?2且a2?4a?8>0綜上所述,當(dāng)?22≤a≤22時,滿足?(2)當(dāng)Δ=a2?8>0,即設(shè)gx=2x2?ax+1=0的兩個根為m,n當(dāng)a<?22時,關(guān)于x的方程因為?a>2,可知a4<0,所以y=?ax2當(dāng)x∈?∞,m時,y=?ax2與gx所以y=?ax2與因此,要使方程?ax2=2x即方程2?ax2?ax+1=結(jié)合?2?23<?綜上所述,滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為?2故答案為:?2【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、方程的根與函數(shù)的零點及其應(yīng)用,屬于中檔題.三.解答題(共5小題)16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a(I)求角B的大小;(II)若c=3,a+b(III)若b=2a,求【分析】(I)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得cosB=32,結(jié)合B∈0(II)由題意利用余弦定理可得a2?b2+3=3a,又(III)由題意利用正弦定理可得sinA解:(I)由正弦定理得:2sin可得2sin顯然sinA則cosB=3又B∈故B=π(II)∵B=π∴由余弦定理可得cosB=a2+3?又a+b=2∴SΔABC(III)由正弦定理得:sinB則sinA∵b=2a,即則B>故A為銳角,cosA=1∴sin2cos2∴sin2A【點評】本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換,余弦定理以及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.17.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3(I)求證:A1F//平面(II)求平面ACC1A1與平面(III)求點A1到平面BDE【分析】(I)取BE中點G,連接FG、DG,即可得到FG//A1D且FG=A1D,從而得到A1(II)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面ACC1A1與平面(III)利用向量法點A1到平面BDE(I)證明:取BE的中點G,連接FG,DG,則因為F為B1C所以FG=C所以FG//A1D所以四邊形A1DGF所以A1又A1F?平面BDE,DGA1F//平面(II)解:直三棱柱ABC?A1B1以C為原點,以CA,CB,CC1的方向為x軸、y軸、z所以BE=設(shè)平面BDE的一個法向量為n=則n?BE=0n?BD=0,即?易知平面ACC1A1設(shè)平面ACC1A1與平面BDE則cosθ所以平面ACC1A1與平面BDE(III)解:因為A1所以點A1到平面BDE的距離d【點評】本題考查了線面平行的證明以及平面與平面所成的角的計算,屬于中檔題.18.已知橢圓C:x2a2+y2?b2=1a>b>0過點H3,1,離心率為63,斜率為?13的直線(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=10,P為橢圓的上頂點,求△(3)記直線HM,HN的斜率分別為k1,k2,證明:k【分析】(1)由題意列方程,求出a,b(2)借助弦長公式計算可得m=2或m=?2,再利用點到直線的距離公式計算點P0,2(3)設(shè)出直線的方程,與橢圓聯(lián)立后可得與交點橫坐標(biāo)有關(guān)一元二次方程,結(jié)合韋達定理表示出k1k解:(1)由題可得9a2+1b故橢圓C的方程為x2(2)由題,設(shè)直線l的方程為y=1聯(lián)立y=13x+則Δ=6m2?144所以x1因為直線HM,HN均不與x軸垂直,所以x1≠3,x2≠則MN==10解得:m=2或當(dāng)m=2時,直線l的方程y=13x+2當(dāng)m=?2時,點P0,2到直線l的距離故△PMN的面積S=(3)證明:由(2)可得,k=====13,故k【點評】本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于難題.19.已知數(shù)列an,bn,Sn是數(shù)列an的前n項和,已知對于任意n∈N?,都有3an=(1)求數(shù)列an和bn(2)記dn=bn+2?1bnbn+1(3)記c【分析】(1)首先根據(jù)an與Sn的關(guān)系得到an,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到(2)利用裂項相消法即可得結(jié)果;(3)將分組求和與錯位相減法相結(jié)合即可得結(jié)果.解:(1)當(dāng)n=1時,3a1=當(dāng)n≥2時,所以3a即an是以首先a1=3,公比為3因為b1=所以b4+12=解得d=所以bn(2)由(1)得dn則T==1(3)k=因為c2n設(shè)dn=2n?1?9n則Kn9?K所以k=【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式,以及數(shù)列的分組求和、裂項相消求和與錯位相減法求和,考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力,屬于中檔題.2