塑性理論課件-塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

第五章塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係

5.1塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係的特點(diǎn)5.2增量理論（流動(dòng)理論）5.3全量理論（形變理論）5.4應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律及其應(yīng)用5.1塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係的特點(diǎn)一、塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係的特點(diǎn)

二、單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係三、兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係返回一、塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係的特點(diǎn)塑性變形時(shí)全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)係與彈性變形時(shí)完全不同：

1）塑性變形可以認(rèn)為體積不變，應(yīng)變球張量為零；

2）應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)係是非線性的；

3）全量應(yīng)變與應(yīng)力的主軸不一定重合；

4）塑性變形是不可恢復(fù)的，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一般的單值關(guān)係，而是與加載歷史或應(yīng)變路線有關(guān)。對(duì)於後兩個(gè)特點(diǎn)，我們可以舉一些實(shí)例加以說明。返回二、單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係最簡(jiǎn)單的例子就是單向拉伸（圖5.1）。在彈性範(fàn)圍內(nèi)，應(yīng)變只取決於當(dāng)時(shí)的應(yīng)力。反之亦然，例如σc總是對(duì)應(yīng)εc，不管是由σa加載而得還是由σd卸載而得。在塑性範(fàn)圍內(nèi)，如果是理想塑性材料（圖5.1中的虛線），則同一σs可以對(duì)應(yīng)任何應(yīng)變；如果是硬化材料，則由σs加載到σe，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舉，如由σf卸載到σe，則應(yīng)變?yōu)棣臽f，所以不是單值關(guān)係。返回返回三、兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)係下麵再舉一個(gè)兩向應(yīng)力的例子。設(shè)一剛塑性硬化材料的單向拉伸及純剪時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖5.2a所示，它在σ-τ平面上的屈服軌跡見圖5.2b。

1、現(xiàn)將材料單向拉伸至屈服點(diǎn)Ａ後繼續(xù)拉至C點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)力為σc，應(yīng)變?chǔ)與、-εc/2、-εc/2（見表5.1第1行）,此時(shí)材料的後繼屈服軌跡為CFD。下一頁返回表5.1返回表5.1加載路線不同時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變

No加載路線最終應(yīng)力狀態(tài)全量應(yīng)變狀態(tài)說明1OAC簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合2OC（EJ）F應(yīng)力改變了應(yīng)變未改變主軸不重合3OBD簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合4O（D）F應(yīng)力改變了應(yīng)變未改變主軸不重合5OF`F簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合圖5.2返回2、現(xiàn)設(shè)減小拉應(yīng)力、加上剪應(yīng)力，通過後繼屈服軌跡裏面的任意路線，例如CEF、CJF或CF等等，變載至F點(diǎn)；這時(shí)應(yīng)力為σf、τf但由於F和C點(diǎn)在同一屈服軌跡上，等效應(yīng)力並未增加，不能進(jìn)一步變形，所以應(yīng)變狀態(tài)並無變化（見表5.1第2行），於是應(yīng)力和應(yīng)變並不對(duì)應(yīng)，而且主軸不重合。下一頁返回3、如果從初始狀態(tài)先加純剪應(yīng)力通過屈服點(diǎn)B到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變見表5.1的第3行。

4、如同樣經(jīng)後繼屈服軌跡裏面的任意路線變載到F點(diǎn)，則應(yīng)力應(yīng)變見表5.1第4行。

5、如果從初始狀態(tài)沿真線OF`F到達(dá)F點(diǎn)，則應(yīng)力和應(yīng)變見表5.1第5行，這時(shí)主軸重合。下一頁返回

上述的第1、3、5種加載路線就是簡(jiǎn)單加載。由表中可看出，同樣的一種應(yīng)力狀態(tài)σf、τf，由於加載路線不同，就有好幾種應(yīng)變狀態(tài)（如C、D點(diǎn)應(yīng)變）；同樣，一種應(yīng)變狀態(tài)（如εc），也可有幾種應(yīng)力狀態(tài)（如C、F點(diǎn)應(yīng)力），而且應(yīng)力應(yīng)變主軸不一定重合。從上述簡(jiǎn)單的例子中，我們可以看到，離開加載路線來建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變之間的普遍關(guān)係是不可能的。因此，一般情況下只能建立起應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)係爭(zhēng)然後根據(jù)具體的加載路線，具休分析。另一方面，我們從上述例子中也看到，在簡(jiǎn)單加載的條件下，應(yīng)力和應(yīng)變的主軸重合，而且它們之間有對(duì)應(yīng)關(guān)係，因此可以建立全量理論。返回5.2增量理論（流動(dòng)理論）

一、列維-密席斯方程二、普朗特-勞斯方程返回一、列維-密席斯方程列維-密席斯方程適用條件：（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱?，塑性?yīng)變?cè)隽烤褪强倯?yīng)變?cè)隽浚唬?）材料符合密席斯屈服準(zhǔn)則，即（3）塑性變形時(shí)體積不變，即

（4）應(yīng)力主軸和應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S重合；（5）應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏張量成正比，即下一頁返回

式中dλ為暫態(tài)的非負(fù)比例係數(shù)，它在變形過程中是變化的，但在卸載時(shí)，dλ=0。上式就是密席斯方程的關(guān)鍵性的運(yùn)算式。將上式寫成以下形式利用等比定律就可得到下一頁返回或以上兩式是常用的式子。上式表明應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變?cè)隽磕獱枅A是兒何相似的，只是原點(diǎn)位置不同（圖5.3）。下一頁返回返回

比例係數(shù)dλ幾可按如下方法求得。將上式分成三個(gè)式子然後平方，得下一頁返回將i≠j的三個(gè)式子平方並乘以6，得又有下一頁返回將上面六個(gè)式子相加，整理後可得所以因此，下一頁返回於是有下一頁返回推論：

1.塑性平面變形時(shí)，如設(shè)z向沒有變形，則有dεz=0,按體積不變條件有

dεx+dεy=0

則有由此可得下一頁返回2.由列維-密席斯方程直接可以看出，若有某兩個(gè)應(yīng)變分量的增量相等，則對(duì)應(yīng)的應(yīng)力偏量也相等，於是對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量也相等。在第二章中曾指出，在某些軸對(duì)稱狀態(tài)中，dερ=dεθ，於是，因此有

σρ=σθ

應(yīng)指出，密席斯方程僅適用於理想剛塑性材料，所以它只給出了應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏量之間的關(guān)係間，對(duì)應(yīng)力球張量則沒有加以限制。下一頁返回

因此，如果已知dεij，則由列維-密席斯方程只能求得，而不能直接求得σij這是剛塑性假設(shè)的一個(gè)弱點(diǎn)。另一方面，對(duì)於理想塑性材料，列維-密席斯方程中的等於常數(shù)σs，而實(shí)際上是不定的，所以，如果已知σij則由列維-密席斯方程只能求得dεij各分量之間的比值，而不能直接求得它們的實(shí)際數(shù)值。因此，對(duì)於理想剛塑性材料，應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力分量之間還不完全是單值關(guān)係。返回二、普朗特-勞斯方程普朗特和勞斯在密席斯方程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了彈性變形，他們認(rèn)為，在塑性變形時(shí)，總應(yīng)變?cè)隽縟εij是塑性應(yīng)變?cè)隽繌椥詰?yīng)變?cè)隽恐?，即其中和?yīng)力之間的關(guān)係與密席斯方程相同：彈性應(yīng)變部分下一頁返回於是可得到普朗特一勞斯方程返回5.3全量理論（形變理論）全量理論所必須滿足的條件：1、外載荷按比例增加，不出現(xiàn)中途卸載的情況；２、體積不可壓縮３、材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線σ-ε符合單一曲線假設(shè)，且呈冪函數(shù)形式，即４、塑性變形是微小的，和彈性變形屬於同一數(shù)量級(jí)。

下一頁返回則有考慮到下一頁返回因此有也可以寫成如下形式：下一頁返回也就是說，按全量應(yīng)變理論，主應(yīng)力的差值與主應(yīng)變的差值是成比例的，因此應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變莫爾圓一定相似。因?yàn)樯鲜椒肿哟響?yīng)力莫爾圓中三個(gè)圓的直徑，分母代表應(yīng)變莫爾圓中三個(gè)圓的直徑。返回5.4應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律及其應(yīng)用

前述增量理論及全量理論都能直接給出應(yīng)力偏量與應(yīng)變?cè)隽炕蛉恐g的定量關(guān)係，但是物體內(nèi)的應(yīng)力分佈通常很難定量的瞭解，即使知道了還要求出偏量進(jìn)而求應(yīng)變?nèi)浚ò葱巫兝碚摚?，?jì)算是相當(dāng)繁雜的，如果按增量理論計(jì)算還需對(duì)已求出的應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行積分，其繁雜就可想而知了。下一頁返回另一方面，從工程角度來看，對(duì)於一些繁雜的問題，那怕是能給出定性結(jié)果也很可貴，具體的定量問題可以從實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步探索（由於如摩擦條件等數(shù)學(xué)模型還未給出，要精確計(jì)算也很難辦到）。鑒於壓力加工理論中關(guān)於成形規(guī)律闡述上存在的一些問題，吸取了增量理論及全量理論的共同點(diǎn)，提出了應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律，並使該規(guī)律的闡述逐漸簡(jiǎn)明和便於應(yīng)用?，F(xiàn)簡(jiǎn)述如下：下一頁返回塑性變形時(shí)，當(dāng)應(yīng)力順序σ1>σ2>σ3不變，且應(yīng)變主軸方向不變時(shí)，則主應(yīng)變的順序與主應(yīng)力順序相對(duì)應(yīng)，即ε1>ε2>ε3（ε1>0，ε3<0）。當(dāng)?shù)年P(guān)係保持不變時(shí)，相應(yīng)地有。這個(gè)規(guī)律的前一部分是“順序關(guān)係”，後一部分是“中間關(guān)係”。其實(shí)質(zhì)是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷。它雖然不能給出各方向應(yīng)變?nèi)康亩拷Y(jié)果，但可以說明應(yīng)力在一定範(fàn)圍內(nèi)變化時(shí)各方向的應(yīng)變?nèi)康南鄬?duì)大小，進(jìn)而可以推斷出尺寸的相對(duì)變化?，F(xiàn)證明如下：下一頁返回在應(yīng)力順序始終保持不變的情況下，例如σ1>σ2>σ3，則偏應(yīng)力分量的順序也是不變的（σ1-σm）>（σ2-σm）>（σ3-σm）列維一米塞斯應(yīng)力應(yīng)變方程對(duì)於主應(yīng)力條件可以寫成如下形式則知dε1>dε2>dε3

下一頁返回對(duì)於初始應(yīng)變?yōu)榱愕淖冃芜^程，可視為幾個(gè)階段所組成，在時(shí)間間隔t1中在時(shí)間間隔t2中同理有

……

……

下一頁返回在時(shí)間間隔tn中也將有由於主軸方向不變，各方向的應(yīng)變?nèi)浚倯?yīng)變）等於各階段應(yīng)變?cè)隽恐?，?/p>

下一頁返回由於σ1>σ2，故有

且因dλ1，dλ2，…，dλn皆大於零，於是ε1-ε2>0即ε1>ε2

，同理有ε2>ε3

即ε1>ε2>ε3

…

下一頁返回又根據(jù)體積不變條件

ε1+ε2+ε3=0有ε1>0，ε3<0至於沿