塑性理論課件-塑性變形時的應力應變關系

第五章塑性變形時的應力應變關係

5.1塑性變形時應力應變關係的特點5.2增量理論（流動理論）5.3全量理論（形變理論）5.4應力應變順序對應規(guī)律及其應用5.1塑性變形時應力應變關係的特點一、塑性變形時應力應變關係的特點

二、單向應力狀態(tài)時塑性變形應力應變關係三、兩向應力狀態(tài)時塑性變形應力應變關係返回一、塑性變形時應力應變關係的特點塑性變形時全量應變與應力之間的關係與彈性變形時完全不同：

1）塑性變形可以認為體積不變，應變球張量為零；

2）應力與應變之間的關係是非線性的；

3）全量應變與應力的主軸不一定重合；

4）塑性變形是不可恢復的，應力與應變之間沒有一般的單值關係，而是與加載歷史或應變路線有關。對於後兩個特點，我們可以舉一些實例加以說明。返回二、單向應力狀態(tài)時塑性變形應力應變關係最簡單的例子就是單向拉伸（圖5.1）。在彈性範圍內(nèi)，應變只取決於當時的應力。反之亦然，例如σc總是對應εc，不管是由σa加載而得還是由σd卸載而得。在塑性範圍內(nèi)，如果是理想塑性材料（圖5.1中的虛線），則同一σs可以對應任何應變；如果是硬化材料，則由σs加載到σe，對應的應變?yōu)棣舉，如由σf卸載到σe，則應變?yōu)棣臽f，所以不是單值關係。返回返回三、兩向應力狀態(tài)時塑性變形應力應變關係下麵再舉一個兩向應力的例子。設一剛塑性硬化材料的單向拉伸及純剪時的真實應力應變曲線如圖5.2a所示，它在σ-τ平面上的屈服軌跡見圖5.2b。

1、現(xiàn)將材料單向拉伸至屈服點Ａ後繼續(xù)拉至C點，這時應力為σc，應變εc、-εc/2、-εc/2（見表5.1第1行）,此時材料的後繼屈服軌跡為CFD。下一頁返回表5.1返回表5.1加載路線不同時的應力和應變

No加載路線最終應力狀態(tài)全量應變狀態(tài)說明1OAC簡單加載應力應變對應主軸重合2OC（EJ）F應力改變了應變未改變主軸不重合3OBD簡單加載應力應變對應主軸重合4O（D）F應力改變了應變未改變主軸不重合5OF`F簡單加載應力應變對應主軸重合圖5.2返回2、現(xiàn)設減小拉應力、加上剪應力，通過後繼屈服軌跡裏面的任意路線，例如CEF、CJF或CF等等，變載至F點；這時應力為σf、τf但由於F和C點在同一屈服軌跡上，等效應力並未增加，不能進一步變形，所以應變狀態(tài)並無變化（見表5.1第2行），於是應力和應變並不對應，而且主軸不重合。下一頁返回3、如果從初始狀態(tài)先加純剪應力通過屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表5.1的第3行。

4、如同樣經(jīng)後繼屈服軌跡裏面的任意路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。

5、如果從初始狀態(tài)沿真線OF`F到達F點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸重合。下一頁返回

上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。由表中可看出，同樣的一種應力狀態(tài)σf、τf，由於加載路線不同，就有好幾種應變狀態(tài)（如C、D點應變）；同樣，一種應變狀態(tài)（如εc），也可有幾種應力狀態(tài)（如C、F點應力），而且應力應變主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後根據(jù)具體的加載路線，具休分析。另一方面，我們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下，應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關係，因此可以建立全量理論。返回5.2增量理論（流動理論）

一、列維-密席斯方程二、普朗特-勞斯方程返回一、列維-密席斯方程列維-密席斯方程適用條件：（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總應變增量；（2）材料符合密席斯屈服準則，即（3）塑性變形時體積不變，即

（4）應力主軸和應變增量的主軸重合；（5）應變增量和應力偏張量成正比，即下一頁返回

式中dλ為暫態(tài)的非負比例係數(shù)，它在變形過程中是變化的，但在卸載時，dλ=0。上式就是密席斯方程的關鍵性的運算式。將上式寫成以下形式利用等比定律就可得到下一頁返回或以上兩式是常用的式子。上式表明應力莫爾圓和應變增量莫爾圓是兒何相似的，只是原點位置不同（圖5.3）。下一頁返回返回

比例係數(shù)dλ幾可按如下方法求得。將上式分成三個式子然後平方，得下一頁返回將i≠j的三個式子平方並乘以6，得又有下一頁返回將上面六個式子相加，整理後可得所以因此，下一頁返回於是有下一頁返回推論：

1.塑性平面變形時，如設z向沒有變形，則有dεz=0,按體積不變條件有

dεx+dεy=0

則有由此可得下一頁返回2.由列維-密席斯方程直接可以看出，若有某兩個應變分量的增量相等，則對應的應力偏量也相等，於是對應的應力分量也相等。在第二章中曾指出，在某些軸對稱狀態(tài)中，dερ=dεθ，於是，因此有

σρ=σθ

應指出，密席斯方程僅適用於理想剛塑性材料，所以它只給出了應變增量和應力偏量之間的關係間，對應力球張量則沒有加以限制。下一頁返回

因此，如果已知dεij，則由列維-密席斯方程只能求得，而不能直接求得σij這是剛塑性假設的一個弱點。另一方面，對於理想塑性材料，列維-密席斯方程中的等於常數(shù)σs，而實際上是不定的，所以，如果已知σij則由列維-密席斯方程只能求得dεij各分量之間的比值，而不能直接求得它們的實際數(shù)值。因此，對於理想剛塑性材料，應變增量和應力分量之間還不完全是單值關係。返回二、普朗特-勞斯方程普朗特和勞斯在密席斯方程的基礎上進一步考慮了彈性變形，他們認為，在塑性變形時，總應變增量dεij是塑性應變增量彈性應變增量之和，即其中和應力之間的關係與密席斯方程相同：彈性應變部分下一頁返回於是可得到普朗特一勞斯方程返回5.3全量理論（形變理論）全量理論所必須滿足的條件：1、外載荷按比例增加，不出現(xiàn)中途卸載的情況；２、體積不可壓縮３、材料的應力應變曲線σ-ε符合單一曲線假設，且呈冪函數(shù)形式，即４、塑性變形是微小的，和彈性變形屬於同一數(shù)量級。

下一頁返回則有考慮到下一頁返回因此有也可以寫成如下形式：下一頁返回也就是說，按全量應變理論，主應力的差值與主應變的差值是成比例的，因此應力莫爾圓和應變莫爾圓一定相似。因為上式分子代表應力莫爾圓中三個圓的直徑，分母代表應變莫爾圓中三個圓的直徑。返回5.4應力應變順序對應規(guī)律及其應用

前述增量理論及全量理論都能直接給出應力偏量與應變增量或全量之間的定量關係，但是物體內(nèi)的應力分佈通常很難定量的瞭解，即使知道了還要求出偏量進而求應變?nèi)浚ò葱巫兝碚摚?，計算是相當繁雜的，如果按增量理論計算還需對已求出的應變增量進行積分，其繁雜就可想而知了。下一頁返回另一方面，從工程角度來看，對於一些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進一步探索（由於如摩擦條件等數(shù)學模型還未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於壓力加工理論中關於成形規(guī)律闡述上存在的一些問題，吸取了增量理論及全量理論的共同點，提出了應力應變順序對應規(guī)律，並使該規(guī)律的闡述逐漸簡明和便於應用。現(xiàn)簡述如下：下一頁返回塑性變形時，當應力順序σ1>σ2>σ3不變，且應變主軸方向不變時，則主應變的順序與主應力順序相對應，即ε1>ε2>ε3（ε1>0，ε3<0）。當?shù)年P係保持不變時，相應地有。這個規(guī)律的前一部分是“順序關係”，後一部分是“中間關係”。其實質是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷。它雖然不能給出各方向應變?nèi)康亩拷Y果，但可以說明應力在一定範圍內(nèi)變化時各方向的應變?nèi)康南鄬Υ笮。M而可以推斷出尺寸的相對變化?，F(xiàn)證明如下：下一頁返回在應力順序始終保持不變的情況下，例如σ1>σ2>σ3，則偏應力分量的順序也是不變的（σ1-σm）>（σ2-σm）>（σ3-σm）列維一米塞斯應力應變方程對於主應力條件可以寫成如下形式則知dε1>dε2>dε3

下一頁返回對於初始應變?yōu)榱愕淖冃芜^程，可視為幾個階段所組成，在時間間隔t1中在時間間隔t2中同理有

……

……

下一頁返回在時間間隔tn中也將有由於主軸方向不變，各方向的應變?nèi)浚倯儯┑褥陡麟A段應變增量之和，即

下一頁返回由於σ1>σ2，故有

且因dλ1，dλ2，…，dλn皆大於零，於是ε1-ε2>0即ε1>ε2

，同理有ε2>ε3

即ε1>ε2>ε3

…

下一頁返回又根據(jù)體積不變條件

ε1+ε2+ε3=0有ε1>0，ε3<0至於沿