第二章Z變換講義教材

第二章Ｚ變換信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域分析法和變換域分析法。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，其變換域方法是拉普拉斯變換和傅立葉變換；離散時(shí)間系統(tǒng)中，其變換域方法是Z變換和離散傅立葉變換。對(duì)求解離散時(shí)間系統(tǒng)而言，Z變換是個(gè)極重要的數(shù)學(xué)工具，它可以將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解大大簡化。２．１Ｚ變換的定義與收斂域２．２Ｚ反變換２．３Ｚ變換的基本性質(zhì)和定理２．４序列的Ｚ變換與連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系２．５離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)２．１Ｚ變換的定義與收斂域２．１．１Ｚ變換的定義

對(duì)于一個(gè)序列x(n)，它的Z變換定義為

其中Z為一個(gè)復(fù)變量，上式定義的Z變換稱為雙邊Z變換或標(biāo)準(zhǔn)Z變換，１、有限長序列

其Ｚ變換為

因?yàn)閤(n)是有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，顯然在0<|z|<∞上都滿足收斂條件，收斂域至少是有限Z平面(0，∞)，在n1和n2的特殊取值情況下，收斂域可擴(kuò)大為Re[z]Im[z]0ROC有限長序列的收斂域例：矩形序列是一個(gè)有限長序列，x(n)=RＮ(n)，求其X(z)。解：

收斂域?yàn)?。從上式的分母可知在z=1處有一個(gè)極點(diǎn)，但是從分子處看出z=1處有一個(gè)零點(diǎn)，零極點(diǎn)剛好對(duì)消。２、右邊序列右邊序列只有在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，其它n值時(shí)，序列值全為零，即其Ｚ變換為

若RX-是收斂域的最小半徑，則右邊序列Ｚ變換的收斂域?yàn)橛邢揲L序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面是Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)镽X-<|Z|<∞Re[z]Im[z]Rx-0右邊序列當(dāng)n1=0時(shí)的右邊序列稱為因果序列，其收斂域?yàn)橐虼嗽趞z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征。例：求指數(shù)序列的Ｚ變換。解：３、左邊序列左邊序列只有在n≤n２時(shí)，序列值有值，n＞n２時(shí)，序列值全為零，即其Ｚ變換為

左邊序列Ｚ變換的收斂域?yàn)楫?dāng)n２＞０時(shí)，收斂域不包括z=0，即；當(dāng)n２≤０時(shí)，收斂域包括z=0，即。有限長序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面是Z的正冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)椋?lt;|Z|<RX＋Re[z]Im[z]0Rx+左邊序列例：求序列的Ｚ變換．解：

如果a=b，則此例與上例中右邊序列的Z變換表達(dá)式完全一樣，所以只給出Z變換的閉合表達(dá)式是不夠的，不能正確得到原序列，必須同時(shí)給出收斂域范圍，才能惟一確定一個(gè)序列，這就說明了研究收斂域的重要性。４、雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看做一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，因此雙邊序列Z變換的收斂域就應(yīng)該是這兩個(gè)序列Z變換的公共收斂區(qū)間。其Ｚ變換為

若滿足RX－＜RX＋，

則雙邊序列Ｚ變換的收斂域?yàn)橛疫呅蛄?，其收斂域?yàn)閨Z|＞RX－左邊序列，其收斂域?yàn)閨Z|<RX＋Re[z]Im[z]0RＸ－Rx+雙邊序列例：求序列的Ｚ變換，其中。解：第一部分的收斂域?yàn)椋?；第二部分的收斂域?yàn)椋?。已知，所以２．２Ｚ反變換求Ｚ反變換的方法通常有：圍線積分法（留數(shù)法）、部分分式展開法、長除法１、部分分式法一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)都是變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且沒有公因式，可以把X(z)分解為部分分式的形式，然后求出各部分分式的z反變換（基本Ｚ變換對(duì)的公式可查表),將各反變換相加即得到x(n)。如果X(z)只有一階極點(diǎn)，則X(z)展成最好寫成A0、Am分別為X(z)在z=0、z=zm處極點(diǎn)的留數(shù)，即

如果X(z)中含有高階極點(diǎn)，設(shè)X(z)含有k個(gè)一階極點(diǎn)，一個(gè)s階極點(diǎn)zi，則X(z)展成其中Br用下式確定例：設(shè)試?yán)貌糠址质椒ㄇ骦反變換。由已知的收斂域知道是因果序列２、長除法x(n)的z變換定義為z-1的冪級(jí)數(shù)，即

因此只要在給定的收斂域內(nèi)將X(z)展成冪級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。一般情況下，X(z)是一個(gè)有理分式，分子分母都是z的多項(xiàng)式，則可直接用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，得到冪級(jí)數(shù)展開式，從而得到x(n)。如果用收斂域判定x(n)是右邊序列，則展開成負(fù)冪級(jí)數(shù)，為此X(z)的分子分母按z的降冪（或z-1的升冪）排列；如果是左邊序列，則展開成正冪級(jí)數(shù)，為此X(z)的分子分母按z的升冪（或z-1的降冪）排列。例：用兩種方法求的Ｚ反變換．解：①部分分式法：②長除法由收斂域知x(n)是右邊序列，所以X(z)按z的降冪排列因此得出２．３Ｚ變換的性質(zhì)和定理１、線性線性就是要滿足比例性和可加性，若則其中，，即線性組合后的收斂域?yàn)楦鱾€(gè)序列z變換的公共收斂域，如果這些組合中某些零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z變換。解：例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。２、序列的移位若序列x(n)的z變換為則有其中m為任意整數(shù)，m為正，則為延遲，m為負(fù)則為超前。證：

對(duì)雙邊序列，移位后收斂域不會(huì)發(fā)生變化；但是單邊序列在z=0或z=∞處收斂域可能有變化．例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面處處收斂，但是Z[δ(n-1)]=z-1，在z=0處不收斂，而Z[δ(n+1)]=z，在z=∞處不收斂。３、乘以指數(shù)序列（Ｚ域的尺度變換）若則收斂域?yàn)?，可是?fù)數(shù)。此性質(zhì)表明X(z)如果在z=z1處為極點(diǎn)，則X(a-1z)將在a-1z=z1，即z=az1處為極點(diǎn)。如果a為正實(shí)數(shù)，則表示z平面縮小或擴(kuò)大，零極點(diǎn)在z平面沿徑向移動(dòng)；若a為復(fù)數(shù)，則在z平面上，零極點(diǎn)既有幅度伸縮，又有角度旋轉(zhuǎn)，因此此性質(zhì)是一種z域尺度變換。４、序列的線性加權(quán)若序列x(n)的z變換為則證明：由于z變換在其收斂域中處處解析所以通過遞推可以證明：式中

５、共軛序列若則６、翻摺序列若則證：７、初值定理如果x(n)是因果序列，則有證明：因?yàn)閤(n)是因果序列，有所以８、終值定理如果x(n)是因果序列，且其z變換的極點(diǎn)除在z=1處可以有一階極點(diǎn)，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則有證明：x(n)是因果序列，則

因?yàn)樵趩挝粓A上無極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限，有９、有限項(xiàng)累加特性

設(shè)x(n)為因果序列，即x(n)=0,n<0,若則１０、序列的卷積和（時(shí)域卷積和定理）若則證明：例：已知x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(-n),|a|<|b|，求y(n)=x(n)*h(n)。解：由時(shí)域卷積定理，得到因?yàn)閅(z)的收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，故y(n)是雙邊序列，１１、序列相乘（Ｚ域復(fù)卷積定理）若

則其中C是啞變量v平面上，的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單閉合圍線。１２、帕塞瓦定理若則

其中C是在公共收斂域內(nèi)的一條閉合圍線。例：已知x(n)=anu(n),h(n)=δ(n)-aδ(n-1)求y(n).解：由于零極點(diǎn)對(duì)消，收斂域變成了整個(gè)Z平面。因此由公式進(jìn)行反變換，得到y(tǒng)(n)=δ(n)例：求x(n)=nanu(-n)的Z變換。例：用Z變換的性質(zhì)求下列兩個(gè)序列的卷積：解：

例：計(jì)算兩個(gè)序列x(n)=3nu(-n),h(n)=0.5nu(n)的卷積y(n).解：２．４Ｚ變換與連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系２．４．１Ｚ變換與拉普拉斯變換的關(guān)系１、Ｚ平面與Ｓ平面設(shè)連續(xù)信號(hào)為，其抽樣信號(hào)為,它們的拉普拉斯變換分別為

￡￡

應(yīng)用理想抽樣表達(dá)式，有

而抽樣序列的z變換為比較上面兩式，當(dāng)時(shí)，抽樣序列的z變換就等于抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換，即

即由s平面到z平面的映射關(guān)系為將s平面用直角坐標(biāo)表示為：將z平面用極坐標(biāo)表示為：因此結(jié)論：1）r與σ的關(guān)系，σ=0(s平面的虛軸)對(duì)應(yīng)于r=1(z平面的單位圓上)；σ<0(s平面的左半平面)對(duì)應(yīng)于r<1(z平面的單位圓內(nèi)部)；σ>0(s平面的右半平面)對(duì)應(yīng)于r>1(z平面的單位圓外部)。2）ω和Ω的關(guān)系，Ω=0(s平面實(shí)軸)對(duì)應(yīng)于ω=0(z平面正實(shí)軸)；Ω=Ω0(常數(shù))(s平面平行于實(shí)軸的直線)對(duì)應(yīng)于ω=Ω0T(z平面始于原點(diǎn)，幅角為ω=Ω0T的輻射線)。注意:s平面與z平面的映射關(guān)系不是單值映射，Ω每增加一個(gè)抽樣角頻率，則ω相應(yīng)增加一個(gè)2π，即重復(fù)旋轉(zhuǎn)一周，z平面重疊一次。２、與的關(guān)系由時(shí)域抽樣定理有因此

傅立葉變換是拉普拉斯變換在s平面虛軸上的特例，即s=jΩ，因此有

抽樣序列在單位圓上的z變換等于其抽樣信號(hào)的傅立葉變換。數(shù)字頻率ω表示z平面的幅角，和模擬頻率的關(guān)系為。用數(shù)字頻率ω作為z平面上單位圓的參數(shù)，即，可得因而單位圓上的z變換就是序列的傅立葉變換。２．４．２z變換與傅立葉變換的關(guān)系２．５離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)２．５．１系統(tǒng)函數(shù)的定義一個(gè)線性移不變離散系統(tǒng)可以用它的單位抽樣響應(yīng)h(n)來表示其輸入輸出關(guān)系，即對(duì)等式兩邊?。谧儞Q得則將H(z)定義為線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，是單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換，即２．５．２因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列，其收斂域?yàn)?/p>

一個(gè)線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對(duì)可和條件，即而z變換的收斂域由滿足的那些z值確定，所以如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓|z|=1，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此，一個(gè)因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到∞的整個(gè)z域內(nèi)收斂，即

也就是說系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。２．５．３系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系

一個(gè)線性移不變系統(tǒng)可以用差分方程來描述，其一般形式為

若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，直接對(duì)上式取z

變換（利用移位特性），得將兩個(gè)多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得z=cm是H(z)的零點(diǎn)，z=dk是H(z)的極點(diǎn)，是由差分方程的系數(shù)ak和bk決定，除了比例常數(shù)K，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的零點(diǎn)和極點(diǎn)來確定。要根據(jù)H(z)

唯一確定h(n)，必須同時(shí)確定系統(tǒng)的收斂域。例如對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包含單位圓。例：已知一線性移不變的因果系統(tǒng)差分方程為，求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)，該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？解：由題意知，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因此h(n)為因果序列，H(z)的收斂域?yàn)閳A外部區(qū)域，即所以

因?yàn)橄到y(tǒng)是因果的，收斂域?yàn)?，不包含單位圓|z|=1，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

２．５．４系統(tǒng)的頻率響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入序列是頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列，即線性移不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，利用卷積和，得到輸出為其中

是h(n)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，描述的是復(fù)指數(shù)序列經(jīng)過線性移不變系統(tǒng)后，復(fù)振幅（包括幅度和相位）的變化。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)正是系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的值，即

當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列時(shí)，則輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)，而輸出的相位為輸入相位與系統(tǒng)相位之和．證：設(shè)輸入為則輸出為

由于h(n)是實(shí)序列，因此滿足共軛對(duì)稱條件，也就是幅度為偶對(duì)稱，相角為奇對(duì)稱，即

例：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)．解：將差分方程等式兩端Ｚ變換，得：這是因果系統(tǒng)，求出單位抽樣響應(yīng)為則幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為

系統(tǒng)的極點(diǎn)在