工科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)第六章級(jí)數(shù)教學(xué)講義

第六章級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)

安徽電氣工程學(xué)院1/13/20251本章安排10課時(shí)，每節(jié)2學(xué)時(shí)，習(xí)題課2學(xué)時(shí)。具體如下：

第1,2課時(shí)：

6.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)1/13/20252

教學(xué)目的：理解級(jí)數(shù)的定義，掌握級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念及其性質(zhì)，熟悉幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性，會(huì)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判斷某些級(jí)數(shù)的發(fā)散。

教學(xué)重點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂發(fā)散的定義，級(jí)數(shù)收斂的必要條件。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)。1/13/20253

4.

通過(guò)對(duì)例1的講解，要求學(xué)生掌握等比級(jí)數(shù)的審斂法；例2,3都是拆項(xiàng)化簡(jiǎn)的方法，類似題還可舉1，2個(gè)，或讓學(xué)生練習(xí)。（18）5.

給出并配以簡(jiǎn)例說(shuō)明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的三個(gè)性質(zhì)。（10）6.敘述并推出級(jí)數(shù)收斂的必要條件。（10）1/13/202557.舉例4,5，例5的結(jié)論說(shuō)明通項(xiàng)趨于零不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，要學(xué)生記住調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。再適當(dāng)補(bǔ)充舉例1，2。（15）

8.課堂練習(xí)：判別級(jí)數(shù)的斂散性：

1）2）（15）

9.小結(jié)，布置作業(yè)。（10）

1/13/20256第3,4課時(shí)：

6.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1/13/20257

教學(xué)目的：掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較和比值判別法，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，會(huì)判別絕對(duì)收斂和條件收斂。

教學(xué)重點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和

比值審斂法。

教學(xué)難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法。

1/13/20258

教學(xué)過(guò)程：1．?dāng)⑹稣?xiàng)級(jí)數(shù)定義，分析引出定理1，舉例1說(shuō)明。（10）2.給出并說(shuō)明比較審斂法，注意用一般項(xiàng)作比較，強(qiáng)調(diào)“小于收斂則收斂，大于發(fā)散則發(fā)散”〔學(xué)生往往用錯(cuò)），指出比較對(duì)象：幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P-級(jí)數(shù)等等；舉例2—5，要求學(xué)生掌握P-級(jí)數(shù)的審斂法?？裳a(bǔ)充2個(gè)例題，先讓學(xué)生思考，再與學(xué)生一起分析解答。（25）

1/13/202593．給出比值審斂法，復(fù)習(xí)一下兩個(gè)重要極限公式，羅必塔法則，再舉例7—9（ρ的三種不同情況），可補(bǔ)充1,2個(gè)例題，或讓學(xué)生練習(xí)。（25）4．舉例說(shuō)明什么是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，說(shuō)明萊布尼茲審斂法。舉例10，指出條件（2）是收斂的必要條件，但條件（1）不滿足，不能講該級(jí)數(shù)就一定發(fā)散。判別條件（1）有三種方法：差與0比較、比與1比較、一般項(xiàng)對(duì)n的導(dǎo)數(shù)與0比較?？蛇m當(dāng)增加例題或讓學(xué)生練習(xí)。（15）1/13/2025105．先舉例說(shuō)明定理5，再敘述絕對(duì)收斂和條件收斂的定義，然后舉相關(guān)例題?？裳a(bǔ)充交錯(cuò)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的例題，也為判別某些收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)多了一個(gè)思路。（15）6．小結(jié)：判別級(jí)數(shù)斂散性有哪些方法，一般使用的先后次序。布置作業(yè)。（10）1/13/202511第5,6課時(shí)：

6.3冪級(jí)數(shù)1/13/202512

教學(xué)目的：掌握冪級(jí)數(shù)的概念及收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，了解冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的概念及收斂半徑和收斂區(qū)間的求法。教學(xué)難點(diǎn)：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。1/13/202513教學(xué)過(guò)程：1.先說(shuō)明什么是冪級(jí)數(shù)及其一般形式，講清收斂（發(fā)散）點(diǎn)、域的概念；再講和函數(shù)的概念，用常見的等比級(jí)數(shù)舉例。（15）2.給出并說(shuō)明阿貝爾定理，講敘冪級(jí)數(shù)收斂性的三種情形，指出收斂區(qū)間和收斂域的區(qū)別。（15）3.求收斂半徑的方法，定理2及證明。（10）.1/13/2025144.先舉例1,說(shuō)明求收斂域的方法，可補(bǔ)充簡(jiǎn)單的例題鞏固〔專升本考試范圍〕。其它例題求收斂區(qū)間為主，當(dāng)冪級(jí)數(shù)缺奇（偶）次項(xiàng)可用取絕對(duì)值，由比值審斂法求出其收斂區(qū)間，除例3外還可補(bǔ)充缺偶次項(xiàng)的例題。舉例4后讓學(xué)生記住：對(duì)的冪級(jí)數(shù)是如何求收斂區(qū)間的。

（20）

5.講解冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。（10）

1/13/202515

6.說(shuō)明如何用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分的方法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，舉例。使學(xué)生明白通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分將級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為可求和的幾何級(jí)數(shù)，再用逆運(yùn)算求出和函數(shù)。習(xí)題中有二次逐項(xiàng)積分的情形說(shuō)明一下。（15）7．補(bǔ)充例題或練習(xí)。（10）8．本課小結(jié)，布置作業(yè)。（5）

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第7,8課時(shí)：

6.4函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1/13/202517

教學(xué)目的：了解泰勒級(jí)數(shù)的有關(guān)概念，熟悉幾個(gè)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，會(huì)用間接法求較簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：用間接法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。

1/13/202518教學(xué)過(guò)程：1．表敘泰勒公式和馬克勞林公式，舉例（15）2．說(shuō)明什么是泰勒級(jí)數(shù)和馬克勞林級(jí)數(shù)，f（x）在點(diǎn)x處的泰勒級(jí)數(shù)與在點(diǎn)x處的泰勒展開式有什么不同。（本書提法與其它教材有異，參見同濟(jì)等教材）（10）3.如何把函數(shù)f（x）直接展開成x的冪級(jí)數(shù)，舉例。記住常用的展開式。（20）

1/13/2025194．舉例用間接法將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，提醒不要忘寫收斂域。適當(dāng)補(bǔ)充例題，與習(xí)題中累似的題如：展開為（x—1）的冪級(jí)數(shù)：5.

練習(xí)：（25）

1）將f（x）=展開成x—3的冪級(jí)數(shù)；2）將f（x）=展開成x的冪級(jí)數(shù)。

（15）6．本次課小結(jié)。布置作業(yè)。

（10）

1/13/202520第9,10課時(shí)：

6.5周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)1/13/202521教學(xué)目的：掌握傅里葉系數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)公式和收斂定理，會(huì)將2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。1/13/202522教學(xué)過(guò)程：1．內(nèi)容筒單介紹，學(xué)習(xí)要求；復(fù)習(xí)積分有關(guān)公式，再推證三角函數(shù)系的正交性。（20）2．用逐項(xiàng)積分及三角函數(shù)系的正交性推出傅里葉系數(shù)的公式。（20）

3．在復(fù)習(xí)間斷點(diǎn)類型的基礎(chǔ)上，給出并解釋收斂定理。說(shuō)明f（x）的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉展開式不是一回事。（10）1/13/2025234．舉例1，2后強(qiáng)調(diào)解題步驟，要求作出圖形、解題過(guò)程不查積分表、展開式后的收斂區(qū)間一定要寫。（30）課堂練習(xí)：將函數(shù)展為余弦級(jí)數(shù)。