【創(chuàng)新設(shè)計】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(文科)-浙江專用-課時作業(yè)-第八章-解析幾何-5-

第5講橢圓基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為()A．4B．3C．2D．5解析由題意知，在△PF1F2中，|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2答案A2．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不對解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－m>0，,m－2>0，))得2<m<10，由題意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.答案C3．(2021·諸暨質(zhì)量檢測)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選C.答案C4．(2022·寧波二中一模)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有()A．3個B．4個C．6個D．8個解析當(dāng)∠PF1F2為直角時，依據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當(dāng)∠PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當(dāng)P點為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個．故符合要求的點答案C5．(2021·遼寧卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，則C的離心率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,7)C.eq\f(4,5)D.eq\f(6,7)解析如圖，設(shè)|AF|＝x，則cos∠ABF＝eq\f(82＋102－x2,2×8×10)＝eq\f(4,5).解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴eq\f(c,a)＝eq\f(5,7).答案B二、填空題6．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________．解析由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案77．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率等于eq\f(1,3)，其焦點分別為A，B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，eq\f(sinA＋sinB,sinC)的值等于________．解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(|CB|＋|CA|,|AB|)，由于點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(1,e)＝3.答案38．(2021·杭州二中調(diào)研)已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．解析設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入①式解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))三、解答題9．(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直．直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)依據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設(shè)知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，知原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a故a＝7，b＝2eq\r(7).10.(2022·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，頂點B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.(1)若點C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且|BF2|＝eq\r(2)，求橢圓的方程；(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e解設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,(1)由于B(0，b)，所以|BF2|＝eq\r(b2＋c2)＝a.又|BF2|＝eq\r(2)，故a＝eq\r(2).由于點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))在橢圓上，所以eq\f(\f(16,9),a2)＋eq\f(\f(1,9),b2)＝1，解得b2＝1.故所求橢圓的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由于B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2a2c,a2＋c2)，,y1＝\f(bc2－a2,a2＋c2)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝b.))所以點A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(bc2－a2,a2＋c2))).又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(ba2－c2,a2＋c2))).由于直線F1C的斜率為eq\f(\f(ba2－c2,a2＋c2)－0,\f(2a2c,a2＋c2)－－c)＝eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)，直線AB的斜率為－eq\f(b,c)，且F1C⊥AB，所以eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝eq\f(1,5)，因此e＝eq\f(\r(5),5).力量提升題組(建議用時：35分鐘)11．(2022·金華十校測試與評估)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|＝()A.eq\f(10,3)B．3C.eq\f(8,3)D．2解析依題意得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝eq\f(8,3)，故選C.答案C12．在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為()A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0解析設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),16)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))由①－②，得eq\f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,4)＝0，因eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝2，))所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,16y1＋y2)＝－eq\f(1,4)，所以所求直線方程為y－1＝－eq\f(1,4)(x－1)，即x＋4y－5＝0.答案A13．(2021·陜西五校聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,5)＝1(a為定值，且a＞eq\r(5))的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是________．解析設(shè)橢圓的右焦點為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a又△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點F′時等號成立．此時4a＝12，則a＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，所以c＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14．設(shè)F1、F2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2eq\r(3).(1)求橢圓C的焦距；(2)假如eq\o(AF2,\s\up10(→))＝2eq\o(F2B,\s\up10(→))，求橢圓C的方程．解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.所以橢圓C的焦距為4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AF2,\s\up10(→))＝2eq\o(F2B,\s\up10(→))及l(fā)的傾斜角為60°，知y1<0，y2>0，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2).由于eq\o(AF2,\s\up10(→))＝2eq\o(F2B,\s\up10(→))，所以－y1＝2y2，即eq\f(\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.15．(2022·陜西卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2)，左，右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－eq\f(1,2)x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，求直線l的方程．解(1)由題設(shè)知eq