【原創(chuàng)】江蘇省2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)1-1隨堂練習(xí)及答案：第二章-07拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線的幾何性質(zhì)1．M為拋物線x2＝2py(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以MF為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是________．2．若拋物線y2＝2px(p>0)與直線ax＋y－4＝0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離為________．3．若點(diǎn)P在y2＝x上，點(diǎn)Q在(x－3)2＋y2＝4上，則PQ的最小值為________．4．已知點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．5．已知拋物線y2＝8x，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則△OAB的周長為________．6．在拋物線y＝4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y＝4x－5的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是________．7．等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△ABO的面積是________．8．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5；⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足的坐標(biāo)為(2,1)．能使拋物線的方程為y2＝10x的條件是________．(填寫適合條件的全部序號(hào))9．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)(2p,0)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①OA⊥OB；②△AOB的最小面積是4p2；③x1x2＝－4p2，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．10．求過定點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．11．在拋物線y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱，求k的取值范圍．12．已知拋物線y2＝2px(p>0)有一內(nèi)接直角三角形，直角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始終角邊所在直線的方程是y＝x，斜邊長為5eq\r(3)，求拋物線的方程．答案1解析：如圖所示，設(shè)C為線段MF的中點(diǎn)，即C為圓的圓心，則CC′＝eq\f(1,2)(MM′＋OF)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yM＋\f(p,2)))＝eq\f(1,2)MF，∴該圓與x軸相切．答案：相切2解析：將(1,2)代入y2＝2px(p>0)和ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，∴y2＝4x,2x＋y－4＝0.∵焦點(diǎn)為(1,0)，∴d＝eq\f(|2＋0－4|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)3解析：設(shè)P(x，y)，圓心C(3,0)，半徑r＝2，∵PC2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(11,4)≥eq\f(11,4)，當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，|PC|2＝eq\f(11,4)<r2＝4，∴拋物線與圓相交，∴PQmin＝0.答案：04解析：設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)，y))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2，y))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4，y))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4))＋y2＝eq\f(y4,16)＋eq\f(5,2)y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)P(0,0)．答案：(0,0)5解析：如圖所示．由OA＝OB可知AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，又F是△OAB的重心，則OF＝eq\f(2,3)OM.∵F(2,0)，∴OM＝eq\f(3,2)OF＝3.∴M(3,0)，故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，∴m＝2eq\r(6)或m＝－2eq\r(6).∴A(3,2eq\r(6))．∴OA＝OB＝eq\r(33).∴△OAB的周長為2eq\r(33)＋4eq\r(6).答案：2eq\r(33)＋4eq\r(6)6解析：設(shè)該點(diǎn)為A(x0，y0)，那么有y0＝4xeq\o\al(2,0)(x0∈R)．設(shè)點(diǎn)A到直線y＝4x－5的距離為d，則d＝eq\f(|4x0－y0－5|,\r(42＋1))＝eq\f(1,\r(17))|－4xeq\o\al(2,0)＋4x0－5|＝eq\f(1,\r(17))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)))2－4))＝eq\f(4,\r(17))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)))2＋1)).當(dāng)x0＝eq\f(1,2)時(shí)，d取最小值，此時(shí)y0＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))7解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)在x軸的上方，則由拋物線的對(duì)稱性及OA⊥OB知，直線OA的方程為y＝x(x≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))即點(diǎn)A(2p,2p)，B(2p，－2p)，所以AB＝4p，所以S△ABO＝eq\f(1,2)AB·2p＝eq\f(1,2)·4p·2p＝4p2.答案：4p28解析：由拋物線方程y2＝10x知，焦點(diǎn)在x軸上，所以②適合；對(duì)于③，由焦半徑公式知，1＋eq\f(p,2)＝6，所以p＝10，此時(shí)y2＝20x，不符合條件；對(duì)于④，2p＝5，此時(shí)y2＝5x，不符合題意；又由于拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，原點(diǎn)O(0,0)，設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也適合．因此應(yīng)填序號(hào)為②⑤.答案：②⑤9解析：當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝k(x－2p)(k≠0)，與拋物線的方程聯(lián)立，得k2x2－(4pk2＋2p)x＋4p2k2＝0，所以x1x2＝4p2，y1y2＝－eq\r(4p2·4p2)＝－4p2，所以x1x2＋y1y2＝0，即OA⊥OB，①正確，易證當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，①也正確；由拋物線的圖形可知，AB⊥x軸時(shí)，S△AOB取最小值，所以S△AOBmin＝eq\f(1,2)×2p|y1－y2|＝4p2，所以②正確；③不正確．答案：①②10解：(1)若直線的斜率不存在，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為x＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))直線x＝0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)(0,0)．(2)若直線的斜率存在，設(shè)為k，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為y＝kx＋1.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x))消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，則得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))即直線y＝1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以k＝eq\f(1,2).所以直線方程為y＝eq\f(1,2)x＋1.綜上所述，所求的直線方程為x＝0，y＝1，y＝eq\f(1,2)x＋1.11解：設(shè)拋物線上的點(diǎn)B，C關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱，直線BC的方程為x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－2k，x0＝eq\f(－ky1＋y2＋2m,2)＝2k2＋m.由于點(diǎn)M(x0，y0)在直線y＝kx＋3上，所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，所以m＝－eq\f(2k3＋2k＋3,k).又由于直線BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，所以Δ＝16k2＋16m>0，把m代入化簡，得eq\f(k3＋2k＋3,k)<0，即eq\f(k＋1k2－k＋3,k)<0，解得－1<k<0.12解：設(shè)△AOB是拋物線的內(nèi)接直角三角形，直角的頂點(diǎn)是O，邊AO所在直線的方程是y＝x，則邊OB所在直線的方程是y＝－x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))