二次根式性質

二次根式性質一、基本概念1.二次根式：形如√a的式子，其中a為非負實數(shù)，成為二次根式。2.被開方數(shù)a稱為二次根式的被開方數(shù)，a≥0。3.開方號稱為二次根式的根號，記作。4.如果二次根式化簡之后仍然是二次根式，則稱為真二次根式，否則稱為假二次根式。5.當被開方數(shù)是完全平方數(shù)時，二次根式可進行化簡為有理數(shù)，反之則不能。二、化簡二次根式化簡二次根式的基本思路是化簡根號下的被開方數(shù)。（一）、化簡根號下的正整數(shù)1.完全平方式的化簡若a=k^2(k為正整數(shù))，則有√a=√k^2=k2.非完全平方式的化簡a=p×q(p、q均為正整數(shù)，且p、q互質)，則有√a=√p×q=√p×√q（根號下相乘）（二）、化簡根號下的分數(shù)a=c/b(c、b為正整數(shù)，且c、b互質)√a=√c/b=√c/√b（即根號下添上約分后的分母）（三）、化簡根號下的二次根式一般可以采用分子有理化的方法，去掉根號下的分母。也可以采用“倒扣法”計算式子:設x=√a+√b，則x^2=a+b+2√ab,即2√ab=x^2-a-b,從而可以解出√ab；進而將二次根式化為一個式子。（四）、化簡混合根式就是根號下含有分數(shù)和正整數(shù)的根式。常用的方法：1.分子有理化法2.“倒扣法”3.結合規(guī)律即3√3×√12=3×√3×√4×√3=6√3（將部分項先合并）（五）、分解質因數(shù)最后不行化簡再分解質因數(shù)（六）、倍增、約減如果遇到開平方數(shù)很復雜的二次根式，可以將被開方數(shù)簡化為較小的數(shù)，再逐步推導出化簡形式。三、加減乘除二次根式（I）、加減二次根式同類項相加減，不同類項按一下規(guī)則化公式：化簡(√a±√b)±(√a?√b)時，考慮式子包含的兩個根號內的因數(shù)組合(1).同類項的加減表達式情況1：兩根號為同類，則直接合并兩根號下的數(shù)即可，以(3√3)為例：3√3+2√3=(3+2)√3=5√3。情況2：兩根號不同類，需化公共項，以√2+√7為例，化為(√2+√7)×(1+√4/√7-1)=(√2+√7+2√2-√7)/√7=(√2+2√7)/√7情況3：兩根號相加減的式子中含有分數(shù)，以1/√2+2√2為例子，應化為：1/√2+2√2=√2/(√2×√2)+2√2=√2/2+2√2=(√2+4√2)/2=5√2/2(2).非同類項的加減(√a±√b)±(√c±√d)是不可以直接進行加減的，此時需要使用倍增法。方法：1.化簡2.合并同類項3.最后將非同類的、同次冪的和并即可如：（3√2+2√3）+（4√3-5√2）化簡為（-2√2+7√3）后，合并同類項即可。（II）、乘法運算(1)化簡√a×√b即如何將根式相乘簡化為含根式的最簡形式。時常采用正反合并法或化為同次冪法。化簡規(guī)律：1.同類項相乘2.不同類項相乘先將兩個因數(shù)中含根號的項全部提取出來，兩兩相乘，然后兩兩相加a×√a=a2a×√ab=a×√a×√b=a√ab（2）乘方運算式中含有二次根式的情況。當二次根式中有含變量的因數(shù)時，詢問是否解出變量；當二次根式中有含參數(shù)和實數(shù)的因數(shù)時，直接化簡為有理數(shù)即可。（III）、除法運算將根式分子分母都化成簡化后的最簡形式后，分別除以分母的化簡式，并提取根號，最終得到含根式的有理數(shù)。四、二次根式的應用應用廣泛，尤其在勾股定理、三角恒等式、立方差公式的推導中，二次根式能更直觀、簡潔地表達式子，方便運算。（一）、勾股定理由于√2不是有理數(shù)，所以在證明勾股定理時，需要使用二次根式的性質。勾股定理成立的證明原理主要是基于勾股定理成立的幾何關系，可以用平方的運算來證得。由于構造勾股定理三元組的時候需要用到的√2不是有理數(shù)，所以在證明勾股定理的過程中，涉及了二次根式的性質。（二）、三角恒等式三角恒等式中超出了基本的幾何定理，還需要通過二次根式的運算來完成求解。如sinα±sinβ、cosα±cosβ以及tanα±tanβ等二次根式的展開與化簡，在推導三角恒等式時有著廣泛應用。（三）、立方差公式立方差公式常常用于求兩個數(shù)之積、差、和。求解