【名師伴你行】2021屆高考理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題提能專訓(xùn)13-第13講-與數(shù)列交匯的綜合問題

提能專訓(xùn)(十三)空間幾何體的三視圖、表面積及體積一、選擇題1．(2022·南陽模擬)已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有始終角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()[答案]C[解析]由題中側(cè)視圖知，有一側(cè)棱垂直底面，有一側(cè)看不到，應(yīng)畫為虛線，因此應(yīng)選C.2．(2022·江西師大附中模擬)已知一個(gè)三棱錐的主視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C．1D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]由題中主視圖和俯視圖知，該三棱錐如圖所示，其側(cè)視圖是一個(gè)兩直角邊分別為eq\f(\r(3),2)和1的直角三角形．故它的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).3．(2022·涼山二診)如圖，若一個(gè)空間幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，其直角邊均為1，則該幾何體的表面積是()A．1＋eq\r(2) B．2＋2eq\r(2)C.eq\f(1,3) D．2＋eq\r(2)[答案]D[解析]由題中三視圖知，該幾何體是四棱錐，如圖所示，其底面是邊長為1的正方形，高為1，且高為1的側(cè)棱垂直底面．如圖，其表面積S＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝2＋eq\r(2).4．(2022·山西四校四聯(lián))已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的全部面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A．6eq\r(3) B．12eq\r(3)C．18eq\r(3) D．24eq\r(3)[答案]C[解析]此三棱柱為正三棱柱，體積為eq\f(4π,3)的球體半徑為1，由此可以得到三棱柱的高為2，底面正三角形中心到三角形邊的距離為1，故可得到三角形的高是3，三角形邊長是2eq\r(3)，所以三棱柱的表面積為2×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2＋3×2eq\r(3)×2＝18eq\r(3).5．(2022·綿陽二診)一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長為2的正方形，則該機(jī)器零件的體積為()A．8＋eq\f(π,3) B．8＋eq\f(2π,3)C．8＋eq\f(8π,3) D．8＋eq\f(16π,3)[答案]A[解析]由三視圖可知，該零件的下部是一個(gè)棱長為2的正方體，上部是一個(gè)半徑為1的球的eq\f(1,4)，所以其體積V＝23＋eq\f(1,4)×eq\f(4π,3)＝8＋eq\f(π,3)，故選A.6．(2022·南充一模)一四周體的三視圖如圖所示，則該四周體四個(gè)面中最大的面積是()A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)[答案]D[解析]由題中三視圖可知，該四周體為D－BD1C1，由直觀圖可知，面積最大的面為△BDC1.在正三角形BDC1中，BD＝2eq\r(2)，所以面積S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故選D.7．(2022·唐山統(tǒng)考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1AA．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)[答案]C[解析]由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn)，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn)．設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R為球的半徑)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq\r(2)，則AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).8．(2022·南昌一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為()A．1B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)[答案]D[解析]由題中三視圖可知，該幾何體為三棱錐，設(shè)此三棱錐的高為x，則主視圖中的長為eq\r(6－x2)，所以所求體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(6－x2)×1))x＝eq\f(1,6)eq\r(6－x2x2)≤eq\f(1,6)×eq\f(6－x2＋x2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(6－x2)＝x，即x＝eq\r(3)時(shí)取等號，所以該幾何體的體積的最大值為eq\f(1,2).9．(2022·湖南六校聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為()A．4eq\r(3)π B．12πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(2)π[答案]A[解析]由題中三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為等腰直角三角形，腰為2，有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，且此側(cè)棱長為2，此三棱錐恰為棱長為2的正方體切割而成，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰為此正方體的頂點(diǎn)，故正方體的外接球就是此三棱錐的外接球，半徑R為正方體的體對角線長的eq\f(1,2)，R＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，所以其外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.10．(2022·石家莊調(diào)研)已知球O，過其球面上A，B，C三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)O到該截面的距離是球半徑的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，則球O的表面積為()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(8π,3)C．4πD.eq\f(16π,9)[答案]A[解析]AC＝eq\r(22＋22－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，設(shè)△ABC所在截面圓半徑為r，則2r＝eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(2\r(3),sin120°)＝4，即r＝2，d＝eq\f(R,2)，而d2＋r2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋4＝R2，解得R2＝eq\f(16,3)，所以S球＝4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).二、填空題11．(2022·長春二模)用一個(gè)邊長為4的正三角形硬紙，沿各邊中點(diǎn)連線垂直折起三個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋托，半徑為1的雞蛋(視為球體)放在其上(如圖)，則雞蛋中心(球心)與蛋托底面的距離為________．[答案]eq\r(3)＋eq\f(\r(6),3)[解析]由題意可知蛋托的高為eq\r(3)，且折起的三個(gè)小三角形頂點(diǎn)連線構(gòu)成邊長為1的等邊三角形，雞蛋中心到此等邊三角形所在平面的距離d＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，所以雞蛋中心與蛋托底面的距離為eq\r(3)＋eq\f(\r(6),3).12．(2022·陜西質(zhì)檢)已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積為________．[答案]eq\f(16,3)[解析]由題中三視圖知，該幾何體為組合體，上面為三棱錐，下面為直三棱柱，共同底面為等腰直角三角形且腰長為2，三棱錐和三棱柱的高都為2，則體積V＝2×eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(16,3).13．(2022·石家莊一模)在三棱錐P－ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)Q到三個(gè)側(cè)面的距離分別為3,4,5，則過點(diǎn)P和Q的全部球中，表面積最小的球的表面積為________．[答案]50π[解析]∵側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，∴過點(diǎn)P和Q的全部球中，表面積最小的球是以PQ為體對角線，長、寬、高分別是4,3,5的長方體的外接球，此球的表面積是50π.14．(2022·南京、鹽城一模)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E為AB的中點(diǎn)，則四周體PBCE的體積為________．[答案]eq\f(\r(3),3)[解析]明顯PA⊥平面BCE，底面BCE的面積為eq\f(1,2)×1×2×sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以VP－BCE＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).15．(2022·安徽模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AB，CD上，若EF①四周體PEFQ的體積與點(diǎn)P，Q的位置無關(guān)；②△EFQ的面積為定值；③四周體PEFQ的體積與點(diǎn)P的位置有關(guān)，與點(diǎn)Q的位置無關(guān)；④四周體PEFQ的體積為正方體體積的eq\f(1,12)；⑤點(diǎn)P到平面EFQ的距離隨著P的變化而變化．其中正確的序號是________．[答案]①②④[解析]由題意，△EFQ的高始終為定值，即矩形A1B1CD的寬4eq\r(2)，又EF＝2，故其面積為定值eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，故②正確；又AB∥平面A1B1CD，故點(diǎn)P到△EFQ的距離為定值，故⑤錯(cuò)誤；連接B1C與BC1交于點(diǎn)O，則OB即為點(diǎn)P到△EFQ的距離，為2eq\r(2)，四周體PEFQ的體積為定值eq\f(1,3)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝eq\f(16,3)，故①正確，③錯(cuò)誤；體積之比為eq\f(\f(16,3),43)＝eq\f(1,12)，故④正確．16．(2022·德州二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)幾何體的體積是________．[答案]8eq\r(3)＋eq\