【原創(chuàng)】江蘇省2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修二本章檢測及答案：14立體幾何綜合

本章檢測：立體幾何綜合試題1．在三棱錐中,,分別是的中點(diǎn),,則異面直線與所成的角為．2．[2022·長春質(zhì)檢]如圖，四棱錐P－ABCD的底面是始終角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________．3．[2022·遼寧高考]已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________．4．在正三棱柱中，各棱長均相等，的交點(diǎn)為，則與平面所成角的大小是_______．5．正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段的動點(diǎn)，過的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是①當(dāng)時(shí)，為四邊形②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形③當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足④當(dāng)時(shí)，為六邊形⑤當(dāng)時(shí)，的面積為6．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是AC1、A1B1的中點(diǎn)．點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動，則總能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡的周長等于．7．右圖所示的直觀圖，其原來平面圖形的面積是.8．在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，將△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，則C－DAB三棱錐的外接球的體積為________.9．已知平面、、及直線，，，，，，以此作為條件得出下面三個(gè)結(jié)論：①②③，其中正確結(jié)論是10．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且PA、PB、PC兩兩相互垂直，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為．11．設(shè)為兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若，，，，則；②若相交且不垂直，則不垂直；③若，則n⊥；④若，則．其中全部真命題的序號是．12．已知三條不同的直線,c和平面，有以下六個(gè)命題：①若②若異面③若④若⑤若直線異面，異面，則異面⑥若直線相交，相交，則相交其中是真命題的編號為____。13．已知正△ABC的邊長為,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖所示.（1）試推斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;（2）若棱錐E-DFC的體積為,求的值;（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使BP⊥DF？假如存在,求出的值;假如不存在,請說明理由.14．如圖，在五棱錐S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，（1）.（2）證明：平面SBC⊥平面SAB.15．（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，底面，，E、F分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：AB⊥平面AA1C（2）若線段上的點(diǎn)滿足平面//平面，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由；（3）證明：⊥A1C.16．四棱錐底面是菱形，，,分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面⊥平面；（2）是上的動點(diǎn)，與平面所成的最大角為，求二面角的正切值.17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面．（Ⅰ）若，分別為，中點(diǎn)，求證：∥平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，求證：平面平面．參考答案1．【解析】題分析：取中點(diǎn),連接．則中,∥且,中,∥且,所以為所求．中,,所以．考點(diǎn)：異面直線所成角．2．平行【解析】取PD的中點(diǎn)F，連接EF，在△PCD中，EF=CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF=AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD.3．【解析】依題意，以PA，PB，PC為棱構(gòu)造如圖所示的正方體，且此球?yàn)檎襟w的外接球，PD1為球的直徑，PD1的中點(diǎn)O為球心，由PD1＝2，可得PA＝PB＝PC＝2，由等積法可得三棱錐P－ABC的高為，∴球心O到平面ABC的距離為－＝.4．【解析】試題分析：如圖所示取BC中點(diǎn)E，連接AE，DE，易得與平面所成角為，設(shè)正三棱柱棱長為2，則等邊三角形ABC，邊上的中線，，直角三角形中考點(diǎn)：直線與平面所成的角.5．①②③⑤【解析】試題分析：如圖，當(dāng)時(shí)，，即Q為CC1中點(diǎn)，此時(shí)可得，故可得截面APQD1為等腰梯形，故②正確；由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動時(shí)，滿足，只需在DD1上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM，故①正確；③時(shí)，如圖，延長DD1至N，使，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，可證，由1，可得，故可、得，故正確；④由③可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面外形仍舊上圖所示的APQRS，明顯為五邊形，故錯誤；⑤當(dāng)時(shí)，Q與C1重合，取A1D1的中點(diǎn)F，連接AF，可證，可知截面為APC1F為菱形，故其面積為，故正確．考點(diǎn)：空間圖形與平面圖形的關(guān)系6．【解析】試題分析：取的中點(diǎn)、，連接，則平面，設(shè)在平面中的射影為，過與平面平行的平面為，∴能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長與矩形的周長相等，∴正方形等于的棱長為1，∴矩形的周長為.考點(diǎn)：立體幾何中的軌跡問題.7．4【解析】試題分析：由斜二測畫法可知原圖應(yīng)為：

其面積為：故答案為4.考點(diǎn)：平面圖形的直觀圖.8．【解析】試題分析：設(shè)中點(diǎn)為，,球心滿足，設(shè)，解三角形可知，考點(diǎn)：空間線面位置關(guān)系及三棱錐外接球點(diǎn)評：要求球的體積，首先要求出半徑，關(guān)鍵是找到球心的位置，依據(jù)球心到4個(gè)頂點(diǎn)距離相等及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般可確定下球心在過BD中點(diǎn)且垂直于平面ABD的直線上9．②【解析】10．18【解析】依題意知，PA,PB,PC兩兩垂直，以PA,PB,PC為棱構(gòu)造長方體，則該長方體的對角線即為球的直徑，所以11．④【解析】解：利用兩條直線同時(shí)平行于同一個(gè)平面，不肯定能推出面面平行，因此1錯誤2中，若相交且不垂直，則可能垂直，錯誤3中，，則n有可能垂直，也可能不垂直，錯誤。只有4成立。12．③【解析】略13．（1）平行；（2）；（3）存在AP：AC=1：3【解析】試題分析：（1）由于E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，所以在翻折后的三角形ABC中，.由線面平行的判定定理可得結(jié)論.（2）由棱錐E-DFC的體積為，由于△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，并且平面BCD，即由三棱錐的體積公式，即可求出結(jié)論.（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使BP⊥DF,即轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直的問題，假設(shè)存在點(diǎn)P作,k為垂足，連結(jié)BK即可得到直線DF平面BPK，所以可得.通過三角形的相像即可得到所求的結(jié)論.(1)AB//平面DEF,如圖.在△ABC中,∵E,F分別是AC,BC的中點(diǎn),故EF//AB,又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,4分(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD,將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中點(diǎn)M,則EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2,a=2.8分(3)存在滿足條件的點(diǎn)P.做法：由于三角形BDF為正三角形,過B做BK⊥DF,延長BK交DC于K,過K做KP//DA,交AC于P.則點(diǎn)P即為所求.證明：∵AD⊥平面BCD,KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.故AP：OC=1：2,AP：AC=1：312分考點(diǎn)：1.圖形的翻折.2.線面間的位置關(guān)系.3.開放性題的等價(jià)變換.4.空間想象力.14．（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）證明兩個(gè)平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡潔記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明類似，把握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類題的關(guān)鍵.試題解析：（1）連結(jié)，延長交于點(diǎn)，則，∴為正三角形，∴又，∴因此，為正三角形，∴，∴.（2）由題意，為等腰三角形，，∴，又，∴，∴∵⊥底面，底面，∴，又，∴⊥平面又∴平面⊥平面.考點(diǎn)：（1）直線與平面平行的判定；（2）平面與平面垂直的判定.15．（1）詳見解析；（2）是線段的中點(diǎn)；（3）詳見解析．【解析】試題分析：（1）求證：AB⊥平面AA1C1C，證明線面垂直，只需證明線線垂直，即在平面找兩條直線與垂直，由已知平面，故，且，故可證得結(jié)論；（2）線段上的點(diǎn)滿足平面平面，且面面，面面，由面面平行的性質(zhì)可以得到，在中，已知是的中點(diǎn)，由中位線定理，即可確定點(diǎn)的位置；（3）證明：⊥A1C，證明線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，留意到四邊形是一個(gè)正方形，則，易證，可得平面，由（2）知平面平面，從而得平面，即可證得結(jié)論．（1）底面，，2分，，面.4分（2）面//面，面面，面面，//，7分在中是棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).8分（3）三棱柱中側(cè)面是菱形，，9分由（1）可得，，面，11分.12分又分別為棱的中點(diǎn)，//，13分.14分考點(diǎn)：線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)．16．（1）參考解析；（2）【解析】試題分析：（1）由已知可得直線AE垂直于BC，即可得到AE垂直于AD，又由于PA垂直于AE.所以可得AE垂直于平面PAD.即可得平面要證平面⊥平面.（2）通過點(diǎn)E作EG垂直于AF，EQ垂直于AC，連結(jié)QG即可證得為所求的二面角的平面角.由與平面所成的最大角為.可得AE=AH.即可得EQ,QG的大小.從求得的正切值，即二面角的正切值.（1）設(shè)菱形ABCD的邊長為2a，則AE=,∴AE⊥BC,又AD||BC,∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AE,AE⊥面PAD,∴面AEF⊥面PAD.（2）過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過作QG⊥AF，垂足為G，連GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，則∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.過點(diǎn)A作AH⊥PD，連接EH，∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH與面PAD所成的最大角.∵∠AHE＝，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,PA=2,PC=4a,EQ=,CQ=,GQ=,tan∠EGQ=.考點(diǎn)：1.面面垂直的判定.2.動點(diǎn)問題.3.二面角問題.17．（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點(diǎn)，故從中位線上找線線平行.，分別為，中點(diǎn)，在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以∥．又由于平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性質(zhì)定理可得線面垂直，由于平面底面，且平面平面，又，平面，所以面．又由于平面，所以．即．（Ⅲ）證明面面垂直，關(guān)鍵找出線面垂直.在△中，由于，所以．由（Ⅱ）可知，且，所以平面．又由于平面，所以平面平面．證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)．由于底面是正方形，所以與相互平分．又由于是中點(diǎn)，所以是