【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-1)綜合質(zhì)量評(píng)估

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。綜合質(zhì)量評(píng)估第一至第三章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知命題“假如-1≤a≤1，那么關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集為”，它的逆命題、否命題、逆否命題及原命題中是假命題的共有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)【解析】選C.當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5a+25≤51+252所以原命題為真，逆否命題亦為真.反之，如a=-2時(shí)，所給不等式的解集即為空集，但a?[-1，1]，所以逆命題為假，故否命題亦為假.【變式訓(xùn)練】命題“若C=90°，則△ABC是直角三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 【解析】選C.原命題是真命題.其逆命題為“若△ABC是直角三角形，則C=90°”，這是一個(gè)假命題，由于當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，也可能A或B為直角.這樣，否命題是假命題，逆否命題是真命題.因此，真命題的個(gè)數(shù)是2.2.(2022·蚌埠高二檢測(cè))設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是()A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2【解析】選B.對(duì)于選項(xiàng)A，α，β也可能相交，此時(shí)，l1，m都平行于交線，是必要不充分條件；對(duì)于選項(xiàng)B，由于l1與l2是相交直線，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不愿定能得到l1∥m，它們也可以異面，故必要性不成立，故選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，由于m，n不愿定相交，故是必要不充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，由n∥l2可轉(zhuǎn)化為n∥β，同選項(xiàng)C，故不符合題意，【變式訓(xùn)練】有下述說(shuō)法：①a>b>0是a2>b2的充要條件；②a>b>0是1a<1b的充要條件；③a>b>0是a3>b3A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【解析】選A.a>b>0?a2>b2，a2>b2?|a|>|b|a>b>0，故①錯(cuò).a>b>0?1a<1b，但1a<1ba>b>0，故②錯(cuò).a>b>0?a3>b3，但a3>b3a>b>0，故③3.(2022·吉林高二檢測(cè))“1<m<3”是“方程x2m-1+y2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)方程x2m-1+y23-m=1表示橢圓時(shí)，必有m-1>0,3-m>0,所以1<m<3；但當(dāng)1<m<3時(shí)，該方程不愿定表示橢圓，如當(dāng)m=2時(shí)，方程變?yōu)閤4.(2022·廣州高二檢測(cè))已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，A.5+12 B.2+1 C.3+1 【解析】選B.如圖，由雙曲線x2a2-y且AF⊥x軸得c2a2-y由拋物線y2=2px的定義得AF=p，即b2a=得b2=2ac，所以b2a2=2ca，e2【拓展延長(zhǎng)】求離心率的方法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=ca.已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率.這是求離心率的格外重要的思路及方法.(3)幾何法：求與過(guò)焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問(wèn)題，依據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)畫(huà)出圖形，觀看線段之間的關(guān)系，使問(wèn)題更形象、直觀.【變式訓(xùn)練】若雙曲線C：x2-y2b2=1(b>0)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2A.2 B.2 C.3 D.3【解析】選B.由雙曲線方程知a=1，所以c=1+所以一條漸近線的方程為y=bx，即bx-y=0.所以|b-0|b2+1=所以c=2，所以e=ca=25.(2022·昌平高二檢測(cè))已知命題p：?x∈R，x≥2，那么下列結(jié)論正確的是()A.命題p：?x∈R，x≤2B.命題p：?x0∈R，x0<2C.命題p：?x∈R，x≤-2D.命題p：?x0∈R，x0<-2【解析】選B.全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：?x0∈R，x0<2.6.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=3，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為()A.1 B.102 C.12 【解析】選B.過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N.則可求得AM=12，BM=32，CN=12，DN=32，MN=1.由于BD→=所以|BD→|2=(BM→+MN→+ND→)2=|BM→|2+|MN→|2+|ND→|2+2(BM→·MN→所以|BD→|=7.(2022·東城高二檢測(cè))過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB=10，則AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于A.1 B.2 C.3 【解析】選D.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)(1，0)，準(zhǔn)線為l：x=-1，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A，E，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，F(xiàn)，D，EF交縱軸于點(diǎn)H，如圖所示，則由EF為直角梯形的中位線知，|EF|=|AC|+|BD|2=|AB|2=58.(2022·牡丹江高二檢測(cè))在四邊形ABCD中，“?λ∈R，使得AB→=λDCλBC→”是“四邊形ABCD為平行四邊形”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.若AB→=λDC→，AD→=λBC→，則AB→∥DC→，AD→∥BC→，即AB∥DC，AD∥BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC，即AB→=DC→，AD→=BC→，此時(shí)λ=1，所以?λ∈R，使得AB→=λDC9.已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為A.60° B.90°C.45° D.以上都不正確【解析】選B.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由題意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以A1E→=(0，1，-1)，D1E→=(1，1，-1)，設(shè)平面A1ED1的一個(gè)法向量為n=(x，y，z).則QUOTEn·A1E→=0,n·令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n，EA→>=QUOTEn·EA→|n||EA→|所以<n，EA→>=180所以直線AE與平面A1ED1所成的角的大小為90°.10.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-4y2=4a(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足：PF1→·PF2→=0，|PF1A.2 B.52 C.1 D.【解析】選C.雙曲線方程化為x24a-y由于PF1→·PF2→=0，所以|PF1→|2+|PF2→|2=由雙曲線定義|PF1→|-|PF2→|=又已知|PF1→|·|PF由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11.(2022·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則PA→A.-1,-14 C.[-1，0] D.-【解析】選D.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，C1(0，1，0).設(shè)P(x，y，0)，其中0≤x≤1，0≤y≤1.則PA→=(1-x，-y，1)，PC1→=(-x，所以PA→·PC1→=(1-x，-y，1)·x-122+y-122-12，由于x-122+y-122的幾何意義是平面區(qū)域0≤x≤1,0≤y≤1到點(diǎn)12,12的距離的平方，所以當(dāng)x=y=12時(shí)，x-122+y-12212.(2022·北京高二檢測(cè))已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2，一條拋物線恰好經(jīng)過(guò)該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.34 B.32 C.3 【解析】選B.設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，依據(jù)對(duì)稱性可知，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)在拋物線y2=2px上，設(shè)A(x1，1)，F(xiàn)(x2，2)，則1即x2=4x1，又AF=(x1-x2)2+(1-2)2=2，即(x1-x2所以x12=13，x1=33，即p=12二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.(2022·廣州高二檢測(cè))拋物線焦點(diǎn)在y軸上，且被y=12x+1截得的弦長(zhǎng)為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】設(shè)拋物線方程為x2=my，聯(lián)立拋物線方程與直線方程y=12x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=m2，x1x2=-m，所以5=1+122(x1+x2)所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=-20y.答案：x2=4y或x2=-20y14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一點(diǎn)，則PM的最小值為.【解析】由條件知PC，AC，BC兩兩垂直，設(shè)CA→=a，CB→=b，CP→=c，則a·b=b·c由于∠BAC=60°，AB=8，所以|a|=|CA→|=8cos60°=4，|b|=|CB→|=8sin60°=43，|設(shè)AM→=xAB→=x(b-a)，其中x∈則PM→=PC→+CA→+AM→=-c+a+x(b-|PM→|2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)xa·b-2xb·c-2(1-x)a·c=16(1-x)2+16=32(2x2-x+1)=64x-1所以當(dāng)x=14時(shí)，|PM→|所以|PM→|min=2答案：2715.(2022·青島高二檢測(cè))在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG=2GD，PA→=a，PB→=b，PC→=c，試用基底{a，b，【解析】由于BG=2GD，所以BG→=又BD→=BA→+BC→=PA→-PB→+所以PG→=PB→+BG→=b+23=23a-13b+2答案：23a-13b+16.(2022·武漢高二檢測(cè))曲線C是平面內(nèi)到直線l1：x=-1和直線l2：y=1的距離之積等于常數(shù)k2k>0的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論①曲線C過(guò)點(diǎn)(-1，1)；②曲線C關(guān)于點(diǎn)(-1，1)對(duì)稱；③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l1，l2上，則PA+P④設(shè)P0為曲線C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P0關(guān)于直線x=-1、點(diǎn)(-1，1)及直線y=1對(duì)稱的點(diǎn)分別為P1，P2，P3，則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2.其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，則由條件可知x+1·y-1=k2，①，將(-1，1)代入得0=k2，由于k>0，所以不成立，故方程不過(guò)點(diǎn)(-1，1)，①錯(cuò)誤.②，把方程中的x用-2-x代換，y用2-y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于點(diǎn)(-1，1)對(duì)稱，②正確.③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l1，l2上，則PA≥x+1，PB≥y-1，所以PA+PB≥2PA·PB=2k，故③正確.④，由題意知點(diǎn)P0在曲線C上，依據(jù)對(duì)稱性，則四邊形P0P1P2P3的面積為2x+1·2y-1=4答案：②③④三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集為{x|x<0}，q：函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域?yàn)镽.假如p和q有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍.【解析】當(dāng)p真時(shí)，0<a<1，當(dāng)q真時(shí)，a>0,1-4a所以p假時(shí)，a>1，q假時(shí)，a≤12又p和q有且僅有一個(gè)正確，當(dāng)p真q假時(shí)，0<a≤12；當(dāng)p假q真時(shí)，綜上a的取值范圍為0,12∪(1，18.(12分)(2022·黃山高二檢測(cè))如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1(1)用向量法證明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法證明MN⊥平面A1BD.【證明】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中BD→=AD→-AB→，又由于AD→=A1D1所以BD→=所以BD∥B1D1.又B1D1?平面B1CD1，BD?平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可證A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)MN→=MB→=12AB→+AD→+1=12AB→+AD→+1=12AB→+1設(shè)AB→=a，AD→=b，則MN→=12(a+b又BD→=AD→-AB所以MN→·BD→=12(a+b+c)·=12(b2-a2+c·b-c·a又由于A1A→⊥AD→所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以MN→·所以MN⊥BD.同理可證，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1，-2).(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程.(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于55？若存在，求直線l的方程；若不存在，【解析】(1)將A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求拋物線C的方程為y2=4x，其準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t.由y=-2x+t,y2由于直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-12由直線OA與l的距離d=55，可得|t|5解得t=±1.由于-1?-12,+∞，1所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0.20.(12分)(2022·秦皇島高二檢測(cè))設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓x236+y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF(1)求|PF1|的長(zhǎng)度.(2)求|P【解析】(1)若∠PF2F1是直角則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=283若∠F1PF2是直角，則|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=283，|PF2|=8所以|PF1若∠F1PF2是直角，則|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以|PF綜上，|PF121.(12分)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1(1)求直線BE和平面ABB1A1(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以AB→，AD(1)依題意，得B(1，0，0)，E0,1,12，A(0，0D(0，1，0)，所以BE→=AD→=(0，1在正方體ABCD-A1B1C1D1中由于AD⊥平面ABB1A1所以AD→是平面ABB1設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為θ則sinθ=|BE→·AD→故直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為2(2)在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F∥平面A1證明如下：依題意，得A1(0，0，1)，BA1→=(-1，0BE→=設(shè)n=(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量，則由n·BA1→=0，n·BE所以x=z，y=12z.取z=2，得n=(2，1，由于F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t，1，1)(0≤t≤1).又B1(1，0，1)，所以B1F→=(t-1，1，0).而B(niǎo)1F?于是B1F∥平面A1BE?B1?(t-1，1，0)·(2，1，2)=0?2(t-1)+1=0?t=12?F為棱C1D1這說(shuō)明在棱C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn))，使B1F∥平面A122.(12分)(2021·天津高考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA(1)證明B1C1⊥(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為26【解題指南】方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出B1C→1，(2)求出平面B1CE與平面CEC1的法向量，由法向量的夾角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直線AM的方向向量與平面ADD1A1的法向量表示直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦，確定向量AM方法二：(1)要證明線線垂直，先證明線面垂直，關(guān)鍵是找出與線B1C1垂直的平面CC1E，(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先構(gòu)造三角形，設(shè)AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的長(zhǎng)度，最終在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得B1C→1=(1，0，-1)，CE→=(-1，1，-1)，于是B1C→(2)B1C→=(1，-2設(shè)平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，則QUOTEm·B1C→=0,m·CE→得y+2z=0，不