【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(xué)(四川專用-理科)二輪專題整合：1-6-1統(tǒng)計與概率的基本問題

專題六概率與統(tǒng)計第1講統(tǒng)計與概率的基本問題eq一、選擇題1．(2022·成都診斷)從8名女生和4名男生中，抽取3名同學(xué)參與某檔電視節(jié)目，假如按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為 ()．A．224 B.112C．56 D.28解析依據(jù)分層抽樣，應(yīng)抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.答案B2．(2022·北京順義區(qū)統(tǒng)練)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時至14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時至10時的銷售額為3萬元，則11時至12時的銷售額為 ()．A．8萬元 B.10萬元C．12萬元 D.15萬元解析由頻率分布直方圖知，9時至10時的銷售額的頻率為0.1，故銷售總額為eq\f(3,0.1)＝30(萬元)，又11時至12時的銷售額的頻率為0.4，故銷售額為0.4×30＝12萬元．答案C3．(2022·日照模擬)已知三點A(2,1)，B(1，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，動點P(a，b)滿足0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤2，且0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤2，則點P到點C的距離小于eq\f(1,5)的概率為()．A.eq\f(π,20)B．1－eq\f(π,20)C.eq\f(19π,20)D．1－eq\f(19π,20)解析動點P(a，b)滿足的不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2a＋b≤2，0≤a－2b≤2，))畫出可行域可知P在以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))為中心且邊長為eq\f(2\r(5),5)的正方形及內(nèi)部運動，而點P到點C的距離小于eq\f(1,5)的區(qū)域是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))為圓心且半徑為eq\f(1,5)的圓的內(nèi)部，所以概率P＝eq\f(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(π,20).答案A4．(2022·成都二診)某市環(huán)保部門預(yù)備對分布在該市的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H等8個不同監(jiān)測點的環(huán)境監(jiān)測設(shè)備進(jìn)行檢測維護(hù)，要求在一周內(nèi)的星期一至星期五檢測維護(hù)完全部監(jiān)測點的設(shè)備，且每天至少去一個監(jiān)測點進(jìn)行檢測維護(hù)，其中A，B兩個監(jiān)測點分別支配在星期一和星期二，C，D，E三個監(jiān)測點必需支配在同一天，F(xiàn)監(jiān)測點不能支配在星期五，則不同的支配方法種數(shù)為()．A．36 B．40C．48 D．60解析當(dāng)星期一或星期二維護(hù)2個檢測點時，若支配F，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)種；若擔(dān)憂排F，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種．當(dāng)星期三或星期四維護(hù)2個檢測點時，若含有F，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種；若不含有F，有Ceq\o\al(1,2)種．當(dāng)星期五維護(hù)2個時，有Aeq\o\al(2,2)種；當(dāng)星期一或星期二維護(hù)4個時，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種；當(dāng)星期三或星期四維護(hù)4個時，有Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(2,2)＋2)種；當(dāng)星期五維護(hù)4個時，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種，綜上，共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(2,2)＋2)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝60種，故選D.答案D二、填空題5．(2022·廣東卷)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________．解析十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有Ceq\o\al(7,10)種狀況，七個數(shù)的中位數(shù)為6，那么6只有處在中間位置，有Ceq\o\al(3,6)種狀況，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)6．(2022·成都三診)圖1是某地區(qū)參與2022年高考的同學(xué)身高的條形統(tǒng)計圖，從左至右的各條形圖表示的同學(xué)人數(shù)依次記為A1，A2，A3，…，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內(nèi)的同學(xué)人數(shù))．圖2是圖1中統(tǒng)計身高在肯定范圍內(nèi)同學(xué)人數(shù)的一個算法流程圖．現(xiàn)要統(tǒng)計身高在[160,180)內(nèi)的同學(xué)人數(shù)，那么流程圖中推斷框內(nèi)整數(shù)k的值為________．解析依題意，留意到身高在[160,180)內(nèi)的同學(xué)屬于第4組到第7組，因此結(jié)合題中的程序框圖得知，流程圖中推斷框內(nèi)整數(shù)k的值是7.答案77．(2022·青島質(zhì)量檢測)在試驗室進(jìn)行的一項物理試驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能消滅在第一或最終一步，程序B和C在實施時必需相鄰，則試驗挨次的編排方法共有________種．解析設(shè)6個程序分別是A，B，C，D，E，F(xiàn).先將A支配在第一或最終一步，有Aeq\o\al(1,2)種方法；將B和C看作一個元素，它們自身之間有Aeq\o\al(2,2)種方法，與其他程序進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，由分步乘法計數(shù)原理得試驗挨次的編排方法共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝96種．答案968．(2022·德州模擬)在區(qū)間[－2,3]上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋(a＋2)x有極值的概率為________．解析區(qū)間[－2,3]的長度為5，f′(x)＝x2－2ax＋a＋2.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋(a＋2)x有極值等價于f′(x)＝x2－2ax＋a＋2＝0有兩個不等實根，即Δ＝4a2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又∵a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤2，范圍區(qū)間的長度為2，所以所求概率P＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)三、解答題9．某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).(1)依據(jù)莖葉圖計算樣本均值；(2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．依據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．解(1)樣本平均值為eq\f(17＋19＋20＋21＋25＋30,6)＝eq\f(132,6)＝22，故樣本均值為22.(2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故推斷該車間12名工人中有12×eq\f(1,3)＝4名優(yōu)秀工人．(3)設(shè)大事A：“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,8),C\o\al(2,12))＝eq\f(16,33).所以恰有1名優(yōu)秀工人的概率為eq\f(16,33).10．袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球n個，已知從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個球，記第一次取出小球標(biāo)號為a，其次次取出的小球標(biāo)號為b.①記“a＋b＝2”為大事A，求大事A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求大事“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．解(1)由題意可得eq\f(1,2)＝eq\f(C\o\al(1,n),1＋1＋n)＝eq\f(n,1＋1＋n)，解得n＝2.(2)①由于是不放回抽取，大事A只有兩種狀況：第一次取0號球，其次次取2號球；第一次取2號球，其次次取0號球，所以P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②記“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”為大事B，則大事B等價于“x2＋y2＞4恒成立”．(x，y)可以看成平面中的點，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}．而大事B構(gòu)成的區(qū)域B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).11．(2022·廣東卷)隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.依據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)依據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3)依據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率．解(1)依據(jù)已知數(shù)據(jù)統(tǒng)計出n1＝7，n2＝2；計算得f1＝eq\f(7,25)＝0.28，f2＝eq\f(2,25)＝0.08.(2)由于組距為5，用eq\f(頻率,組距)得各組的縱坐標(biāo)分別為0.024,0.040,0.064,0.056,0.016.不妨以0.008為