福建省南平市第六中學2021年高二數(shù)學文期末試卷含解析

/福建省南平市第六中學2021年高二數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，則的虛部是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由復數(shù)的除法運算，先化簡，再由復數(shù)的概念，即可得出結果.【詳解】因為，所以其虛部為.故選B【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算、以及復數(shù)的概念，熟記復數(shù)的運算法則以及復數(shù)概念即可，屬于常考題型.2.設函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f′（x）＜g′（x），則當a＜x＜b時，有（）A．f（x）＞g（x） B．f（x）＜g（x） C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：C【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】比較大小常用方法就是作差，構造函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在給定的區(qū)間[a，b]上的單調性，F(xiàn)（x）在給定的區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)從而F（x）＞F（a），整理后得到答案．【解答】解：設F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)．∴當x＞a時，F(xiàn)（x）＜F（a），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）故選C．3.已知拋物線與直線相交于A、B兩點，其中A點的坐標

是(1，2)。如果拋物線的焦點為F，那么等于（

）A．5

B．6

C． D．7

參考答案：D略4.已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，且長軸長為12，離心率為，則橢圓的方程為（

）．A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)長軸長以及離心率，可求出，，再由，進而可求出結果.【詳解】解：由題意知，，，所以，，∴，又因為焦點在軸上，∴橢圓方程：．故選D．5.如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正確的是 ()．參考答案：A略6.已知是等比數(shù)列，，，則（

）A． B．C． D．參考答案：D略7.直線mx+y－m+2=0恒經過定點（

）A.(1,－1)

B.(1,2)

C.(1,－2)

D.(1,1)參考答案：C8.將兩個數(shù)交換,使,下面語句正確一組是（

）

A

B

C

D

a=bb=a

c=bb=aa=c

b=aa=b

a=cc=bb=a

參考答案：B略9.若直線過圓的圓心，則的值為（）．A．

B．

C．

D．參考答案：B10.圓心坐標為，半徑長為2的圓的標準方程是（）A. B.C. D.參考答案：C分析】根據(jù)圓的標準方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標準方程是.故選C.【點睛】本題考查了圓的標準方程，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，等價為方程存在三個不相等的實根，當時，，，解得，當時，，只有一個根.當時，方程存在兩個不相等的實根，即.設，，令，解得，當，解得，在上單調遞增；當，解得，在上單調遞減；又，，存在兩個不相等的實根，.故答案為：.

12.(2x－4)dx＝________.參考答案：略13.觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此規(guī)律，第n個等式可為．參考答案：【考點】歸納推理．【分析】等式的左邊是正整數(shù)的平方和或差，根據(jù)這一規(guī)律得第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結合分組求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論：第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．當n為偶數(shù)時，分組求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，當n為奇數(shù)時，第n個等式左邊=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．綜上，第n個等式為．故答案為：．14.則常數(shù)T的值為

．參考答案：3

15.在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的面積為

。參考答案：由可得且四邊形ABCD是平行四邊形，再由可知D在的角平分線上，且以及上單位邊長為邊的平行四邊形的一條對角線長（如圖）是，因此，所以。該題由考查向量相等的概念和求摸以及幾何意義，由考查向量的加法的幾何意義，該題還考查正弦定理面積公式以及轉化能力，是難題。

16.已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在內有兩個不等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】轉化方程為函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值，轉化求解m的范圍即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在內有兩個不等的實根，即函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，與y=﹣m在內有兩個不相同的交點，f′（x）=﹣2x，令﹣2x=0可得x=±1，當x∈[，1）時f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，當x∈（1，e）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為：f（1）=﹣1，f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2．函數(shù)的最小值為：2﹣e2．方程f（x）+m=0在內有兩個不等的實根，只需：﹣2﹣，解得m∈．故答案為：．17.“”是“”的

條件.參考答案：充分不必要略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.因發(fā)生交通事故，一輛貨車上的某種液體潰漏到一池塘中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在池塘中投放一種與污染液體發(fā)生化學反應的藥劑，已知每投放個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（天）變化的函數(shù)關系式近似為，其中．若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經驗，當水中藥劑的濃度不低于（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？（2）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．參考答案：考點：函數(shù)模型及其應用試題解析：（1）因為，所以，①當時，由，解得，所以此時．②當時，由，解得，所以此時．綜合得，，即，若一次投放4個單位的制劑，則有效治污時間可達8天．（2）當時，，由題意知，對于恒成立．因為，而，所以，故當且僅當時，有最小值為，令，解得，所以的最小值為．又，所以的最小值約為1.6.19.動點M到直線的距離等于它到定點的距離（1）求M點的軌跡C的方程；（2）設過點F且斜率為k的直線交曲線C于兩點A，B，且，求的方程.參考答案：（1）依題意到點的距離等于它到直線的距離，故動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，則

曲線的方程為

（2）設的方程為代入拋物線得由題意知，且，設，，∴，，由拋物線的定義知，∴，∴，即直線方程為，即，

20.（文科做）已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中實數(shù)a≥0．（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調性．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定導函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，x1（1，2）2（2，3）3f'（x）

﹣0+

f（x）1↘2﹣2ln2↗3﹣2ln3從上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2；（2），①當a＞2時，x∈（0，2）∪（a，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，a）時，f′（x）＜0，∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調減區(qū)間為（2，a）；②當a=2時，∵，∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；③當0＜a＜2時，x∈（0，a）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（a，2）時，f′（x）＜0，∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調減區(qū)間為（a，2）；綜上，當a＞2時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調減區(qū)間為（2，a）；當a=2時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；當0＜a＜2時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調減區(qū)間為（a，2）．21.（本小題12分）設函數(shù)

（I）若；

（II）如果的取值范圍。參考答案：（I）當由得

，

（i）時，不等式化為不等式組的解集為

（ii）當時，不等式化為，不可能成立。不等式組的解集為22.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直線l1過定點A（1，0），且與圓C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x+y﹣2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．參考答案：【考點】圓的標準方程；圓的切線方程．【專題】計算題．【分析】（I）由直線l1過定點A（1，0），故可以設出直線的點斜式方程，然后根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k值即可，但要注意先討論斜率不存在的情況，以免漏解．（II）圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x+y﹣2=0上，且與圓C外切，則設圓心D（a，2﹣a），進而根據(jù)兩圓外切，則圓心距等于半徑和，構造出關于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意．（1分）②若直線l1斜率存在，設直線l1為y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即（4分）解之得．所求直線方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（5分）（Ⅱ）依題意設D（