【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時(shí)作業(yè)：第三章-第八節(jié)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十三)一、選擇題1.某水庫(kù)大壩的外斜坡的坡度為QUOTE,則坡角α的正弦值為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE2.(2021·太原模擬)如圖,D,C,B三點(diǎn)在地面同始終線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β,α(α<β),則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=QUOTE,則S△ABC等于()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)24.(2021·咸陽(yáng)模擬)如圖所示,在山底A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000米到達(dá)S點(diǎn),又測(cè)得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為()(A)500QUOTEm (B)200m (C)1000QUOTEm (D)1000m5.(2021·榆林模擬)如圖,一貨輪航行到M處,測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與貨輪相距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行,30分鐘后又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪航行的速度為()(A)20(QUOTE+QUOTE)海里/小時(shí)(B)20(QUOTE-QUOTE)海里/小時(shí)(C)20(QUOTE+QUOTE)海里/小時(shí)(D)20(QUOTE-QUOTE)海里/小時(shí)6.從某電視塔的正東方向的A處,測(cè)得塔頂仰角是60°,從電視塔的西偏南30°的B處,測(cè)得塔頂仰角為45°,A,B間距離是35m,則此電視塔的高度是()(A)5QUOTEm (B)10m(C)QUOTEm (D)35m二、填空題7.(2021·延安模擬)在△ABC中,A=60°,AC=8,S△ABC=4QUOTE,則BC=.8.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水面上,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距m.9.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向上,之后它連續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,且與燈塔S相距8QUOTEnmile.此船的航速是32nmile/h,則燈塔S對(duì)于點(diǎn)B的方向角是.三、解答題10.(2021·宜春模擬)在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=QUOTE.(1)求sinA的值.(2)設(shè)AC=QUOTE,求△ABC的面積.11.如圖,某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向,從城A動(dòng)身有一條走向?yàn)槟掀珫|40°的大路,在C處觀測(cè)到距離C處31km的大路上的B處有一輛汽車正沿大路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達(dá)D處,測(cè)得C,D兩處的距離為21km,這時(shí)此車距離A城多少千米?12.(力氣挑戰(zhàn)題)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇動(dòng)身時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若期望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說(shuō)明理由.答案解析1.【思路點(diǎn)撥】坡角的正切值是坡度,故利用此關(guān)系可解.【解析】選B.由tanα=QUOTE,得QUOTEsinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=QUOTE.2.【解析】選A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE,故AB=AC·sinβ=QUOTE.3.【思路點(diǎn)撥】由角A,B,C依次成等差數(shù)列可得B,由正弦定理得A,從而得C,再用面積公式求解即可.【解析】選C.∵角A,B,C依次成等差數(shù)列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=QUOTE,∴QUOTE=QUOTE,∴sinA=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.又∵a<b,∴A<B,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.【變式備選】在△ABC中三條邊a,b,c成等比數(shù)列,且b=QUOTE,B=QUOTE,則△ABC的面積為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE【解析】選C.由已知可得b2=ac,又b=QUOTE,則ac=3,又B=QUOTE,∴S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×3×QUOTE=QUOTE.4.【解析】選D.∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,在△ABS中,AB=QUOTE=QUOTE=1000QUOTE,∴BC=AB·sin45°=1000QUOTE×QUOTE=1000(m).5.【解析】選B.由題意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS中利用正弦定理可得,QUOTE=QUOTE,∴MN=QUOTE=10(QUOTE-QUOTE)(海里),∴貨輪航行的速度v=QUOTE=20(QUOTE-QUOTE)(海里/小時(shí)).6.【思路點(diǎn)撥】畫出示意圖,將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊和角,然后利用三角函數(shù)和余弦定理求解.【解析】選A.作出示意圖(如圖所示).設(shè)塔高為hm.在Rt△AOC中,tan∠OAC=QUOTE,∴OA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.在△AOB中,∠AOB=150°,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即352=(QUOTE)2+h2-2×QUOTE·h·cos150°,整理得QUOTEh2=352,解得h=5QUOTE.【方法技巧】測(cè)量高度的一般思路解決高度的問(wèn)題主要是依據(jù)條件確定出所利用的三角形,精確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對(duì)應(yīng);分清已知和待求的關(guān)系,正確地選擇定理和公式,特殊留意高度垂直地面構(gòu)成的直角三角形.7.【解析】由條件知S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEbc·sin60°=QUOTEbc=4QUOTE.∴bc=16.又b=AC=8,∴c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-2×8×2cos60°=52.∴a=2QUOTE,即BC=2QUOTE.答案:2QUOTE8.【解析】如圖,OM=OAtan45°=30,ON=AOtan30°=30×QUOTE=10QUOTE,由余弦定理得MN==QUOTE=10QUOTE(m).答案:10QUOTE9.【解析】由已知可得,AB=32nmile/h×QUOTEh=16nmile,BS=8QUOTEnmile,∠BAS=30°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,∴sin∠ASB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又0°<∠ASB<180°,得∠ASB=45°或135°,若∠ASB=45°,則∠ABS=105°,此時(shí),S在點(diǎn)B的北偏東75°方向上;若∠ASB=135°,則∠ABS=15°,此時(shí),S在點(diǎn)B的南偏東15°方向上.答案:北偏東75°或南偏東15°【方法技巧】測(cè)量角度問(wèn)題的一般步驟(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.同時(shí)留意把所求量放在有關(guān)三角形中,有時(shí)直接解此三角形時(shí)條件不具備,需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.10.【解析】(1)∵在△ABC中,A,B,C∈(0,π),而sin(C-A)=1,∴C-A=QUOTE,即C=A+QUOTE,∴sinB=sin(A+C)=sin(2A+QUOTE)=cos2A=1-2sin2A=QUOTE.∴sinA=QUOTE.(2)在△ABC中,由正弦定理得:QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,得BC=3QUOTE.又由sinC=sin(A+QUOTE)=cosA=QUOTE=QUOTE,∴S△ABC=QUOTEAC·BC·sinC=QUOTE×QUOTE×3QUOTE×QUOTE=3QUOTE.11.【解析】在△BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cos∠BDC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.所以cos∠ADC=QUOTE,故sin∠ADC=QUOTE.在△ACD中,由條件知CD=21,∠BAC=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ACD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AD=QUOTE×QUOTE=15(km).所以此車距離A城15千米.12.【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)建立航行距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.第(2)問(wèn)建立速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里,則s=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故當(dāng)t=QUOTE時(shí),smin=10QUOTE(海里),此時(shí)v=QUOTE=30QUOTE(海里/時(shí)),即小艇以30QUOTE(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=40