平面向量的概念及線性運算

平面向量的概念及線性運算知識點：1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱為向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λaμa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線的判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．選擇題：給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等．則所有正確命題的序號是()A．①B．③C．①③D．①②解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))互為相反向量，故③錯誤．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析由題知結(jié)果為零向量的是①④，故選B.設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.設(shè)a0，b0分別是與a，b同向的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)0＝b0B．a(chǎn)0·b0＝1C．|a0|＋|b0|＝2D．|a0＋b0|＝2解析∵是單位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·解析對于A，當(dāng)λ＞0時，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大?。帧逜，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點P在線段AB上B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上D．點P在△ABC外部解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點P在線段AC上．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知點O為△ABC的重心，又∵O為△ABC外接圓的圓心，∴△ABC為等邊三角形，A＝60°.填空題：設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，則λ＝________解析∵ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，故λ＝2已知□ABCD的對角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析如圖，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為________解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________解析：eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，則|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________解析由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|得，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2在△ABC中，點M，N滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).解答題：在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，∴A、C、D三點共線．(2)解eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).專項能力提升設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值是()A．－2B．－1C．1D．2解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b解析連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則B的大小為()A．45°B．60°C．30°D．15°解析∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．根據(jù)正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等邊三角形，則角B＝60°設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8)D．不存在解析由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝__________(用a，b表示)解析