平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義-教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE5平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析前面已經(jīng)知道,向量的線性運(yùn)算有非常明確的幾何意義,因此利用向量運(yùn)算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系.既然向量可以進(jìn)行加減運(yùn)算,一個(gè)自然的想法是兩個(gè)向量能否做乘法運(yùn)算呢?如果能,運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該是什么呢?另外,距離和角是刻畫幾何元素(點(diǎn)、線、面)之間度量關(guān)系的基本量.我們需要一個(gè)向量運(yùn)算來(lái)反映向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量間夾角的關(guān)系.眾所周知,向量概念的引入與物理學(xué)的研究密切相關(guān),物理學(xué)家很早就知道,如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖1),那么力F所做的功圖1W=|F||s|cosθ功W是一個(gè)數(shù)量,其中既涉及“長(zhǎng)度”,也涉及“角”,而且只與向量F,s有關(guān).熟悉的數(shù)的運(yùn)算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個(gè)向量的運(yùn)算,從而引進(jìn)向量的數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cosθ.這是一個(gè)好定義,它不僅滿足人們熟悉的運(yùn)算律(如交換律、分配律等),而且還可以用它來(lái)更加簡(jiǎn)潔地表述幾何中的許多結(jié)果.向量的數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義.但與向量的線性運(yùn)算不同的是,它的運(yùn)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；掌握向量垂直的條件。2、過(guò)程與方法：通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)與物理中“功”的類比抽象出向量的數(shù)量積，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.我們前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應(yīng)用到物理中,可以使物理題解答更簡(jiǎn)捷、更清晰,并且向量知識(shí)不僅是解決物理許多問題的有利工具,而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題,可使我們對(duì)物理問題認(rèn)識(shí)更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來(lái)研究.在物理課中,我們學(xué)過(guò)功的概念,即如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W可由下式計(jì)算:W=|F||s|cosθ其中θ是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量,而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).故從力所做的功出發(fā),我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念.思路2.前面我們已學(xué)過(guò),任意的兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加減運(yùn)算,并且兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量.我們結(jié)合任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)之間可以進(jìn)行加減乘除(除數(shù)不為零)運(yùn)算,就自然地會(huì)想到,任意的兩個(gè)向量是否可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？如果能,其運(yùn)算結(jié)果是什么呢？（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么?②由所學(xué)知識(shí)可以知道,任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律,數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算,它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？③我們知道,對(duì)任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.對(duì)任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活動(dòng):已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a與b的夾角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系,并且可以知道向量夾角的范圍是0°≤θ≤180°.圖2在教師與學(xué)生一起探究的活動(dòng)中,應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意:(1)兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積;(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a·0=0;(3)符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替;(4)當(dāng)0≤θ<時(shí)cosθ>0,從而a·b>0;當(dāng)<θ≤π時(shí),cosθ<0,從而a·b<0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積的運(yùn)算律.又a·b=b·c=-a·b,即a·b=０,∴a⊥b,即⊥.綜上所述,ABCD是矩形.點(diǎn)評(píng):本題考查的是向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用,利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)垂直問題,然后結(jié)合四邊形的特點(diǎn)進(jìn)而判斷四邊形的形狀.例2已知a,b是兩個(gè)非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量b與a-b的夾角.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量減法的平行四邊形法則,畫出以a,b為鄰邊的ABCD,若=a,=b,則=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b與所成角是150°.我們還可以利用數(shù)量積的運(yùn)算,得出向量b與a-b的夾角,為了鞏固數(shù)量積的有關(guān)知識(shí),我們采用另外一種角度來(lái)思考問題,教師給予必要的點(diǎn)撥和指導(dǎo),即由cos〈b,a-b〉=作為切入點(diǎn),進(jìn)行求解.解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2.∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.∴a·b=-|b|2.而b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2,①由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2,而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,∴|a-b|=3|b|.②∵cos〈b,a-b〉=代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,∴〈b,a-b〉=.點(diǎn)評(píng):本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題,解完后教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本解法進(jìn)行反思、總結(jié)、體會(huì).變式訓(xùn)練設(shè)向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且b與c的夾角為120°,求m,n的值.解:∵a⊥c,∴a·c=0.又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,即|c|2=ma·c+nb·c.∴|c|2=nb·c.由已知|c|2=16,b·c=-4,∴16=-4n.∴n=-4.從而c=ma-4b.∵b·c=|b||c|cos120°=-4,∴|b|·4·()=-4.∴|b|=2.由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2.∴ma·b-16=-4,即ma·b=12.②聯(lián)立①②得2m2=12,即m2=6.∴m=±.故