平行四邊形的證明題

戴恩教育平行四邊形的證明題一．解答題（共30小題）1．如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求證：BE=DF；（2）若M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀．2．如圖所示，?AECF的對角線相交于點O，DB經(jīng)過點O，分別與AE，CF交于B，D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．4．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF=AD．5．如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，CE∥AB，DE交AC于點O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．6．如圖，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點．求證：四邊形MFNE是平行四邊形．7．如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．求證：四邊形AECF是平行四邊形．8．在?ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE、DF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．9．如圖所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點，求證：BC=DE．10．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形．問當(dāng)P，Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？8、解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等邊三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四邊形BEDF是平行四邊形．9、解答：證明：∵E是AC的中點，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四邊形DBCE是平行四邊形．∴BC=DE．10、解答：解：設(shè)P，Q同時出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四邊形APQB是平行四邊形11、解答：證明：∵D、E、F分別是△ABC各邊的中點，根據(jù)中位線定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四邊形ADEF為平行四邊形．故AE與DF互相平分．12、解答：證明：∵?ABCD中，對角線AC交BD于點O，∴OB=OD，又∵四邊形AODE是平行四邊形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形DCOE也是平行四邊形．13、解答：證明：連接EG、GF、FH、HE，點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四邊形EGFH為平行四邊形．∴EF與GH互相平分．14、解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵MN∥AC，∴四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形．∴AC=MQAC=NP．∴MQ=NP．15、解答：證明：如答圖所示，∵點O為平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分別為OA，OC的中點，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四邊形EHFG為平行四邊形．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四邊形GEHF是平行四邊形．（2）解：仍成立．（證法同上）17、解答：（1）證明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中點，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四邊形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵AC=EF，∴平行四邊形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．18、解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中點；（2）解：連接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中點，∴DF=CD=DE=2，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等邊三角形，∴FC=DF=2．故答案為：2．19、解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形；（2）連接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等邊三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．．22、解答：解：四邊形AFED是平行四邊形．證明如下：在△BED與△BCA中，BE=BC，BD=BA（均為同一等邊三角形的邊）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA與△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．26、解答：解：（1）過點A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖，由題知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此時，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=；（3）①當(dāng)點P在線段AB上時，即時，如圖∴．②當(dāng)點P在線段BC上時，即時，如圖BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化簡得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程無實數(shù)解．③當(dāng)點P在線段CD上時，若點P在Q的右側(cè)，即6≤t≤，則有PQ=34﹣5t，＜6，舍去若點P在Q的左側(cè)，即，則有PQ=5t﹣34，，t=7.8．綜合得，滿足條件的t存在，其值分別為，t2=7.8．28、解答：解：設(shè)AB=x，則BC=18﹣x，由AB?DE=BC?DFF得：，解之x=10，所以平行