平行四邊形及特殊的平行四邊形

第頁平行四邊形及特殊的平行四邊形一．選擇題（共20小題）1．（2016?益陽）下列判斷錯誤的是（）A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B．四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C．四條邊都相等的四邊形是菱形D．兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；B、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，正確，故本選項錯誤；C、四條邊都相等的四邊形是菱形，正確，故本選項錯誤；D、兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形，錯誤，應該是菱形，故本選項正確．故選D．【點評】本題考查了正方形的判定，平行四邊形、矩形和菱形的判定，熟練掌握各四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．（2016?內(nèi)江）下列命題中，真命題是（）A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【分析】A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；B、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．【解答】解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤；故選C．【點評】本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關系．3．（2015?廣東）如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為（）A．B．2C．+1D．2+1【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF的長，即可得出正方形EFGH的周長．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分別是BC、CD的中點，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周長=4EF=4×=2；故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF的長是解決問題的關鍵．4．（2016?陜西）如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M、N是邊AD上的兩點，連接MO、NO，并分別延長交邊BC于兩點M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對B．3對C．4對D．5對【分析】可以判斷△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可對稱結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，【點評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．8．（2016?貴州）如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DH=EH，在直角△CEH中，若設CH=x，則DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CH的長．【解答】解：由題意設CH=xcm，則DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故選（B）【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱性質(zhì)：對應線段相等，對應角相等．找到相應的直角三角形，利用勾股定理求解是解決本題的關鍵．9．（2016?攀枝花）下列關于矩形的說法中正確的是（）A．對角線相等的四邊形是矩形B．矩形的對角線相等且互相平分C．對角線互相平分的四邊形是矩形D．矩形的對角線互相垂直且平分【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定定理逐個判斷即可．【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故本選項錯誤；B、矩形的對角線相等且互相平分，故本選項正確；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故本選項錯誤；D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤；故選B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定的應用，能熟記矩形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關鍵．10．（2016?廣安）下列說法：①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)②有一個角是直角的四邊形是矩形③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形④兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等⑤一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的個數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】根據(jù)三角形高的性質(zhì)、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四邊形的判定方法即可解決問題．【解答】解：①錯誤，理由：鈍角三角形有兩條高在三角形外．②錯誤，理由：有一個角是直角的四邊形是矩形不一定是矩形，有三個角是直角的四邊形是矩形．③正確，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．④錯誤，理由兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等．⑤錯誤，理由：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形有可能是等腰梯形．正確的只有③，故選A．【點評】本題考查三角形高，菱形、矩形、平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2016?蘇州）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如圖，作點D關于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點即可解決問題．【解答】解：如圖，作點D關于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最?。逥（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直線CH解析式為y=﹣x+4，∴x=3時，y=，∴點E坐標（3，）故選：B．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、軸對稱﹣最短問題、一次函數(shù)等知識，解題的關鍵是利用軸對稱找到點E位置，學會利用一次函數(shù)解決交點問題，屬于中考?？碱}型．12．（2016?雅安）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（）A．2B．C．2D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設A點關于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案..【解答】解：設BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE?DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如圖，設A點關于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等邊三角形，∵PA=PA′，∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故選D．【點評】本題主要考查軸對稱的應用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復雜的計算．13．（2016?綏化）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，則四邊形OCED的周長為（）A．4B．8C．10D．12【分析】由四邊形ABCD為矩形，得到對角線互相平分且相等，得到OD=OC，再利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形DECO為平行四邊形，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形DECO為菱形，根據(jù)AC的長求出OC的長，即可確定出其周長．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形DECO為平行四邊形，∵OD=OC，∴四邊形DECO為菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，則四邊形OCED的周長為2+2+2+2=8，故選B【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．14．（2016?威海）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）A．B．C．D．【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根據(jù)勾股定理求出答案．【解答】解：連接BF，∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，則BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故選：D．【點評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．15．（2016?舟山）如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，過點A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長是（）A．B．C．1D．【分析】過F作FH⊥AE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：過F作FH⊥AE于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3﹣DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3﹣DE，∴DE=，故選D．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．16．（2016?宜賓）如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A．4.8B．5C．6D．7.2【分析】首先連接OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面積，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF求得答案．【解答】解：連接OP，∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故選：A．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法以及掌握整體數(shù)學思想的運用是解題的關鍵．17．（2016?資陽）如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對角線均交于點O，且EG∥BC，將矩形折疊，使點C與點O重合，折痕MN恰好過點G若AB=，EF=2，∠H=120°，則DN的長為（）A．B．C．﹣D．2﹣【分析】延長EG交DC于P點，連接GC、FH，則△GCP為直角三角形，證明四邊形OGCM為菱形，則可證OC=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位線定理CM+DN=2GP，即可得出答案．【解答】解：長EG交DC于P點，連接GC、FH；如圖所示：則CP=DP=CD=，△GCP為直角三角形，∵四邊形EFGH是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，∴OG=GH?sin60°=2×=，由折疊的性質(zhì)得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG==，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM∥CG，∴四邊形OGCM為平行四邊形，∵OM=CM，∴四邊形OGCM為菱形，∴CM=OG=，根據(jù)題意得：PG是梯形MCDN的中位線，∴DN+CM=2PG=，∴DN=﹣；故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，由梯形中位線定理得出結(jié)果是解決問題的關鍵．18．（2016?臺灣）如圖，以矩形ABCD的A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于F點；再以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交AB于E點．若AD=5，CD=，則EF的長度為何？（）A．2B．3C．D．【分析】連接CE，可得出CE=CD，由矩形的性質(zhì)得到BC=AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的長，由AB﹣AF求出BF的長，由BE﹣BF求出EF的長即可．【解答】解：連接CE，則CE=CD=，BC=AD=5，∵△BCE為直角三角形，∴BE==，又∵BF=AB﹣AF=﹣5=，∴EF=BE﹣BF=﹣=2．故選A【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關鍵．19．（2016?蘭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，則四邊形OCED的面積（）A．2B．4C．4D．8【分析】連接OE，與DC交于點F，由四邊形ABCD為矩形得到對角線互相平分且相等，進而得到OD=OC，再由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ODEC為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四