2020年全國各地高考模擬試題《數(shù)列》解答題匯編(含答案解析)

全國各地高考模擬試題

《數(shù)列》解答題匯編（含答案解析）

1.（2019?河北模擬）已知數(shù)列｛。/滿足m=2且加+1=3的+足?1（吒N*）?

（1）求證：數(shù)列｛板+〃｝為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式.

（3）求數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和S〃.

2.（2019?懷化三模）設(shè)公比大于1的等比數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為S〃，旦〃]=1,,

S322

b

數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為乙，且b,』，,,二'（41）.

1

3bn.in+2

（I）求數(shù)列｛〃”｝及｛加｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)Cn=（Sn+1）（I-A-77,-1）,定義7b=0,若數(shù)列｛c“是單調(diào)遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)

入的取值范圍.

3.（2019?天津三模）已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃,a〃>0且。|43=36,。3+。4=9（。1+。2）.

（1）求數(shù)列（〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若s+1=3、求數(shù)列｛6〃｝及數(shù)列加｝的前〃項(xiàng)和力》.

（3）設(shè)c=1-----T------求｛Cn｝的前〃項(xiàng)和

n

（an+l）（an+1+l）

4.（2019?上城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛氏｝滿足b“=log2a〃，且改=加

=1.設(shè)S”為數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列｛所｝、｛仇｝的通項(xiàng)公式及s〃；

s

（2）若數(shù)列｛5｝滿足Cn二求合舟的前〃項(xiàng)和

5.（2019?6月份模擬）已知等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d（dWO）,等差數(shù)列｛歷｝的公差為2d,

設(shè)A〃，5〃分別是數(shù)列｛〃〃｝,｛仇｝的前〃項(xiàng)和，且bi=3,-2=3,45=83.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝,｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)c=b+—--，數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為S〃，證明：s<（n+1）2-

nnan*an+ln

6.（2019?江西模擬）設(shè)S為等差數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和，且。2=15,*=65.

（I）求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列｛d｝的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn=Sn-10,求數(shù)列｛跳1｝的前n項(xiàng)和R〃.

7.（2019?濱海新區(qū)模擬）已知｛0｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S”。作N"）,｛加｝是首項(xiàng)為上的

2

等比數(shù)列，且公比大于0,歷+b3=3,b4=a3-a\,S9=b8+17.

（I）求｛m｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

（II）求｛。疝2〃｝的前〃項(xiàng)和7k

8.（2019?濱海新區(qū)模擬）已知數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為s二a>2^8,n€N*,a,二8,

nn+11

設(shè)bn=an-2.

（I）證明：｛加｝是等比數(shù)列；

*.

（II）設(shè)c=（-1）n------------——，求｛Cn｝的前n項(xiàng)和Tn,若對于任意〃6N,入

n（2n+l）（2n+1+l）

2%恒成立，求人的取值范圍.

9.（2019?山東模擬）已知等差數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為S”，且滿足關(guān)于x的不等式

01、2-S27+2<。的解集為（1，2）.

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛為｝滿足二a2n+2、-1，求數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和心.

10.（2019?河南模擬）已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足2（〃+1）的-〃?！?1=0,m=4.

（1）求數(shù)列伍〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和.

11.（2019?棲霞市模擬）已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足43=2.2-1,44=7,等比數(shù)列｛加｝滿足力3+加

=2（也+枚），且b2n=2b：（nEN*）-

（1）求數(shù)列｛?｝,｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S,”若數(shù)列｛Cn｝滿足:L+：2+…3二s（n€N*），求

blb2bnn

｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為

12.（2019?葫蘆島二模）已知數(shù)列｛3｝是公比為｛加｝的正項(xiàng)等比數(shù)列，｛加｝是公差d為負(fù)數(shù)

的等差數(shù)列，滿足」.-,從+切+為=21,歷歷加=315.

a2a3al

（1）求數(shù)列｛?！ǎ墓萹與數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛族“｝的前10項(xiàng)和S10

13.(2019?合肥三模)已知數(shù)列｛.｝滿足ai=l,a〃=2a〃-i+2〃-1(〃22),數(shù)列｛晟｝滿足

bn4〃+2"+3?

(I)求證數(shù)列｛壇｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和&.

n

14.(2019?柯城區(qū)校級一模)數(shù)列僅〃｝中，/=1,an+1-an=2(nEN*)-

(I)求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式；

'1_

(2n+l)(2n+5)'摩？kT

(II)設(shè)數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S,且二1(依N*),求使

---,n=2k

.an

S2〃取最小值時(shí)〃的值.

15.(2019?四川模擬)已知數(shù)列｛0“｝的前〃項(xiàng)和為S,且滿足2$八二-an+n(n€N*>

(I)求證：數(shù)列｛a'｝為等比數(shù)列；

n2

(II)求數(shù)列｛m-1｝的前n項(xiàng)和Tn.

16.(2019?黃州區(qū)校級模擬)已知數(shù)列僅〃｝為等差數(shù)列，S〃為他〃｝的前〃項(xiàng)和，242+45=48,

55=25

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)記.=-J—，其前項(xiàng)和為。，求證：T乂

nan*an+ln3

17.(2019?河南模擬)已知S〃是等差數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和，公差d=-2,且m,g,g成

等比數(shù)列.

(I)求｛如｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)6為數(shù)列｛(-I)〃?。那啊?xiàng)和，求。

18.(2019?博望區(qū)校級模擬)已知數(shù)列｛所｝滿足：m=l,aja肝『2n-l(n€N*>數(shù)

列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為S”.

(1)求S2”；

S9n

(2)若數(shù)列b=—-2n>求數(shù)列｛氏｝前〃項(xiàng)和/”?

nn

19.(2019?聊城三模)設(shè)數(shù)列｛刖的前〃項(xiàng)和為S〃，若2%-5八二2(n€N*>

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)加=5+3)an,求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和心》.

20.（2019?東莞市模擬）設(shè)｛3｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,S〃為數(shù)列（m｝的前〃項(xiàng)和.已知S3

=13,且m+3,3s,田+5

構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求劭及S”；

（2）是否存在常數(shù)人.使得數(shù)列｛Sn+入｝是等比數(shù)列？若存在，求人的值；若不存在，請

說明理由.

21.（2019?朝陽四模）已知等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S〃，滿足S3=12,且m,s,“4成

等比數(shù)列.

（1）求如及S1；

a

S■2n

（2）設(shè)b=-.....，數(shù)列｛員｝的前〃項(xiàng)和為T〃，求

nn

22.（2019?臨川區(qū)校級模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列｛雨｝的前〃項(xiàng)和為S,滿足

2Sn+l=2a：+an（n€N*>

（I）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式：

（II）已知對于正N*,不等式…十二<時(shí)亙成立，求實(shí)數(shù)M的最小值；

S1S2S3Sn

23.（2019?黃浦區(qū)校級三模）設(shè)數(shù)列｛麗｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，若對于任意的正整數(shù)辦存在蛇N二

使得即、麗田、麗+2A成等比數(shù)列，則稱數(shù)列｛詞為“Dt型”數(shù)列.

（1）若｛〃"｝是"。1型”數(shù)列，且&二1,求Um（a[+a）+…+aQ的值；

1a34n-81'n

（2）若｛〃〃｝是“。2型”數(shù)列，且01=42=43=1,48=8,求｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和S;

（3）若3｝既是“。2型”數(shù)夕J,又是“。3型”數(shù)列，求證:數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列.

24.（2019?雙流區(qū)校級一模）已知S”為等比數(shù)列｛雨｝的前〃項(xiàng)和，其公比為0且S,S”+i,

S“+2成等差數(shù)列.

（1）求q的值；

（2）若數(shù)列｛加｝為遞增數(shù)列，b1=q,且bn+b41=1+2再第;?又?jǐn)?shù)

列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為及，求

25.（2019?丹東二模）數(shù)列｛而｝中，m=l,afl+i=an+2n+\.

（1）求｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bnZaL求數(shù)列W“｝的前〃項(xiàng)和.

26.（2019?鼓樓區(qū)校級模擬）數(shù)列｛〃“｝中，ai=l,〃〃+?！?1=筋+1,且m,。2,〃4成等比數(shù)

歹U.

（1）求人的值；

（2）求數(shù)列（〃〃｝的前〃項(xiàng)和

27.（2019?臨川區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛〃“｝中，。1=小，且a〃+i=3a”+2〃-1,b〃=a〃+“（〃WN）.

（1）判斷數(shù)列｛加｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（2）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求數(shù)列｛（7）的前2020項(xiàng)和S2020.

28.（2019?淄博三模）在公差不為0的等差數(shù)列｛〃〃｝中，m,43,〃9成公比為。3的等比數(shù)列,

a

又?jǐn)?shù)列｛加｝滿足b=2%n=2k-1>（&WN*）.

n[2n,n=2k,

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛壇）的前2〃項(xiàng)和4.

29.（2019?袁州區(qū)校級模擬）數(shù)列｛的｝為正項(xiàng)數(shù)列，S”是其前"項(xiàng)和，小=2,且對VMN*,

都有（Sn+l-Sn）（4〃+|-4〃）=2〃門2.

（1）求數(shù)列（〃〃｝的通項(xiàng)公式；

2

（2）若數(shù)列｛加｝滿足氏=——11（n+l）+l——，求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和A.

log2an-log2an+1

30.（2019?徐州模擬）在數(shù)列｛〃9中'm=0，且對任意蛇N*,a2k-baik,。2行I成等差數(shù)

歹U,其公差為成.

（1）若di=2,求碓，。3的值；

（2）若a=2攵，證明42A,a2k7,42A+2成等比數(shù)列（在N"）;

（3）若對任意/N*,a2k,O2H1,Q2k+2成等比數(shù)列，其公比為務(wù).設(shè)小#1,證明數(shù)列

｝是等差數(shù)列.

31.（2019?臨沂三模）已知數(shù)列｛。“｝滿足a尸n

11,a1HBi-an-2+2-

（1）判斷數(shù)列五門+2八｝是否為等差數(shù)列，并說明理由；

（2）記S”為數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和，求5”.

32.（2019?淄博模擬）已知等比數(shù)列（〃〃｝的前〃項(xiàng)和為Sn（nWN*）,-2S2，S3，4s4成

等差數(shù)列，且a2+2a3+&4士?

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若加=-5+2）log2|anb求數(shù)列占｝的前〃項(xiàng)和心.

33.（2019?上虞區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛板｝中，。1=4,其前〃項(xiàng)和8滿足：S

（I）求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式；

（II）令兒,數(shù)列｛岳2｝的前"項(xiàng)和為小，證明：對于任意的〃CN3都有

（）

3n-2an

Tn<&.

12

34.（2019?湖南模擬）已知等差數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為9a：二公差d>0,Si、

S4、亂6成等比數(shù)列，數(shù)歹U｛兒｝滿足logabn^lan-DlogaV^

（1）求數(shù)列伍〃｝,仍〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知C=——-——，求數(shù)歹Ij｛cn+加｝的前〃項(xiàng)和7k

nanan+l

35.（2019?新余二模）已知公差不為。的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為且S4=26,小，公,

mi成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛_1｝的前〃項(xiàng)和為￡“證明：丁<2.

73

36.（2019?合肥三模）已知等比數(shù)列｛.“｝是首項(xiàng)為1的遞減數(shù)列，且43+44=645.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=nan,求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和乙.

37.（2019?東湖區(qū)校級三模）已知數(shù)列｛“〃｝滿足m+2a2+3。3+—+〃?！?〃（〃WN*）.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式。H；

（2）令bn=anan+2（〃€N*）,Tn=b\+b2+…+b〃,求證：T.

n4

38.（2019?鏡湖區(qū)校級模擬）己知數(shù)列｛〃〃｝為遞增等差數(shù)列，且42=2,42,。4,。8成等比

數(shù)列，數(shù)列（加｝滿足加+42歷+…+?！?2〃-1.

（I）求數(shù)列｛如｝,｛氏｝的通項(xiàng)公式；

bO

（II）令5=-^,數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為。，證明：小〈衛(wèi).

n+12

39.（2019?鹽城模擬）已知數(shù)列｛的“滿足的=」^好…—L（“€N*）.

n+1n+2不

⑴求ai,02,03的值；

（2）證明：對任意的正整數(shù)〃（〃23）,0.6<on<0.7.

40.（2019?上海模擬）數(shù)列（%｝有100項(xiàng)，小=小對任意底[2,100],存在a〃=5+d,記[1,

n-1],若詼與前〃項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱以具有性質(zhì)P.

（1）若m=l,d=2,求必可能的值；

（2）若｛“〃｝不為等差數(shù)列，求證：｛〃“｝中存在具有性質(zhì)P的項(xiàng)；

（3）若｛板｝中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)P,這三項(xiàng)和為c,使用小d,。表示m+〃2+…+moo.

參考答案與試題解析

1.(2019?河北模擬)已知數(shù)列｛?。凉M足m=2且加|=3?！?2〃-1(底N*).

(1)求證：數(shù)列(〃〃+〃｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列優(yōu)〃｝的通項(xiàng)公式.

(3)求數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【分析】(1)將等式同時(shí)加八十1，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求；

(3)求得詼=3”?〃，由數(shù)列的分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可

得到所求和.

【解答】解：(1)數(shù)列滿足〃1=2且=-1,

可得an+]+n+1=3a“+3〃=3(ar+n)>

可得數(shù)列｛〃"+〃｝為首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列；

(2)?！?〃=3”,即。"=3”-〃；

(3)Sn=(3+9+―+3D-(1+2+???+〃)

n

=3(l-3).^/t(n+1)=2(3^,D

1-3222

2.(2019?懷化三模)設(shè)公比大于】的等比數(shù)列(?！ǎ那啊?xiàng)和為S”，且m=l,

322

數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為力”且b,」，bnn(n>l).

13*n+2

(I)求數(shù)列｛〃〃｝及｛仇｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)cn=(S〃+l)(1定義7b=0,若數(shù)列｛cn｝是照調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)

入的取值范圍.

【分析】(I)由SaJa]，求出夕，然后求解&二2kL利用累積法求解｛壇｝的通項(xiàng)公

J22n

式.

(II)由(I)得5「二2八一1，T,=1~求出C.二2n(W-入)，若數(shù)列｛5｝是

nnin+1nn+1

單調(diào)遞減數(shù)列，

則％+1一%=2n(\-北--)對正N*都成立，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：（I）由s，得（l+q+q）21q，即%2-54+2=0，二夕=2或q二工

32222

（舍），

所以％二2kl

T71^n-11-2^2,_nn_ln_2212

Xh二-----■-----?----------?K.----------?------..■—-------—?

n1

b%]bn_2bn_3玩n+2n+1n43(n+2)(n+1)

"bn=（n+2）（n+1）,

n

（II）由（I）得s=2-PT=11—?：?T!.=11—?

n，n+2n-ln+1

從而c=2^（」--入），若數(shù)列｛Cn｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

則Cn+i=2n（磊島"）對面T都成立，

日口421/仆一入、,42、__2------2n---------2___

即能寸入＜°入＞、菽備3,"2n+「（n+l）（n+2）—2,

n1。丁

n

可得當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，——）所以入〉工.

n+2n+1max33

3.（2019?天津三模）已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和為S〃,a“＞0且4143=36,43+a=9（〃1+〃2）.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若SR+1=3°%求數(shù)列｛兒｝及數(shù)列｛〃疝Q的前〃項(xiàng)和心》.

a

（3）設(shè)c二7---------------求｛Cn｝的前〃項(xiàng)和2.

%（an+l）（an+1+l）

【分析】（1）由（a[+a2）q2=9（ai+a2）及可得的值，由小。3=36可得m的

值，可得數(shù)列｛雨｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得S”，由Sn+1二3,可得加=〃，可得小加=2〃X3"-l由列項(xiàng)相消法可

得。的值；

（3）可得c二--------產(chǎn)―--------三（——---------1_）,可得尸”的

n（2X3n-1+l）（2X3n+l）22X3n-1+l2X3-1

值.

【解答】解：（1）由題意得：6（3+04=9（4|+。2）,可得（d+&2）q2=9（&1+'2）'"2

=9,

由?！?gt;0,可得g=3,由4143=36,可得&]&]口2二36，可得m=2.

可得an=2X3^1(nWN*)；

a(1qn)n

l-=2(3-l)

（2）由&n=2X3^1，可得Sn二=3n-h

1-q3-1

由Sjl二3"，可得3「一1+1二3勾，可得加=〃,

可得〃山”的通項(xiàng)公式：cinbn=2nX3nI

可得

2rr2n-1

[=2X30+2X2X342X3X3+-+2X(n-1)X3+2XnX3?

123n-1

3Tn=2X3+2X2X3+2X3X3+-+2X(n-1)X3+2XnX3n②

①■②得：-2及=2+2X-2XX3r'=2+3n-3-2nX3n=(1-2n)X3〃

3-1n

可得

3)由C=可得

n(an+l)(an+1+l)

rrl

2X31]1

Cnn-1n2），

~(2X3+l)(2X3+l)-2X3n-1+12X3n+l

可得：P〃=,(￡■』■/(-?十11

)

乙3IIJLy2X3n-1+l2X3n+l

=1（1____1_）=1_____1_.

232X3n+l64x3-2

4.（2019?上城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，數(shù)列仍〃｝滿足加=log2a〃，且。4=85

=1.設(shè)S”為數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝、｛氏｝的通項(xiàng)公式及S”；

S

(2)若數(shù)列｛5｝滿足'二I」nI,求｛cn｝的前〃項(xiàng)和r”.

1nnl

【分析】（1）數(shù)列｛.｝為公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和對數(shù)的運(yùn)算

性質(zhì)，可得所求;

（2）討論后7,〃28,結(jié)合錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，化簡可得所求

和.

【解答】解：（1）數(shù)列｛〃〃｝為公比為q的等比數(shù)歹小

數(shù)列｛6｝滿足bn=\o^ian,且a4=bs=1.

a尻

可得。5=2,q=—=2,

a4

4=2"？

bn=log2t?w=Iog22n4=n-4；

(2)Sn=-n(-3+〃-4)=ln(w-7),

29

S

%=l優(yōu)anl=l〃M?2”

時(shí)，￡產(chǎn)W+區(qū)+…+(7?FI)?2〃P,

88

2%=當(dāng)區(qū)+…+(7-n)-2,r4,

44

相減可得-￡=0-工-----"5-(7?〃)?2”一4

88

81-2

化簡可得7〃=(8-〃)?2〃-4?工；

2

〃28,前n項(xiàng)和￡：=◎+區(qū)+且+S+Z+2+0+l?23+2?24+…+(〃-7)*2W'5

88421

=1§.+1?23+2*24+-+(〃-7)?2"V,

2

27^=15+P24+2-25+-+(〃-7)-2n'4,

相減可得-7^=i+24+-+2zr5-(〃-7)?2廠4

2

=U6d8)_(i)?2…，

21-2

化簡可得行=21+(〃-8)?2〃一4,

2

(8-n)?211"4n<7

則6=]

~2~+(n-3')92n~^>n>8

5.(2019?6月份模擬)已知等差數(shù)列｛即｝的公差為d(dWO),等差數(shù)列｛歷｝的公差為2d,

設(shè)A〃，8〃分別是數(shù)列｛〃〃｝,｛仇｝的前〃項(xiàng)和，且bi=3,A2=3,A5=B3.

（1）求數(shù)列｛?！ǎ?｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)c=b+—-——，數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為6,證明：s<（n+1）2-

nnan*an+ln

【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到

所求通項(xiàng)公式；

（2）求得,=2n+l+J、=2n+l+4」運(yùn)用數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)相消求

nn*（n+1）nn+1

和，計(jì)算可得所求和.

【解答】解：（1）因?yàn)閿?shù)列仍”｝是等差數(shù)列，且人2=3,45=83,

所以2m+4=3,5m+104=9+8.

解得a\=d=\f

所以alt=a\+（〃-1）?d=〃，即af）=n,

bn=b\+(〃-1)?2d=2〃+l,即b〃=2〃+l.

綜上Un=Titbn=2〃+1.

（2）證明:由⑴得%二2m+忌元廣2n+l+

所以Sn=(3+5+…+2"1)+[(1卷)+,總)+~+4^^)]，

即5尸2+2"1心如+1)2焉<(?1)2.

6.（2019?江西模擬）設(shè)S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，且42=15,55=65.

（I）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為右，且r=設(shè)?10,求數(shù)列｛|加|｝的前〃項(xiàng)和R〃.

【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列5〃｝的公差為4運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方

程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求：

（II）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，求得氏，討論數(shù)列的符號，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,

計(jì)算可得所求和.

【解答】解：(【)設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為小則由或=15,55=65.

得m+d=15,5m+10d=65,

解得ai=17,d=-2,

故?！?17-2(/I-1)=-2/7+19；

2

(II)由(I)得：sn=-n+18n/.T^-n^lSn-lO*

(7,n=l

b=s、

n-2n+19,n>2

易知,當(dāng)1W/IW9時(shí),bn>0；當(dāng)〃210時(shí)，易V0,

???1°當(dāng)時(shí)，Rn=|bt|+|b21+-+|bn|=bi+bg+'--+b^-n^lSn-lO

20當(dāng)“210時(shí)，=|加|+|歷|+…+|尻|=bi+也+…+力9-（bio+b\i+,,,+bn）=

-=-,

Tn+2Tgn^18n+152

—n^+18n_10,l<n<￡

故R=｛.

nn^-18n+152,n）10

7.（2019?濱海新區(qū)模擬）已知｛z｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“（〃6N?）,｛?！ǎ鞘醉?xiàng)為上的

2

等比數(shù)列，且公比大于0,歷+加=3,加=〃3-m,S9=b?+17.

（I）求｛如｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

（II）求｛。疝2〃｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【分析】（I）設(shè)公比為4,公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公設(shè)求和公式，

解方程可得所求；

（II）求得a^b2n二（2n-l）22n-2二（2n-l）4nT,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等

比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.

【解答】解：（I）｛加｝是首項(xiàng)為上的等比數(shù)列，且公比g大于0,

2

b2+b3=3,畤S+/）=3,

解得g=2或-3（舍），

｛〃〃｝為公差為d的等差數(shù)列，

由匕4=。3-。1,可得2d=4,即d=2,

又S9=17+加,可得9a5=17+64=81,即m+8=9,即m=L

即有alt=2n-1,b“=2"-2；

2n-2n-1

（II）/b2n=（2n-l）2=（2n-l）4?

012rrl

Tn=l-4+3-4+5-4+-+(2n-l)4*

12n-1

4Tn=l-4+3-4+-+(2n-3)4+(2n-l)4^

23n-1r

-3Tn=l+2(4+4+4+-+4)-(2n-l)4

-(2n-l)4n,

(

化簡可得1n=56n-5)

7~9~■

?濱海新區(qū)模擬)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為，二

8.(2019S“sn=an+1,+2n-8,n€N*,a1,8,

設(shè)bn=an-2.

(I)證明：出“｝是等比數(shù)列;

(II)設(shè)c=(-1)n------------------——，求｛Cn｝的前n項(xiàng)和Tn,若對于任意nGN*,A

n(2n+l)(2n+1+l)

2心恒成立，求入的取值范圍.

【分析】(I)運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；

(H)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，對〃討論奇數(shù)或偶數(shù)，以及恒

成立思想，可得所求范圍.

【解答】(I)證明：Sn二&血+2n-8,n^N*,二8，

當(dāng)〃=1時(shí)，a\=S\=a2-6,672=14,

當(dāng)〃22,TIGN時(shí)，S”=a“+i+2〃-8,Sn-1=a〃+2"-10,

相減可得a“+i=2s?-2,

即a〃+i-2=2即上匚2(n)2)，

可得｛b〃｝是首項(xiàng)4=6,公比為2的等比數(shù)列；

n

(II)解：由(1)知an-2=6?2ki，BPan=3-2+2*

二()n3-2~2

所以%二(T)n

(2n+l)(2n+1+l)"(2n+l)(2n+1+l)

2n+l2"1+l

T=-(]i+；)+([+；)Y；+：)+???+(-l)八(二+「1)

n2+12^+12'+l2J+12J+12q+l2n+l2n!+l

??工二千(-1)黃丁

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，T二二T(-l)n—\—是遞減的,

n32n+1+l

此時(shí)當(dāng)〃=2時(shí)，。取最大值工，則X>—?

9/9

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，T二/T（-l）n—\—是遞增的，

n32n+1+l

此時(shí)T<工，則X>—.

n33

綜上，入的取值范圍是X>—.

9

9.（2019?山東模擬）已知等差數(shù)列｛呢｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足關(guān)于x的不等式

?x2-S2，x+2<0的解集為（'2）.

（1）求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列（岳｝滿足二a2n+2、-I求數(shù)列｛b〃｝的前〃項(xiàng)和心.

【分析】（1）利用不等式的解集.轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解通項(xiàng)公式.

（2）化簡通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和即可.

【解答】解：（1）依題意可得：設(shè)等差數(shù)列｛所｝的首項(xiàng)公差為d,

關(guān)于X的不等式a]?x2-S2?x+2<0的解集為（1，2）.

S9

貝---=1+2=3得ai=&

al

又2=2,.*.6/1=1?d=1,

al

??an=n.

（2）由題意可得。2〃=2m2,二2”，

所以bn=2n+20.-1=2n-l+2小

..=n（H2n-l）+2（l-2-）2n+1.2.

%21-2

10.（2019?河南模擬）已知數(shù)列｛“｝滿足2（72+1）an-W?n+l=0,m=4.

（1）求數(shù)列｛所｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.

【分析】（1）說明數(shù)列泮｝是以芻■二a二4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后求解通

n11

項(xiàng)公式.

（2）設(shè)數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為7；“利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.

aa

【解答】解：(1)由2(w+1)=0得?"1二2X」，

n+1n

所以數(shù)列聲｝是以立二二4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n11

于是0■二4X21rl二2rd"L所以a=n?2nH?

nn

(2)設(shè)數(shù)列｛所｝的前〃項(xiàng)和為T〃，

23nfl

MTn=lX2+2X2+3X24??,+n?20?

34n+2

2Tn=lX2+2X2+3X2%???+n?2@?

②-①得，J二-(22+23+24+???+2"l)+n?2n+2

=_4(]—2八)+口.2*2

1-211/

=4+(n-1)?2'計(jì)2

11.(2019?棲霞市模擬)已知等差數(shù)列｛“〃｝滿足43=242-1,44=7,等比數(shù)列｛加｝滿足。3+加

=2(歷+加),且b2n=2b：(nEN*>

(1)求數(shù)列｛〃〃｝,｛加｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若數(shù)列｛c“滿足:L+四+…:2二S(n€N*)，求

blb2bnn

｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為

'ai+2d=2a<+2d-l

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得I1，解得a\=\,d=2,

a4=a1+3d=7

即可求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列｛'｝滿足8+加=2(歷+84),可得歷q+歷/=2

(歷+歷/),求出公比，再根據(jù)b2n=2b：(n€N*>可得機(jī)=2b[2=biq,即可求出首

項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式，

(2)根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得5=。必〃=(2〃?1)2〃！再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可?求出前

n項(xiàng)和.

【解答】解：⑴等差數(shù)列｛Z｝滿足43=242-1，04=7,

a1+2d=2a<+2d-l

可得1,

aq=a1+3d=7

解得m=l,4=2,

???〃”=1+2(〃-1)=2n-1,

???等比數(shù)列仍〃｝滿足加+加=2（歷+64）,

，/>24+/>2夕3=2（/>2+也!42）,

即g+/=2（1+/），

:*q=2,

：b2n=2b：（n€N*）-

*.bi=2b\1=b\qy

：.b\=\

??也=2〃1

（2）由（1）可得Sn=n（l+2>-1）=￡

_21+2+???+、=Sn,

blb2bn

.?.-Sl+-^_+???+=S〃八,

blb2bn-l

兩式相減可得&=S〃?

bn

/.Cn=anbn=(2〃-1)2"I

ATn=1X2°+3X2'+3X22+-+(2n-1)2nl,

A2Tn=1X214-3X22+3X23+-+(2〃-1)2”,

兩式相減可得-%]=1+2(2〔+22+23+…+2〃I-⑵-1)2〃=1+2'2(1-2八1)-(2/;

1-2

-1)2"=1-4+2""-⑵-1)2"=?3+(3-2n)2",

n

：.Tn=3+(2〃-3)2.

12.(2019?葫蘆島二模)已知數(shù)列｛〃〃｝是公比為仍“｝的正項(xiàng)等比數(shù)列，｛加｝是公差d為負(fù)數(shù)

的等差數(shù)列，滿足上一一—,加+歷+加=21,b\b2b3=315.

a2a3al

(1)求數(shù)列｛如｝的公比q與數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛步山的前10項(xiàng)和S10

【分析】(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列｛6｝的性質(zhì)列式求得歷與公差，則數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公

式可求，再由等比數(shù)列的性質(zhì)及2--L二&求得數(shù)列｛檢)的公比q；

a2a3al

(2)設(shè)的｝的前〃項(xiàng)和為加令人20,即11?2〃20,得〃W5,求得S5,再求出網(wǎng)+|歷|+……

+|加0|的值，則答案可求.

【解答】解：(1)?..｛'｝是公差d為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列，且4+治+從=21,得3治=21,則

歷=7.

又從歷歷=315,:.(歷?d)bi(m+d)=7(7-d)(7+d)=343-7/=315,

解得：d=-2或2(舍)，

于是J_，二

a2a3a2

又｛〃〃｝是公比為q的等比數(shù)列，故」------1.一2,

&遂a4/

?*.2q2+q-1=0>q=-1(舍)或費(fèi)，

/.a=—,hn=b2+(n-2)d=l-2(M-2)=11-2〃；

2

(2)設(shè)｛》〃｝的前〃項(xiàng)和為7；?；令A(yù)20,即11-2〃20,得〃W5,

05一'5一

當(dāng)〃26時(shí),bn<Q,|加|+|岳1+...+|加。|=-加-歷-....-b\o=-(為+歷+....+加0)=

-(Tio-75)=-(0-25)=25.

ASio=5O.

13.(2019?合肥三模)已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,4〃=2Ml+2〃-1(〃22),數(shù)列｛岳｝滿足

bn=fln+2z?+3.

(I)求證數(shù)列｛加｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和Sn.

【分析】(I)利用等比數(shù)歹ij的定義結(jié)合m=l,而=2?！ā?2〃-1(〃22),加=s?+2〃+3.得

出數(shù)列｛加｝是等比數(shù)列.

(II)數(shù)列優(yōu)〃｝是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前〃項(xiàng)和S.

【解答】解：(I)證明：當(dāng)〃=1時(shí)，ai=\,故加=6.

當(dāng)時(shí)，an=2an\+2n-1,

則b〃=a“+2〃+3=2((in-i+2w-l+2〃+3=2[a〃-1+2(w-1)+3],

***hn=2hn-1,

???數(shù)列列｛為｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6,公比為2.

(II)由(I)得b〃=3X2〃，

：.an=bn-2n-3=3X2〃-2n-3,

，S”=3X(2+22+...+2?)-［5+7+....+(2〃+3)J

=3X2(2"T)_n(5+2n+3)

-2-1-2

=3X2,,+1-H2-4H-6.

n

14.(2019?柯城區(qū)校級?模)數(shù)列｛a“｝中，ai=l,an+1?an=2(nEN*),

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(1_

(2n+l)(2n+5)‘犀?及一］

(II)設(shè)數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S”，且bn=1(&WN*),求使

----,n=2k

.an

S2〃取最小值時(shí)〃的值.

n

t分析】(/)數(shù)列［4?｝中，m=l,an+1?an=2(n€N*)'可得GFI=2,解得G=2,

如+2?。田=2向，可得：亙超=2.可得數(shù)列(如｝的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公

比為2.即可得出處.

1

n=2k-l

(2n+l)(2n+5)

(