2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1課后鞏固提升打包資料

第一章_常用邏輯用語

命題

課后篇鞏固提升

1.下列語句是命題的是（）

①三角形內(nèi)角和等于180°;②2>3;③一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù);④%>2:⑤這座山真險啊!

A.??（3）B.①?@C.①②⑤D.②③⑤

庭附④中語句不能判斷真假，⑤中語句為感嘆句，不能作為命題.

2.“若sin則xN”的否命題是（）

A.若sinx〈，則x<

B.若則sinx2

C.若工<,則sinx<

D.若sinxW,則

廨桶若sinx，,則的否命題是“若sinx<,則x<”.故選A.

3.如果命題“若切<3,則,”為真命題，那么該命題的結(jié)論q可以是（）

2n<2B.w<4

C.m>2D.〃?>4

1S|B

函由集合的性質(zhì),可知帆<4的范圍要比題干中m的范圍大，所以取加<4,故選B.

4.下列命題是假命題的是（）

A.若log2X<2,則0<x<4

B.若a與b共線，則a與b的夾角為0°

C.已知各項都不為零的數(shù)列｛?。凉M足小+-2%=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列

D.點（兀,0）是函數(shù)產(chǎn)sinx圖像上一點

SUB

暖函對于A,由于此對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結(jié)果，所以是其命

題；

對于B,向量共線，夾角可能是0°或180°,所以是假命題；

對于C,將式子變形可得=2,且符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；

對于D,將點代入解析式，等號成立,所以是真命題.故選B.

5.已知不等式x+320的解集是A,則使得o￡A是假命題的a的取值范圍是（）

A.[-3,+00）B.（-3,+co）

C.S-3]D.（-OO,-3）

|^M]D

：3+320,,：A=3x2-3｝.

又：Z￡A是假命題，即/4,」〃v-3.

6能說明"在中，若sin2A=sin28則4=8”為假命題的一組A,B的值是________.

國夏]A=60°,8=30°（答案不唯一）

解析|當(dāng)A=60°,8=30°Hl,sin2A=sin120°=,sin2B=sin600=，此時sin2A=sin28,但A與3

不相等.故4=60°,8=30°.

7.命題“若xeR,則爐十(中1次十1是0恒成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為.

噩[-1,3]

姓畫由題意得AKa-l/KO,即-lgaW3.

8.分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷它們的真假.

(1)若910,則2￥+1>20;

(2)如果兩圓外切，那么兩圓圓心距等于兩圓半徑之和；

(3)在整數(shù)中，奇數(shù)不能被2整除.

假(1)逆命題:若2什1>20,則x210,是假命題.

否命題:若xvlO,則2X+1W20.是假命題.

逆否命題:若2r+lW20,則“<10.是真命題.

(2)逆命題:如果兩圓圓心距等于兩圓半徑之和，那么兩圓外切.是其命題.

否命題:如果兩圓不外切，那么兩圓圓心距不等于兩圓半徑之和.是真命題.

逆否命題:如果兩圓圓心距不等于兩圓半徑之和，那么兩圓不外切.是真命題.

(3)逆命題:在整數(shù)中,不能被2整除的數(shù)是奇數(shù).是真命題.

否命題:在整數(shù)中，不是奇數(shù)的數(shù)能被2整除.是其命題.

逆否命題:在整數(shù)中，能被2整除的數(shù)不是奇數(shù).是真命題.

9.命題”0?-233>0不成立”是真命題,求實數(shù)。的取值范圍.

解因為ar-2ax-3>0不成立，

所以or2.2ar-3W0恒成立.

(1)當(dāng)a=0時,-3W0成立.

⑵當(dāng)"0時，應(yīng)滿足解得?3WavO.

由(1)⑵得a的取值范圍為[-3,0].

第一章一常用邏輯用語

§2充分條件與必要條件

課后篇鞏固提升

1.“。二2”是“直線ax+2y=0平行于直線工+產(chǎn)1”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

窿責(zé)若a=2Mar+2>-=0即x+)，=0,與直線x+y=l平行，反之若直線ar+2y=0與x+y=\平行,

則-=-l,a=2,故選C.

2.2x2-5x-3<0的必要不充分條件可以是()

A..-<x<3B.-lcr<4

C.0<x<2D.-2<x<2

輻B

解析出"3〈0=伽+1)。-3)<0—：3,

即泊?5心3<0的充要條件是?a<3,

觀察選項發(fā)現(xiàn)I，-vx<3/是｛x|-l<x<4｝的真子集，故選B.

3.“函數(shù)4x）=cosx+"l有零點”是'0W機遼1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

嬴B

解析|令兀0=0得cosx=+1,若函數(shù)有零點，則?1W-〃?+1W1,解得0WmW2,因此“函數(shù)/（x）=cos

x+w-1有零點”是“0W〃?忘1”的必要不充分條件.

4.已知直線a,瓦平面a/,且a_La,任人則“a_Lb”是“a〃/^'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

jfgB

解析|q_La,若a〃4則a_LA因為任少,所以alb成立.而a_Lb,顯然不能推出a〃從所以2"Lb”

是％〃夕的必要不充分條件.

5.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為〃力?則2=8”成立的必要不充分條件為（）

A.sinA=cos（B-）

B.acosA-bcosB=0

C.bcosA=acosB

D.

SM|B

解析A.sin4=cos1B-）=sin8,因為A,3是三角形內(nèi)角，所以A=8,所以4:8與sinA=sinB等價,

故A錯誤；

B.flcosA-bcos8=0,則sinAcosA=sinBcos8,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=TI,即A=B或

4+8=，故B正確；

C.bcosA=acosB,則sinBcosA=sinAcos8,所以tanA=tan84=8,所以4=8與bcos

A=acosB等價，故C錯誤；

D.時,由正弦定理得，即ian4=tanB=tanCA=B=C，滿足充分性，故D錯誤.故選B.

6.《墨子?經(jīng)說上》上說:“小故，有之不必然，無之必不然.體也，若有端.大故，有之必然，若見之成

見也.”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的

（選“充分條件”“必要條件充要條件”“既不充分也不必要條件”之一填空）.

餐嵬必要條件

麗由“小故，有之不必然，無之必不然也'‘，知"小故’’是導(dǎo)致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個條件中的一

個或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要條件.

7.下列四個命題為真命題的是（填序號）.

①是"2。>26’的充要條件；

②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”的充分不必要條件;

③“函數(shù)/）=o?+Zu（x￡R）為奇函數(shù)”的充要條件是％=0”；

④“定義在R上的函數(shù)y"x）是偶函數(shù)”的必要條件是“=1”.

甥①③

豳①真，丁產(chǎn)2人在R上是增函數(shù),,>>〃=2。>24名假,當(dāng)“bW0時，愴/愴人無意義:③其直工）

是奇函數(shù)q（-x）HK）RoaF-bx+av2+bx=0^ax1=0=。=0;④假，如fix）=x1-\是偶函數(shù)，但

<1）=0,無意義.

8.分別指出下列題目中〃是夕的什么條件.

(1)p:x-2=0,^:(x-2)(x-3)=0;

(2)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形全等；

(3)p:，〃v-2,q:方程^-x-/7?=0無實根；

(4)〃:一個四邊形是矩形同:四邊形的對角線相等.

假(1)：*2=0n(x-2)(x-3)=0,而(彳-2［。-3)=0,則x=2或尸3,故不能推出工-2=0,.：〃是q的充分

不必要條件.

(2)：?兩個三角形相似不能推出兩個三角形全等，但兩個三角形全等能推出兩個三角形相

似，?:p是q的必要不充分條件.

(3)：>〃<-2=方程/*m=0無實根，而方程/正川=0無實根，則A=l+4勿<0,即機故不能

推出m<-2,/.p是q的充分不必要條件.

(4)丁矩形的對角線相等，?:png,而對角線相等的四邊形不一定是矩形(如等腰梯形)，

?：q*p、?：p是q的充分不必要條件.

9.已知p:x2-3x+2>0,^:X2+(6f-1)x-a>0(t?為常數(shù)).若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范

圍.

凰不等式r+(4?1)『4>0等價于(x+a)(x?l)>0.

當(dāng)a>-l時jv-a或4>1,即人的取值范圍為(3,-a)U(l,+uo)；當(dāng)aW-1時川vl或Q-a,即人

的取值范圍為(-oo,l)U(-4,+co).

x2-3x+2>0的解為x<l或x>2,因為〃是q的充分不必要條件，所以1Ww<2,解得

故實數(shù)a的取值范圍是{。卜2<aW-l}.

第一章—常用邏輯用語

§4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”

課后篇鞏固提升

1.己知p:2+2=5q:3>2,則下列判斷錯誤的是()

A.p或q為真，非g為假B.p且q為假，非p為真

C.p且q為假，非p為假D."且q為假,p或q為真

Me

曖畫命題p為假命題，命題q為其命題，則〃或q為真,p且q為假，非p為真，非q為假,C項錯

?口

沃.

2.若命題“p/\g”為假，則()

A.pVq為假B.g假

C.g真D.不能判斷p,q的真假

函D

解畫由于“p△4”為假，則p,q中一真一假或p,g均為假命題，因此，不能判斷pq的真假，故選D.

3.下列命題為假命題的是()

A.3是7或9的約數(shù)

B.兩非零向量平行，其所在直線平行或重合

C.菱形的對角線相等且互相垂直

D.若x2+)2=0,則x=0且y=0

園畫菱形的對角線互相垂直但不一定相等.

4.己知命題p:對任意xWR,總有用引O,q：x=l是方程x+2=0的根，則下歹]命題為真命題的是

()

A.pA(GB.(p)t\q

C.(p)A(q)0Pl\q

gS]A

涎畫因為命題〃是其命題，命題q是假命題，

所以“是真命題，所以p/\(夕)是真命題，故選A.

5.已知命題p:函數(shù)人工)=在區(qū)間(0,+oo)上是減少的;命題q:關(guān)于x的不等式。-2)2>〃?的解集為

R,若〃A(夕)是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.{/mV}B.{mI/?iCO或m>}

C.0D.{mIOW/n<)

族|D

畫若〃為真命題，則1-2〃00,解得,〃v.若“為其命題，則5O.因為〃A(幻是真命題,所以〃

真夕假，因此即OWmV.

6.命題“28是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)”中使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞是.

藕|或

7.命題“若x+y=2,則x2+產(chǎn)22”的否定是.

囊若x+y=2,則/+9<2

8.已知命題口:函數(shù)產(chǎn)在R上為增函數(shù)必:函數(shù)產(chǎn)2、+2/在R上為減函數(shù)，則在命題g刖

丫〃2,平：〃1八P2,0：(Pl)Vp2和內(nèi)的A(必)中，真命題是.

|答案7,夕4

暖畫由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)尸2七2孑在R上為增函數(shù)，所以命題p：為真命題，pi為假命

題;函數(shù)產(chǎn)2、+2<在區(qū)間(-8,0)上是減少的，在區(qū)間(0,+8)上是增加的，所以命題p2是假命

題，P2是真命題.所以命題9刖\//?2為真命題，伙孫八位為假命題43：(P1)V〃2為假命題,農(nóng)：〃1

A("2)為真命題.

9.分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的“pVq^p八夕”及“p”形式,并判斷真假.

(1)p:2〃-1(〃GZ)是奇數(shù),字2止1(〃6Z)是偶數(shù)；

(2)p:a2+b2<O,q:a2+b220;

(3)p:集合中的元素是確定的4集合中的元素是無序的.

覷(1)〃"夕:2〃-1(〃￡引是奇數(shù)或是偶數(shù),是真命題.

〃八4：2〃-1(/I￡Z)既是奇數(shù)又是偶數(shù)，是假命題.

p:2〃-l(〃￡Z)不是奇數(shù)，是假命題.

(2)p\/q:a2+h2<0或?qū)?力22o,是真命題

pAq:a2+b2<0且標(biāo)+6》。,是假命題

p:屋+620,是真命題

(3)〃V4：集合中的元素是確定的或是無序的，是真命題.

p/\q:集合中的元素是確定的且是無序的，是真命題.

p:集合中的元素是不確定的，是假命題.

10.已知a￡R,命題〃:八￡[1,2],。3任命題g3xWRX+2a￥-(a-2)=0.

(1)若〃是真命題，求a的最大值；

(2)若p\Jq是真命題,p/\q是假命題，求a的取值范圍.

圈(1)令久、?)二/,若命題p:Vx￡[l,2],aW/為真命題，

則aW/(X)min,

又兀t)min=l,所以aWl.

所以a的最大值為I.

(2)因為是真命題，"八g是假命題，所以p馬q一真一假.

當(dāng)q是真命題時/=4〃2-4(2-4)20,解得aW?2或

當(dāng)p是真命題,q是假命題時，有

解得-2<a<l;當(dāng)p是假命題，,是真命題時，

有解得

綜上。的取值范圍為(-2/)U(1,+oo).

第一章測評

(時間:120分鐘滿分:150分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.下列語句是真命題的是()

A.這是棵大樹嗎？

Bu+y+z=3

C.函數(shù)凡0K2是增函數(shù)

D.素數(shù)不一定是奇數(shù)

jfgD

廨薪|選項A和B不是命題;選項C是假命題;2是素數(shù)，但不是奇數(shù)，故D項正確.

2.下列有關(guān)命題的說法錯誤的是()

人.號=1"是“/-34+2=0”的充分不必要條件

B.命題“若/-3x+2=0,則X=1”的逆否命題為“若存1,則娉3工+2緲’

C.若命題R,使得f+x+1<0.則R,均有x2+x+120

D.若p/\q為假命題，則p、q均為假命題

g<|D

函對于A,x2-3x+2=0的解為x=l或x=2,所以“x=l”是'f-3x+2=0”的充分不必要條件,A正

確；

對于B,命題“若『-3/2=0,則x=l”的逆否命題為“若在1,則N-3A2和”,B正確；

對于C,特稱命題的否定為全稱命題,C正確；

對于D芾p'q為假命題，則pq中至少有一個為假命題,D錯誤.故選D.

3.已知命題“若34>0,則。乂“，則在命題〃的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個

數(shù)為()

A.OB.I

C.2D.3

庭畫原命題p為真,故其逆否命題為真;p的逆命題為假，故其否命題也為假，因此假命題的個數(shù)

為2.

4.已知命題p:Vx>(U+22,那么命題p為()

A.Vx>0^r+<2

B.VxW0/+v2

C.mx>0/+<2

D.3x<0,x+<2

gg]c

庭冊全稱命題的否定是特稱命題，要前雙量詞，后面否定結(jié)論，故選C.

5.對于非零向量2力；&^=0”是%〃1)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

^S|A

廨析|若a+b=O,則a=-b,所以a/7b.

若a〃b,則a+b=O不一定,成立，

所以"a+b=O”是“a//b”的充分不必要條件.

故選A.

6.設(shè)命題p:函數(shù)尸在定義域上是減函數(shù);命題g:存在實數(shù)a，￡(0,+8),當(dāng)a+b=l時,=3,以下說

法正確的是()

A.p\lq為真

B.p八4為真

C.p真q假

D.pq均為假

童D

姓畫顯然命題〃為假命題.當(dāng)a,b>^a+b=\時,=(a+b)=2+24,故不存在。力七(0,+8),使得=3,

即命題q為假命題.

7.已知兀Onmf+lXgCr)=皿，若對任意x\￡[0,3],存在心0[1,2],使得於i)2g3),則實數(shù)用的

取值范圍是()

A.

B.

C.

D.

魂A

解析|當(dāng)xW[0,3]時<x)minM°)二°?當(dāng)工￡口,2]時田(吩而11=8出=?九由於)1?會8(吩而11,得02的,所

以〃??2.故選A.

8.已知命題p:存在(1,2),使得e%>0,若p是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,e)

B.(-8,e]

C.(e2,+oo)

D.[e2,+<?)

g^|D

麗因為p是其命題，所以p是假命題，所以任意1,2),有e%W0,即。2匕又產(chǎn)己在(1,2)

上的最大值為e?,所以。2e2.

9.已知p:存在x￡R,〃*+lWO,g:任意xGR,d+/nx+l>0,若p\q為假命題,則實數(shù)m的取值范

圍為()

A.{m|m^2)

B.{m|mW?2}

C.[in\in^-2或加22}

D.{詞-2WmW2)

MA

解析|由p:存在xBRjnx2+1WO,可得〃?<0.由g:任意xeR42+mr+1)0,可得△=〃產(chǎn)-4<0,解得

-2vmv2.因為p\q為假命題，所以p馬q都是假命題.若p是假命題，則有m20;若q是假命題,

則有〃?W-2或622.故符合條件的實數(shù)m的取值范圍為m，2.

10.已知p:實數(shù)X滿足F4ov+3a2<0,其中心0同：實數(shù)x滿足/-5.1+6W0.若p是q的必要不充

分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.ll,2]B.(I,2)

C.(2,+oo)D.(0,l)

量B

解析|設(shè)A={x|xJ-4ox+3?2<0,cr>0),

8={x|/-5x+6W0},

則A={x[a<xv3a},B={x|2W#W3},

因為p是q的必要不充分條件，所以B￡A,

所以所以1<a<2.

所以實數(shù)。的取值范圍是(1,2).

11.已知函數(shù)小)-(a￡R),給出兩個命題:〃:函數(shù)/)的值域不可能是(0,+8)四:函數(shù)上)的遞增區(qū)

間可以是(-%-2].則下列命題為真命題的是()

A.pAq

B.pV(q)

C.(p)Aq

D.(P)A(q)

fgc

涎畫當(dāng)a=0時段)=的值域為(0,+oo),故命題〃為假命題;要使函數(shù)外)的遞增區(qū)間是(6,-2],只

需yua^+Zr-l的遞減區(qū)間是(-co,-2],這時只要滿足解得a=，因此命題q為真命題.故(p)/\q

為真.

12.若匕>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(3,+oo)

B.(-oo,3)

C.(4,+oo)

D.(-8,4)

^S|A

解析|若2，>a-x,即2*+x>a,設(shè)凡0=2*+x,該函數(shù)為增函數(shù)，由題意知2*+x>a成立，即網(wǎng)?。成立

能得到公>1;反之不成立,因為當(dāng)￡>1時<X)>3,所以。>3.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.使得“尸〉”成立的一個充分條件是.

gglvlo<x<J

廨麗于，故2、>,等價于x>2舄解得0<x<,

使得“2'>”成立的一個充分條件只需為集合屋l0<x</的子集即可,故答案可以為

{[0<x<J.

14.已知命題p:若。力￡R,則ab=O是a=0的充分條件，命題g:函數(shù))=的定義域是，則"pV"』p

℃P”是真命題的是.

答案p

的依題意知〃假,q真,所以“pVq”"p”是真命題.

15.函數(shù)外戶有且只有一個零點的充要條件是.

答案|cWO或a>\

畫當(dāng)x>0時/=1是函數(shù)的一個零點，要使函數(shù)有且只有一個零點，應(yīng)使函數(shù)用:)在(心⑼上沒

有零點抑-2*+4=0無解，而當(dāng)A<0時0<2》忘1,所以實數(shù)a應(yīng)滿足aWO或心I.

16.下列四個命題：

①R,x2-x+1W0”的否定；

②“若/+X-620,則x>2”的否命題；

③在△A8C中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要條件；

④“函數(shù)危)=33+e)為奇函數(shù)”的充要條件是“9=E(A￡Z)”.

其中真命題的序號是.(真命題的序號都填上)

噩①②

解析|對于①，因為Px+l=(J2+>0,所以命題FxOR4-x+l&0”為假命題，所以命題FxU

RX-x+1W0”的否定為真命題；

對于②，由好+“/二⑴以北⑵)。,解得x22或x<-3,即命題“若爐+片620,則x>2”的逆命

題為真命題，所以其否命題為真命題；

對于③，例如4=160°,此時sinAvsin1500=，所以充分性不成立，

反之，若sinA>且0°VAV180',根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可得4>30°和必要性成立，

所以在AABC中,“4>30°”是“sin4>”的充分不必要條件是假命題：

對于④，由函數(shù)<x)=tan(x+9)為奇函數(shù)可得(p=kn或s=+E(%￡Z),所以該命題為假命題.

故答案為①②.

三、解答題(本大題共6小題，需寫出演算過程與文字說明，共70分)

17.(本小題滿分10分)寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題.

⑴若a/二,則sina=cosP\

(2)已知a,b,c,d為實數(shù)，若a處,則a+c￥〃+d.

國(1)逆命題:若sina=cos.,則a/=.

否命題:若sina^cosfi.

逆否命題:若sin存cos』,則a-阱.

⑵逆命題:巳知a,b,c,d為實數(shù)，若。+分力+",則atb、cfd.

否命題:已知a,b,c,d為實數(shù)，若a=b或c=d,則a+c=b+d.

逆否命題:已知a,b,c,d為實數(shù)，若a+c=h+dMa=b或c=d.

18.(本小題滿分12分)判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.

(1)至少有一個整數(shù)，它既能被11整除,又能被9整除.

(2)任意x￡{4r>0},x+22.

(3)存在{x|xGZ),log2X>2.

凰I)命題中含有存在量詞“至少有一個“，因此是特稱命題，真命題.

(2)命題中含有全稱量詞“任意”,是全稱命題，真命題.

(3)命題中含有存在量詞“存在”,是特稱命題，其命題.

19.(本小題滿分12分)已知命題:“存在實數(shù)3-1<%<1},使等式^-x-m=0成立”是真命題.

(1)求實數(shù)機的取值集合M-

(2)設(shè)不等式(『a)(x+a-2)<0的解集為N,若x￡N是的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.

圈(1)由題意知，方程/*加=0在(11)上有解，

即機的取值范圍就為函數(shù))=爐-不在(-1,1)上的值域,易得M-.

(2)因為N是M的必要條件，所以MGN.

當(dāng)a=\時，解集N為空集，不滿足題意.

當(dāng)a>\時,a>2-a,

此時集合N={x|2?a<r〈a},

則解得a>.

當(dāng)?<1時,a〈2-a,

此時集合N={x［a<x<2-〃},

則解得av?.

綜上可知,4的取值范圍為.

20.(本小題滿分12分)已知曲線CW+y+Gr+gv+FRC+fiMQO),求曲線C在x軸上所載

的線段的長度為1的充要條件.

闞充要條件是GM尸=1.

必要性:令產(chǎn)0,則/+Gt+F=O.

設(shè)由H2為此方程的根，

若%-"2|==1,則G24尸=1.

充分性:令產(chǎn)0,則W+Gx+PR.

設(shè)方程的兩根為M/2,

則X\+X2=-G^C\X2=F.

因為G2/尸=1,

所以|XI-M|二

==1.

21.(本小題滿分12分)已知p:>2,q'Jc2-ax+5>0.

(1)若p為真，求x的取值范圍；

(2)若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

網(wǎng)(1)因為p為真，所以>2,所以<0,所以。-2)(片5)<0,

解得2<x<5,即x的取值范圍是(2,5);

(2)因為q良p的充分不必要條件，所以〃是夕的充分不必要條件，

所以p對應(yīng)的x取值集合是q對應(yīng)的x取值集合的真子集，

即對任意x￡(2,5)^-av+5>0IsAi,

所以對任意xW(2,5),a<x+,即Q+)min/￡(2,5),

又因為x+22=2,當(dāng)且僅當(dāng)x二時，等號成立，所以ae(-oo,2).

22.(本小題滿分12分)已知命題p:函數(shù)_/U)=|2x+3c|在［-1,+QO)上是增加的;命題夕:函數(shù)四)=+2

有零點.

(1)若命題p和q均為真命題,求實數(shù)c的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)c,使得p/\(4)是真命題?若存在，求出c的取值范圍;若不存在，說明理由.

解因為於)二億葉3。|二

所以式x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

又因為貝X)在［-1,+8)上是增加的，

所以-W-1,解得c2.

因為函數(shù)g(x)=+2有零點，

所以方程+2=0有實數(shù)根，

即2爐+以:+2=0有實數(shù)根，因此/-1620,

解得c>4或cW4

(1)當(dāng)命題p和夕均為真命題時，

應(yīng)有

解得c24.

所以c的取值范圍為[4,+co).

(2)存在.要使p/\(g)是其命題，應(yīng)使〃真g假，

因此有

解得Wc<4.

故存在實數(shù)c,使得pA(夕)是真命題，此時c的取值范圍為.

第二章DIERZHANG圓錐曲線與方程

S1橢圓

11橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

課后篇鞏固提升

1.設(shè)定點凡(0,-2),尸2(0,2),動點P滿足條件|PFi|+|尸川=小+(〃?>2),則點P的軌跡是()

A.橢圓

B.線段

C.不存在

D.橢圓或線段

SHA

解薪|因為，心2,所以機+>2=4,所以點P的軌跡為以Fi,B為焦點的橢圓.

2.橢圓=1的焦點坐標(biāo)是()

A.(±5,O)

B.(0,±5)

C.(0,±12)

D.(±12,0)

[^]c

因為/=〃功2=169-25=122,所以c=12.又焦點在y軸上,故焦點坐標(biāo)為(0,±12).

3.已知橢圓=1的一個焦點為(0,2),則m的值為()

A.lB.3

C.5D.8

函因為=1,橢圓的一個焦點為(0,2),

所以橢圓的焦點在y軸上，所以屋=2見按=6.

因為42=2">6=4,所以加=5.故選C.

4.己知橢圓=1上一點P到兩個焦點人尸2的距離之差為2,則APQB的形狀為()

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.等邊三角形

|^M|A

國畫不妨令|尸尸IHP尸21=2,由IPBI+I尸尸2|=8,|P川-方尸2|=2,解得|尸尸||=5,|尸尸2|=3.

又尸匹1=4,滿足IP&F+ia尸2|.|PQ匕

尸2為直角三角形.

5.已知P是橢圓=1上一點再，尸2為焦點，且NF|PB=9O°,則△PFE的面積是.

^116

函由楠圓定義知|PQ|+|PF2|=ZJ=10,①

丁/QP尸2=90°,

2222

.：|PFI|+|PF2|=|FIF2|=4C=36,②

由①②，得|P/IHPF2|=32.

ZS=|PFI||PF2|=16.

6.若橢I員1=1的焦距等于2,則根的值是.

|答案|16或14

解析|當(dāng)#有圓的焦點在X軸上時,。2=皿。2=15,

所以/二6-15,

所以2c=2=2,解得小二16;

當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，同理有2=2,

所以機=14.

7.已知橢圓的焦點是凡(-1,0),尸2(l,0),P是橢圓上的一點，若|尸國|是伊川和IPBI的等差中項，則

該橢圓的方程是__________.

■=1

姓畫由題意得2|尸|尸2|二仍尸||+|尸尸2],

所以4c=2a=4,所以。=2.

又c=l,所以hr=a1-c2=3,

故橢圓方程為=1.

X.已知橢圓e=i(〃M〉o)經(jīng)過(J,一個焦點為(,0),求橢圓c的方程.

網(wǎng)由題意得解得。=2/=1,所以橢圓。的方程是+產(chǎn)1.

9.已知產(chǎn)是橢圓4y行上的一點,R,B是橢圓的兩個焦點.

(1)當(dāng)NPPF2=60°時，求AHP尸2的面積；

(2)當(dāng)NQPF2為鈍角時，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍.

敏1)由橢圓的定義，

得IPQI+IP尸21=4,①

且尸i(-,0),尸2(,0).

在AQP尸2中,由余弦定理得用產(chǎn)2口引PBF+IP尸2|2-2|PBHP尸21cos60°.②

由①②得

|PF1I|PF2|=.

所以|PFiHPp2|sinNFiP&=.

(2)設(shè)點尸Sy),由已知NF7尸2為鈍角，得<0,即(x+j)G-,y)vO,

又產(chǎn)=1、所以/<2,

解得YX<,

所以點P橫坐標(biāo)的取值范圍是(-).

第二章?圓錐曲線與方程

01橢圓

1.2橢圓的簡單性質(zhì)

課后篇鞏固提升

A組

1.下面是關(guān)于曲線4爐=12?3尸對稱性的一些敘述：

①關(guān)了人軸對稱;②關(guān)丁)?軸對稱;③關(guān)于原點對稱;④關(guān)于直線yf對稱.其中正確敘述的個數(shù)

為()

A.lB.2C.3D.4

解畫曲線方程4/=12-3)2可化為=1,故該曲線為焦點在)，軸上的橢圓，由橢圓的性質(zhì)，知該曲線

關(guān)于x軸、y軸、原點對稱，將曲線方程中的x換成y,y換成x,得=1,與原曲線方程不同，故該

曲線不關(guān)于直線)對稱.

2.若點A(1,M在橢圓的內(nèi)部則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-)

B.(-)

C.(-00,-)U(+oo)

D.(-)

國明由題意知,<1,解得〃?wU,

故選B.

3.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為尸(1,0),離心率等于，則橢圓C的方程是()

A.=lB.=l

C.=lD=1

甌D

麗|設(shè)橢圓。的方程為=1(公>。>0),

則c=l,e=，所以a=2,b=,

所以橢圓。的方程是=1.

4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為月,尸2,過尸2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點R若△RPF2為等腰直

角三角形，則橢圓的離心率為（）

A.B.C.2-D.-1

fgD

姓明由已知伊22|=2。,?：|尸產(chǎn)1|二2。.由橢圓的定義知|「尸1|+仍尸2|=2。,即2c+2c=2a,.：e=-L

5.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明方程/-/二02/〉。房1,內(nèi)0）表示

橢圓,費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì):若從橢圓上任意一點P向長軸A8（異于A,8兩點）引垂

線,垂足為Q,則為常數(shù).據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（）

A.橢圓的離心率

B.橢圓離心率的平方

C.短軸長與長軸長的比

D.短任長與長軸長比的平方

葬D

回畫設(shè)隔圓方程為=1（心6>0）,取P為橢圓的上頂點，則Q為原點.

PQ=bXQ=BQ=a,則.

故選D.

6.設(shè)橢圓C:=l（a>b>0）的左、右焦點為Fi尸2,過戶2作x軸的垂線與C交于4B兩點,R8與y

軸交于點D若AZ）_LBB,則橢圓C的離心率等于.

H

函因為ABVx軸,所以點。為產(chǎn)港的中點，

且以冏=.

又ADVF\B,

所以依尸||二依8],

所以2a-,

所以

所以e=.

7.已知橢圓的短半軸長為1,離心率0<eW,則長軸長的取值范圍為.

尊（2,4]

麗因為OveW,

所以0</4

又因為所以O(shè)vl-,

所以一1V0,所以vl,

所以所以1<〃W2,

所以長軸長2a￡（2,4].

8.橢圓E:=l（>比>0）的離心率是，點P（0,l）在短軸C。上，且=-1,則橢圓￡的方程

為.

H=1

解畫由已知，點C,D的坐標(biāo)分別為[0,-圾（0力）.

又尸點的坐標(biāo)為（0』）,且二」,

于是解得。=2/=,

所以橢圓E方程為=1.

9.如圖所示，尸1,尸2分別為橢圓的左、右焦點,M為橢圓上一點，且時尸2，尸1尸2/加產(chǎn)1尸2=30。.

試求橢圓的離心率.

解設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為

因為MF2~LF|P2,所以△MRB為直角三角形.

又NMBF2=3O°,

所以尸2IJ尸iBkIMFil.

而由橢圓定義知|A/Fi\+\MF2\=2a,

因此|MQ|二,|M尸2I二，

所以2c二,即，

即橢圓的離心率是.

B組

1.橢圓的焦點在“軸上，長、短半軸之和為10,焦距為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.=lB.=I

C.=lD.=l

量A

解析I由題意得c=2,a+b=\0,

.:乒=（10-。）2=42_/=々2_20,

解得〃=36,抉=16,故橢圓方程為=1.

2.過橢圓=1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為（）

A.8,6B.4,3C.2,D.4,2

宣B

解畫橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦（通徑）是，

最長的弦為2。=4,最短的弦為二3,

故選B.

3.橢圓的離心率為,尸為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與尸關(guān)于直線y=x+4對稱,則橢圓

的方程為（）

A.=l

B=1

C=1或=1

D.=l或=1

^￥|c

前由題意知，得層=2房=2。2,不妨設(shè)橢圓的方程為=1（〃9>0）,楠圓上任取一點P（X（）JQ）,取焦

點”（-?））,則尸尸中點人根據(jù)條件可得+4#/>尸==-1,聯(lián)立兩式解得xo=-4jo=4-c,代入桶圓方

程解得〃=3乃=3,由此可得橢圓的方程為=1或=1,故選C.

4.已知橢圓（7:+/1的兩焦點為Q尸M點P（xo,yo）滿足Owl,則IPQI+IPBI的取值范圍

是

答案|[2,2)

解析由于0<<1,

所以點尸(沏J0)在橢圓十=1內(nèi)部，且不能與原點重合.

根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)知,|PFi|+|PF21V2。=2,且|PFi|+|PBI的最小值為點尸落在線

段Q尸2上,此時|PQI+|PBI=2.

故修尸1|+仍22|的取值范圍是[2,2).

5.如圖所示,尸2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱

坐標(biāo)等于短半軸長的，求橢圓的離心率.

解設(shè)楠圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a力,c,則焦點為Q(?c,O)、尸2(c,0),

M點的坐標(biāo)為，

則AMB尸2為直角三角形.

在RsMQ尸2中,|尸1尸2『十|M尸2|一|M尸1F,

222

即4C+Z>=|A/F1|.

而|WQ|+|M&|=b=2a,

整理得3c2=3a2-2必

又因為/=”.按，

所以3b=2a,

所以，

所以e2==l-,

所以e=.

6.在直線/*y+9=0上任取一點P,過點P以橢圓=1的焦點為焦點作橢圓.

(1)P點在何處時，所求橢圓的長軸最短？

(2)求長軸最短時的橢圓方程.

阿|PFi|+|?Bl=2a要使橢圓長軸最短，就是尸到Fi,尸2兩點的距離之和最小，因而問題轉(zhuǎn)化為

在直線/上求一點P,使|PQ|+|P尸￥為最小.

⑴如圖，連接打工尸尸2尸(3,0)尸2(3,0),作點Fi關(guān)于直線/:y=x+9的對稱點尸2’,則尸2'(-9,12),

那么與直線/的交點即為所求的點P.

易知FE'的方程為2x+y+6=0.

與直線y=x+9聯(lián)立，

得產(chǎn)(-5,4).

(2)由(1)知%=6,4=3,

2_/=36,

此時,橢圓的方程為=1.

第二章-圓錐曲線與方程

§2拋物線

21拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

課后篇鞏固提升

1.若點M(xj)滿足,則動點M的軌跡是()

A.直線B.圓

C.橢圓D.拋物線

解析|依題意，動點M到點(0,0)的距離等于其到定直線3八+4廣1-0的距離,R點(0,0)不在直線

3x+4y-l=0上，因此動點M的軌跡是拋物線.故選D.

2.若拋物線V=2px的焦點與橢圓=1的右焦點重合，則p的值為()

A.-2

B.2

C.-4

D.4

空D

廨薪|橢圓的右焦點為(2,0),

?：=2,.：p=4.

3.已知拋物線C:y2=x的焦點為F/(xojo)是C上一點JA尸|=沏,則須=()

A.4B.2

C.lD.8

ggc

廨所|如圖，匕過A作/M'J_準(zhǔn)線/,

?:\AF\=\AA%?：沏=沏+,

?：xo=l.

4.拋物線產(chǎn)加存0)的焦點到其準(zhǔn)線的距離是()

A.

B.

C.\a\

D.-

SM|B

解析I：*2p=⑷,?：〃=.

.:焦點到準(zhǔn)線的距離是.

5.一動圓的圓心在拋物線r=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓過定點()

A.(4,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(0,4)

量B

前由題意易知直線x+2=0為拋物線>2=8%的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知動圓一定過拋物線的

焦點.

6?點M到點?(-4,0)的距離比它到直線/:x-6=0的距離小2,則點M的軌跡方程為()

A.y2=16x

B./=-16x

C.y2=24x

py=-24x

族|B

髭責(zé)因為點M到點尸(40)的距離比它到直線Za-6-O的距離小2,所以將直線/;A-6-0左移2

個單位，得到直線x-4=0,即x=4.

可得點M到直線x=4的距離等于它到點(-4,0)的距離，

根據(jù)拋物線的定義,可得點M的軌跡是以點(-4,0)為焦點，以直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)

拋物線方程為y2=-2p*p>0),可得=4,得2P=16,所以拋物線的方程為即為M點的軌?跡

方程.故選B.

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點是原點O,且過點P(2,4),則該拋物

線的方程是.

|答案

曖畫由題意可設(shè)拋物線方程為)，2=2以(40),

:?點尸(2,4)在拋物線上,?：4?=4a,.：a=4.

即所求拋物線的方程為/=8x

8.在拋物線尸=12丫上，與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)是________.

gg(6，±6)

解析|拋物線的焦點為廠(3,0),準(zhǔn)線X=-3,拋訥線上的點P,滿足|PF|=9,設(shè)P(KO,加)，則

|PF|=xo+=xo+3=9,Zxo=6,Zyo=^6.

9.求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點是直線3x+4y-15=0與x軸的交點；

(2)準(zhǔn)線是x=-;

(3)焦點在X軸正半軸上,焦點到準(zhǔn)線的距離是2;

(4)焦點在x軸正半軸上，焦點到直線x=-5的距離是8.

凰1)直線與x軸的交點為(5,0),

故所求拋物線方程為爐二20尤

(2)準(zhǔn)線方程為尸

■

??，

?:p=3,開口向右，

?：拋物線方程為)2=6x

(3)由于p=2,焦點在x軸正半砧上，

?：拋物線方程為)2=4x

(4)焦點在x軸正半軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(的,0),

?：刈+5=8,

?：xo=3.

?：焦點為(3,0),即=3,p=6.

故拋物線方程為)2=12x

10.己知拋物線產(chǎn)=入的焦點是F,點P是拋物線上的動點，點A(3,2).

⑴求「4|+|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標(biāo).

(2)求點P到點B的距離與點P到直線-的距離之和的最小值.

廨［如圖，將x=3代入拋物線方程y=2x,得y=土.

:，＞2,

?：A在拋物線內(nèi)部.

設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線"=-的距離為d,

由定義知|尸A|+|P尸|二|PA|+d,當(dāng)H4_L/時,|H4|+d最小，最小值為，

即|P4|+|PF|的最小值為，

此時尸點縱坐標(biāo)為2,

代入y2=2x,得x=2..：點P坐標(biāo)為Q,2).

(2)設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線/的距離為4,由于直線x=-即為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線定義

得|P8|+d=|尸8|+|尸川2|BF|,

當(dāng)且僅當(dāng)8,尸尸三點共線時取等號，而|8F|二,

,：|P8|+d的最小值為.

第二章DIERZHANG圓錐曲線與方程

§1拋物線

2.2拋物線的簡單性質(zhì)

課后篇鞏固提升

A組

1.拋物線yr2(g0)的焦點坐標(biāo)為()

A.a>0時為Oa),a<0時為(0,-a)

B.a>0時為,a<0時為

C.(0,a)

D.

ggc

解析卜)0時yX2=4ay的焦點為(O,a);a〈O時^=4ay的焦點為(0,。),這時焦點在y軸負半軸上.故

不論。為何值,r=4ay的焦點總為(0,a),故選C.

2.已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦A8,則AB中點到x軸的最短距離為()

A.

B.

C.I

D.2

量D

解畫設(shè)AB的中點為M,焦點為尸(01).過M作準(zhǔn)線/:y=-1的垂線MN,過A作AC_L/于C,過8

作8。_1/于。，則|MN|==3,所以AB中點到x軸的最短距離為3-1=2,此時動弦A8過焦點，故

選D.

3.設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3,則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()

A.(6,+co)

B.[6,+oo)

C.(3,十oo)

D.[3,+oo)

SD

底畫/拋物線的焦點到頂點的距離為3,

?：=3,即p=6.

又拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的最小值為，

拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3,出).

4.設(shè)M(xojo)為拋物線C:.F=8y上一點，尸為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和

拋物線。的準(zhǔn)線相交，則州的取值范圍是()

A.(0,2)

B.[0,2]

C.(2,+8)

D.⑵+8)

ggc

廨橋|設(shè)圓的半徑為r,因為F(0,2)是圓心，

拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-2,

由圓與準(zhǔn)線相交知4<匚

因為點A/(xo,yo)為拋物線C:/=8y上一點，

所以二8,a

又點M(xojo)在圓x2+(j-2)2=r上，

所以十°卜2)2=戶>16,

所以8和+。0-2)2>16,印有+4刑-12>0,

解得yo>2或yo<-6,

又因為用20,所以州>2,故選C.

5.已知拋物線Cy=4x的焦點為FA為拋物線C上一點且在第一象限，以尸為圓心尸4為半徑

的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于M,N兩點，且AfM三點共線，則|AF|二()

A.2B.4

C.6D.8

噩如圖所示,

：N,尸,M三點共線，

?：4M是圓的直徑，

???ANLMNAN〃x軸,

又廣為A何的中點，且點F到準(zhǔn)線的距離為2,

?：|AN|=4,

由拋物線的定義可得HP|=|AN|=4,故選B.

6.設(shè)拋物線)2=8x的焦點為H準(zhǔn)線為LP為拋物線上一點/AJJ4為垂足.如果直線AF的斜

率為?，那么|PP|=()

A.4B.8

C.8D.16

源B

商設(shè)A(-2,y),尸(2,0),所以&F==-,

所以y=4,所以杵=4.

因為點P在拋物線上，所以=8XP,

所以孫==6.

由拋物線定義可得

\PF\=\