ch9 含有耦合電感的電路分析

第9章含有耦合電感的電路分析

9.1耦合電感的伏安關(guān)系式9.2含有耦合電感電路的分析9.3空心變壓器9.4理想變壓器的伏安關(guān)系式9.5含理想變壓器電路的分析本章內(nèi)容9.6理想變壓器的實現(xiàn)本章重點(diǎn)：

互感線圈同名端的判定

互感電壓表達(dá)式正負(fù)號的確定

有互感的電路的計算

理想變壓器返回目錄9.1耦合電感的伏安關(guān)系式當(dāng)電感線圈中的電流隨時間變化時，在線圈兩端將產(chǎn)生感應(yīng)電壓，稱為自感電壓。當(dāng)自感電壓與電流處于關(guān)聯(lián)參考方向時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，自感電壓與線圈中電流的關(guān)系可表示為：9.1.1耦合電感在實際電路中，常常遇到一些相鄰線圈的現(xiàn)象。如收音機(jī)、電視機(jī)中使用的中低頻變壓器（中周）振蕩線圈等。當(dāng)任意一個線圈中通過電流時，必然會在其自身線圈中產(chǎn)生自感磁通，同時自感磁通的一部分也必然會穿過相鄰線圈。載流線圈之間磁通相互作用的物理現(xiàn)象稱為磁耦合或互感現(xiàn)象。具有磁耦合的線圈稱為耦合電感線圈或互感線圈。如圖所示為兩個具有互感的線圈N1，N2。設(shè)線圈N1，N2中的電流分別為i1和i2，根據(jù)右手定則就可以判定電流變化產(chǎn)生的磁通方向和相互交鏈情況。電流i1產(chǎn)生穿過自身線圈的磁鏈Ψ11稱為自感磁鏈，穿過線圈N2產(chǎn)生的磁鏈Ψ21稱為互感磁鏈。同理Ψ22

也為自感磁鏈，Ψ12

也稱為互感磁鏈。每個耦合線圈中的磁鏈就等于自感磁鏈與互感磁鏈兩部分的代數(shù)和。設(shè)N1線圈中的磁鏈為Ψ1，N2線圈中的磁鏈為Ψ2，則有：如果互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，表明自感磁鏈與互感磁鏈互相增強(qiáng)，則互感磁鏈取“+”號，如果互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，表明自感磁鏈與互感磁鏈互相削弱，則互感磁鏈取“-”號。當(dāng)周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時，每一種磁鏈都與產(chǎn)生它的電流成正比。即:其中M12

、M21稱為互感系數(shù)，簡稱互感。單位為（Henry）（亨利）。當(dāng)只有兩個線圈存在耦合時，可以證明M12=M21=M，為常數(shù)。其大小表明一個線圈中的電流在另一個線圈中建立磁場的能力。M越大，能力越強(qiáng)。

兩個耦合線圈的磁鏈可表示為：

兩個耦合線圈之間的耦合緊密程度，可以用耦合系數(shù)表示，其定義為兩個線圈的互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值。即將自感磁鏈和互感磁鏈的表達(dá)式帶入上式，得

對于耦合線圈而言，每個線圈的互感磁鏈總是小于或等于自感磁鏈的，因此k≤1，則當(dāng)k=1時，稱耦合線圈為全耦合狀態(tài)，最緊密無漏磁現(xiàn)象，互感系數(shù)最大；當(dāng)k=0時，稱耦合線圈為無耦合狀態(tài)，線圈間互不影響。k的大小與線圈結(jié)構(gòu)、相對位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，即使L1、L2確定，仍可通過調(diào)整或改變其相互位置，改變互感的大小。

9.1.2耦合電感的電路模型以及伏安關(guān)系

兩個電感線圈組成耦合電感元件后，作為一個整體，必須由L1、L2、M三個參數(shù)來描述其特征。其電路模型如圖所示，其中L1L2為自感系數(shù)，M為互感系數(shù)，“●”表示同名端。aaccbbdd+

為反映互感磁鏈對線圈中磁場的增強(qiáng)或削弱作用，電路模型中引入同名端標(biāo)記方式。即兩個線圈帶有相同“●”標(biāo)記的端點(diǎn)為同名端，如（a）圖中ac、bd為同名端，ad、bc為異名端；（b）圖中ad、bc為同名端，ac、bd為異名端。aaccbbdd+利用同名端判定耦合線圈中磁場增強(qiáng)或削弱的方法如下：當(dāng)電流i1、

i2分別從同名端流進(jìn)（或流出）各自線圈時，磁場相互增強(qiáng)；當(dāng)電流i1、

i2

分別從兩個異名端流進(jìn)（或流出）各自線圈時，磁場相互減弱。兩個耦合線圈同名端可根據(jù)線圈繞向和相對位置進(jìn)行判斷，也可通過實驗方法確定。aaccbbdd+據(jù)電磁感應(yīng)定律得耦合電感的伏安關(guān)系式：

上式表明：1.兩個耦合線圈作為二端口元件，其端口電壓為自感電壓與互感電壓的代數(shù)和。2.自感電壓與本線圈電流有關(guān)，其正負(fù)號取決于各線圈本身的電壓電流是否關(guān)聯(lián)參考方向。若關(guān)聯(lián)，則為正；非關(guān)聯(lián)，則為負(fù)。3.互感電壓與另一個線圈的電流有關(guān)，其正負(fù)與互感線圈的同名端位置及各自線圈的電流方向有關(guān)。如果互感電壓“+”極性端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對同名端，互感電壓前應(yīng)取“+”號，反之應(yīng)取“-”號。例9-1如圖所示耦合線圈，寫出其端口的伏安關(guān)系式。

??L1L2+_u1+_u2i2Mi19.1.3耦合電感的相量形式

9.2含有耦合電感電路的分析

在含有耦合電感電路中，其正弦穩(wěn)態(tài)分析仍可采用相量法。但列KVL方程時要注意互感的影響。耦合電感每一個線圈上的電壓都包含自感電壓和互感電壓兩部分，即耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關(guān)，而且還與那些與之具有互感關(guān)系的支路電流有關(guān)。其伏安關(guān)系體現(xiàn)為多種不同形式。9.2.1耦合電感的串聯(lián)

據(jù)同名端相互連接關(guān)系，串聯(lián)方式分順串和反串兩種。若同一電流依次從兩個線圈同名端流入（出）或兩耦合電感線圈非同名端相接稱為順串，反之，同一電流從一個線圈同名端流入，從另一線圈同名端流出或兩耦合線圈同名端相接，稱為反串。下圖為兩個具有耦合關(guān)系的耦合電感串聯(lián)電路，M表示互感。dtdiMdtdiLu+=22dtdiMdtdiLu+=11順串使等效復(fù)阻抗加大，表明互感起增強(qiáng)作用。

反串使等效復(fù)阻抗減小，表明互感起削弱作用?；ジ胁淮笥趦蓚€自感的算術(shù)平均值。反串時的等效電感例9-2

已知耦合電感L1=16mH，L2=4mH，當(dāng)其耦合系數(shù)k=0.8時，分別求解兩電感順串和反串時的等效電感。解k=0.8

順串時

反串時

9.2.2.耦合電路的并聯(lián)

并聯(lián)連接方式也有兩種：即同名端相聯(lián)和異名端相聯(lián)。同名端相聯(lián)即兩個線圈的同名端在同一側(cè)或兩對同名端對應(yīng)相連，則稱同側(cè)并聯(lián)。異名端相聯(lián)，即兩個線圈同名端不在同一側(cè)或兩對異名端對應(yīng)相連，則稱異側(cè)并聯(lián)。如圖所示電路，（a）圖為同側(cè)并聯(lián)，（b）為異側(cè)并聯(lián)。同側(cè)并聯(lián)的等效電感

同理可得異側(cè)并聯(lián)的等效電感

同側(cè)并聯(lián)的等效電感

故互感小于兩元件自感的幾何平均值。9.3空心變壓器變壓器是電工、電子技術(shù)中常見的電器設(shè)備，是典型的互感電路實例?？招淖儔浩饔蓛蓚€耦合線圈繞在同一個非鐵磁性材料的芯柱上制成。接到電源端的線圈稱為原邊（或初級）線圈，接到負(fù)載端的線圈稱為副邊（或次級）線圈，其電路模型如圖所示。原邊（或初級）線圈所在的回路稱為原邊（或初級）回路，副邊（或次級）線圈所在回路稱為副邊（或次級）回路。變壓器就是通過磁耦合將電源能量傳遞給負(fù)載。-+-+原邊回路方程為：

副邊回路方程為：

假設(shè)原邊回路自阻抗為Z11，則

假設(shè)副邊回路自阻抗為Z22

，則

空心變壓器從電源端看進(jìn)去的輸入阻抗為：

稱為引入阻抗（或反映阻抗），其大小表明副邊的回路阻抗對原邊輸入阻抗的影響，即對原邊電流的影響程度。若副邊不接負(fù)載，即無窮大，則副邊對原邊的影響不存在。+-圖9-9空心變壓器原邊等效電路空心變壓器原邊等效電路如下圖所示。

圖9-10空心變壓器副邊等效電路空心變壓器副邊等效電路如下圖所示。等效阻抗原邊回路以激勵源形式對副邊產(chǎn)生影響。值得注意的是等效激勵源大小、極性和相位與耦合電感同名端、原副邊電流參考方向有關(guān)。例9-3如圖9-11所示變壓器電路。求解

用原、副邊等效電路進(jìn)行計算

9.4理想變壓器的伏安關(guān)系式變壓器是一種應(yīng)用廣泛的多端子磁耦合元件，初級繞組線圈從電源吸收電能并轉(zhuǎn)換為磁場能，然后再轉(zhuǎn)換成次級繞組線圈回路負(fù)載中所需電能，可完成信號或能量的傳遞，并且具備電壓變換、電流變換和阻抗變換的特性。理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是兩個耦合線圈滿足理想極限條件下的科學(xué)抽象。9.4.1理想變壓器的理想極限條件1．耦合系數(shù)k=1，即無漏磁，緊耦合。2．每個線圈的自感系數(shù)L1

、L2

無窮大。M也無窮大，但L1/L2保持不變。3．耦合線圈無損耗，不消耗能量。滿足以上三個極限條件的耦合電感線圈即稱為理想變壓器。9.4.2理想變壓器的電路模型及伏安關(guān)系N1、N2分別為原邊和副邊線圈的匝數(shù)，n=N1/N2

稱為變比，是初級線圈匝數(shù)與次級線圈匝數(shù)比。1．電壓變換

在圖示關(guān)聯(lián)參考方向下，若u1

、u2參考方向的“+”極性端都分別設(shè)在同名端（即相對于同名端相同時）：電壓比等于匝數(shù)比。若N1>N2

，則u1>u2為降壓變壓器；若N1<

N2

，則u1<u2為升壓變壓器。若u1

、u2

參考方向的“+”極性端分別設(shè)在異名端（即相對于同名端相反時）：注意：在進(jìn)行變壓計算時，選用哪一個公式，取決于兩電壓參考方向與同名端的位置關(guān)系，與兩個線圈中的電流參考方向無關(guān)。

2．電流變換

圖示i1和i2的參考方向都流入同名端，則

若i1和i2的參考方向都流出同名端，上式仍然成立。即i1和i2參考方向相對于同名端相同（反）時，匝數(shù)比倒數(shù)取負(fù)（正），與兩線圈上電壓方向無關(guān)。若i1和i2參考方向一個從同名端進(jìn)入一個從同名端流出，則

公式表明電流比為匝數(shù)比的倒數(shù)，選用哪一個公式取決于兩電流參考方向與同名端位置。由有理想變壓器具備不儲能也不耗能的特點(diǎn)。理想變壓器將能量由原邊全部傳輸?shù)礁边?，在傳輸過程中，僅僅將電壓、電流按變比作數(shù)值變換，屬無記憶多端元件。理想變壓器受控源電路模型如右圖所示。3．阻抗變換

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，次級線圈所接負(fù)載為復(fù)阻抗，則。其中Z11為初級的輸入阻抗，也稱次級對初級的折合阻抗。故可利用變壓器匝數(shù)比改變輸入阻抗，實現(xiàn)與電源的匹配，使負(fù)載上獲得最大功率。如在晶體收音機(jī)中把輸出變壓器接在揚(yáng)聲器和功率放大器之間，就是要使放大器得到最佳匹配，使負(fù)載上獲得最大功率。注意：（1）如果將初級阻抗折合到次級，則應(yīng)該將初級電阻除以。（2）若ZL=0，則Z11=0。說明次級短路相當(dāng)于初級短路。若ZL→∞，則Z11→∞。說明次級開路相當(dāng)于初級開路。例9-4某理想變壓器額定電壓為10000V/230V，給其接一感性負(fù)載ZL=j0.996Ω，負(fù)載額定電壓為230V.設(shè)變壓器處于額定工作，試求：（1）變壓器的變比n（2）變壓器的額定電流I1N和I2N（3）連接變壓器后匹配的阻抗Z′L

。解（1）電壓的變比（2）變壓器額定工作時

（3）連接變壓器后，根據(jù)變壓器的阻抗變換關(guān)系，可得匹配的阻抗

9.5含理想變壓器電路的分析

理想變壓器屬于線性非時變無損耗元件。能夠按照匝數(shù)比來完成初、次級回路間的電壓變換、電流變換和阻抗變換。要利用理想變壓器的端口伏安關(guān)系式求解電路中相關(guān)參數(shù)。例9-5

含理想變壓器電路如圖所示，負(fù)載RL=2Ω

，信號源內(nèi)阻RS=8Ω

，為使負(fù)載上獲得最大功率，理想變壓器的匝數(shù)比n應(yīng)為多少？解當(dāng)滿足阻抗匹配關(guān)系時，負(fù)載上可獲得最大功率。由初級等效電路

理想變壓器匝數(shù)比為2︰1例9-6

電路如圖所示，試求電壓

解1.用回路法求解2.用阻抗變換法

次級電阻在初級表現(xiàn)為

得等效初級電路如圖所示3.用戴維南定理求解原電路中在a、b兩端斷開，求其左側(cè)部分的戴維南等效電路為求得戴維南等效電路串聯(lián)電阻，可令外施電壓為零。折合電阻為9.6理想變壓器的實現(xiàn)理想變壓器是從實際變壓器中抽象出來的，實際變壓器在具備三個極限條件時就可以看成理想變壓器，其表征性能唯一的參數(shù)就是匝數(shù)比，無論什么時候，也不論其