2021年新高考專用數學押題23 統(tǒng)計案例（解答題）（解析版）

精選23統(tǒng)計案例（解答題）

1.求線性回歸方程的步驟：

（1）先求x、y的平均數H

次方__

（2）套公式求出$和6的值：$=『------------,a=y-^xx；

一元丫

i=l

（3）寫出回歸直線的方程.

2.獨立性檢驗的題目直接根據題意完成完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?，對照參數

下結論.獨立性檢驗三個步驟：

（1）根據樣本數據制成2x2列聯(lián)表；

n(ad-be)1

（2）根據公式K?=

9n=a+b+c+d,計算K?的值;

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

（3）查表比較K?與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

we#

1.2020年4月底，隨著新冠疫情防控進入常態(tài)化，為了促進消費復蘇增長，上饒市開展“五

一消費黃金周”系列活動，并發(fā)放憶元電子消費券.活動過后，我們隨機抽取了50人，對是

否使用過電子消費券進行調查，結果如下表：

年齡（單位：歲）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

抽取人數2101312103

使用過消費券的人數1913861

若以“年齡40歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數據完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把

握認為使用電子消費券與按照40歲為分界點的人的年齡有關.

年齡低于40歲的人數年齡不低于40歲的人數合計

使用過消費券的人數

沒有使用消費券的人數

合計

參考數據：

P(K2>Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K=(a+b)(L)(a+)c)(b+d)'其中-

【答案】表格見解析，有99%的把握認為使用電子消費券與按照40歲為分界點的人的年齡

有關

【解析】由以上統(tǒng)計數據填寫下面2x2列聯(lián)表，如下：

年齡低于40歲的人數年齡不低于40歲的人數合計

使用過消費券的人數231538

沒有使用消費券的人數21012

合計252550

根據公式計算K「。；器黑”

所以有99%的把握認為使用電子消費券與按照40歲為分界點的人的年齡有關.

2.萬眾矚目的第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了增強學生的冬奧

會知識，弘揚奧林匹克精神，某學校舉辦了冬奧會知識競賽，為了了解本次競賽學生成績情

況，從中抽取了部分學生的分數(得分取正整數，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為〃)

進行統(tǒng)計.作出樣本分數的莖葉圖，并按照［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］的分

組作出頻率分布直方圖，由于掃描失誤，導致部分數據丟失，可見部分如圖所示.據此解答

如下問題:

（1）求出樣本容量〃，并在頻率分布直方圖中將丟失的部分補充完整;

（2）在抽取的學生中，規(guī)定：比賽成績不低于70分為“良好”，比賽成績低于70分為“非良

好”請將下面的2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有97.5%的把握認為“比賽成績是否良好

與性別有關''?

非良好良好總計

男生20

女生25

總計

n(ad-be)2

參考公式及數據：K2n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

pgK。）0.10D.050.0250.0100.0050.001

K。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）50,答案見解析；（2）表格見解析，有97.5%的把握認為比賽成績是否良好

與性別有關.

【解析】（1）由莖葉圖知，分數在［50,60）的人數有6人，［80,90）的人數有4人,

由頻率分布直方圖得分數在［50,60）的頻率為0.012x10=0.12,

故樣本容量0，神數在—的頻率為0

,分數在［80,90）的頻率為國

s....,補全頻率分布直方圖如圖所示:

0.040

0.024

0.016

0.012

0.008

（2）比賽成績不低于70分的頻率為應

所以良好的學生人數為I國―I人.

故根據已知條件完成2x2列聯(lián)表:

非良好良好合計

男生52025

女生131225

合計183250

故有97.5%的把握認為比賽成績是否良好與性別有關.

3.根據對某商品近5個月的調查數據進行統(tǒng)計，得到該商品的月銷售單價x（單位：元/件）

與月銷售量M單位：千件）之間有如下對應關系：

1

a4568

r5643

（1）建立y關于x的回歸直線方程；

（2）根據（1）的結果，若該商品成本為3元/件，則月銷售價x為何值時（“不超過12）,月

利潤預計值最大？（結果保留兩位小數）

【答案】⑴|岡------（2）月銷售價為7.85元/件時，月利潤預計值最大.

【解析】（1）00

Q24568

B75643

回晅013

201回回

HI，所以回

臼……I，所以y關于x的回歸直線方程為何

（2）依題意得利潤回

當回時，/（幻最大,

所以月銷售價為7.85元/件時，月利潤預計值最大.

4.高三學生小明這段時間比較焦慮，下表記錄了小明高三階段前四模擬考試的數學成績:

第鄲考試1a&&

數學成績及回回回回叵1

（1）由散點圖可以推斷小明的數學成績建第鄲考試線性相關，請預測小明在第四考

試（高考）的數學成績大約為多少分？

（2）為取得更好的成績，他現(xiàn)在準備突破導數問題，現(xiàn)假定他在訓練某道解答題時發(fā)現(xiàn)有

兩種方法可以求解；第一種方法需要重獨立步驟：每個步驟解題正確的概率為國，第二

種方法需要生?獨立步驟：每個步驟解題正確的概率為厄一1，若以最終解題正確的概率高

低為決策依據，小明在解該道導數題時應選擇哪種方法？

參考公式：回歸直線方程［叵］］的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

，區(qū).

【答案】（1）回分;（2）選擇第一種方法.

［解析］（1）（0I,［s

0

則線性回歸方程為|回卜

當回~1時，|回~I,預測第強的數學成績約為國分；

（2）利用第一種方法解題正確的概率為|回

利用第二種方法解題正確的概率為I回I，

因為舊所以選擇第一種方法.

5.據我國一項專題調查顯示，北京市高級職稱知識分子中竟有高達75.3%的人處于亞健康

狀態(tài)，更令人擔憂的是85%以上的企業(yè)管理者處于慢性疲勞狀態(tài)或亞健康狀態(tài)，這是由他

們的特殊工作、生活環(huán)境和行為模式所決定的.亞健康是指非病非健康的一種臨界狀態(tài)，如

果這種狀態(tài)不能及時得到糾正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司為了解亞健康與性別

的關系，對本公司部分員工進行了不記名問卷調查.該公司處于正常工作狀態(tài)的員工（包括

管理人員）共有10000人.其中男性員工有6000人，女性員工有4000人，從10000中用分

層抽樣的方法隨機抽取了500人的樣本，以調查健康狀況.

（1）求男性員工、女性員工各抽取多少人？

（2）通過不記名問卷調杳方式，得到如下等高條形圖：

其中I區(qū)||、舊根據以上等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表;

健康亞健康總計

男員工

女員工

總計500

問能否有99%的把握認為亞健康與性別有關？

n(ad-bc)2

附：K2,n=a+b-^-c+d.

(a+6)(。+c)(c+d)(b+d)

P（K?之島）0.500.250.050.0250.010

0.4551.3213.8405.0246.635

【答案】（1）300人；200人；（2）列聯(lián)表見解析，能有99%的把握認為亞健康與性別有關.

【解析】（1）因為樣本容量與總體的比例為0

所以男性員工應抽取0人，女性員工應抽取回人;

（2）由等高條形圖可知樣本中男員工處于亞健康人數為

樣本中女員工處于亞健康人數為應

完成2x2列聯(lián)表為

健康亞健康總計

男員工24060300

女員工18020200

總計42080500

根據列聯(lián)表中的數據，得到0

因此，能有99%的把握認為亞健康與性別有關.

6.從集市上買回來的蔬菜仍存和殘留農藥，食用時需要清洗數次，統(tǒng)計表中的x表示清洗

的次數，），表示清洗1次后1千克該蔬菜殘留的農藥量（單位：微克）.

（1）在如圖的坐標系中，描出散點圖，并根據散點圖判斷，|回|與局聊

一個適宜作為清洗X次后1千克該蔬菜殘留的農藥量的回歸方程類型：（給出判斷即可不必

說明理由）

（2）根據判斷及下面表格中的數據，建立y關于x的回歸方程:

XI2345

y4.52.21.41.30.6

000

回回

嘀

().1

32100.09-8.70.9

2

表中I區(qū)卜|回

附：①線性回歸方程|回|中系數計算公式分別為a

叵

【答案】（1）散點圖見解析，0；（2）ra

【解析】（1）散點圖如圖,

回一

（2）由題知，LE

故所求的?可歸方程為國

7.某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率

分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

（1）求圖中項勺值；

（2）根據已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有宜的把握認為“晉級成功”與性別

有關？

0

（參考公式：,其中Ls------1)

舊——0.400.250.150.100.050.025

回0.7801.3232.0722.7063.8415.024

【答案】（1）|區(qū)］（2）表格見解析，有.

【解析】（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知|區(qū)］解得國

（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為|_g二_

所以晉級成功的人數為|后~|（人），填表如下:

晉級成功晉級失敗合計

男163450

女94150

合計2575100

假設“晉級成功”與性別無關，

根據上表數據代入公式可得回

所以有超過回的把握認為“晉級成功”與性別有關.

8.某學習研究機構調研數學學習成績對物理學習成績的影響，隨機抽取了100名學牛.的數

學成績和物理成績（單位：分）.

物理

合計

數學出

02418648

[^18121636

回一26816

合計343630100

（1）隨機抽取一名同學，試估計其“數學考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概

率；

（2）完成下面的2x2列聯(lián)表.

物理

|回|回合計

數學

國一

0

合計

（3）根據（2）中的數據，判斷是否有99%把握認為學生的數學成績對物理成績有影響.

眄10.0500.0100.001

k3.8416.635410.828

付尸=___________________________

（4+b）（c+d）（〃+c）（b+d）

【答案】（1）目：（2）見解析；（3）有99%把握認為學生的數學成績對物理成績有影響.

【解析】（1）數學考分不低于60分，且物理考分不低于50分的學生有：|臼

人,所以“數學考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率為0；

（2）2x2列聯(lián)表如下表所示:

物理

|回回合計

數學1

|回|回國回

|回回國

合計回

（3）由（2）中的數據，得回

所以有99%把握認為學生的數學成績對物理成績有影響.

9.垃圾是人類日常生活和生產中產生的廢棄物，由于排出量大，成分復雜多樣，且具有污

染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調杳產生的垃圾數量，采月簡單隨機抽樣的方法

抽取20個縣城進行了分析，得到樣本數據__________________,其中由1所別表示第

并計算得I

Qf縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產生總量（單位：噸）

HHH01.

，，，

（1）請用相關系數說明該組數據中建腳間的關系可用線性回歸模型進行擬合;

（2）求強于卬的線性回歸方程，用所求回歸方程預測該市10萬人口的縣城年垃圾產生總

量約為多少噸？

參考公式：相關系數對于一組具有線性相關關系的數據

其回歸直線叵的斜率和截距的最小二乘估計分別為

回一

【答案】（1）答案見解析：⑵252.5噸.

【解析】（1）由題意知，相關系數

因為些耳的相關系數接近1，所以@J聲間具有較強的線性相關關系，可用線性回歸模

型進行擬合.

（2）由題意可得,

所以0國

所以該市10萬人口的縣城年垃圾產生總量約為252.5噸.

10.機動車行經人行橫道時，應當減速慢行：遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗

稱“禮讓行人”.下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓行人''行為

統(tǒng)計數據：

違章駕駛員人數1201059580

（1）請利用所給數據求違章人數四月份生間的回歸直線方程回

（2）預測該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數;

（3）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查70人，調查駕駛員不“禮讓行人”

行為與駕齡的關系，得到下表:

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

能否據此判斷有97.5%的把握認為“禮讓行人行為與駕齡有關？

0

參考公式:,0

（其中a）

晅0.150.100.050.0250.010

垃2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】（1）向;（2）46人；（3）沒有97.5%的把握.

0

【解析】（1）由表中數據知,

所以,所以0

故所求回歸直線方程為回

（2）由（1）知，令|兇|,則血人.

（3）提出假設同:“禮讓行人''行為與駕齡無關,

由表中數據得回，

根據統(tǒng)計知，沒有97.5%的把握認為“禮讓行人行為與駕齡有關.

11.2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學生的視力情況，某校醫(yī)務室提前對本

校的高三學生視力情況進行調查，在高三年級1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢

數據，并得到如下圖的頻率分布直方圖.

年級名次

是否近視Ls-----

近視4030

不近視1020

（1）若直方圖中前四組的頻數依次成等比數列，試估計全年級高三學生視力的中位數（精

確到0.01）；

（2）該校醫(yī)務室發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習

成績是否有關系，對抽取的io。名學生名次在厄一I名和后恪的學生的體檢數據

進行了統(tǒng)計，得到表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認

為視力與學習成績有關系？

（3）在（2）中調查的不近視的學生中按照分層抽樣抽取了6人，進一步調查他們良好的護

眼習慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級名次在|國|名的概率.

舊一0.100.050.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

其中國

【解析】（1）由圖可知，第三組和第六組的頻數為I叵］I人

第五組的頻數為回~I人

所以前四組的頻數和為舊I人，

而前四組的頻數依次成等比數列，

故第一組的頻數為4人，第二組的頻數為8人，第四組的頻數為32人，

所以中位數落在第四組，設為M

因此有回（閾國------I）,

解得|區(qū)】所以中位數是4.74；

（2）因為兇，

所以回，所以|國|，

因此在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系.

（3）依題意按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了6人中年級名次七國二［名和

國|名的分別有2人和4人，

從6人中任意抽取2人的基本事件共15個，

至少有1人來自于1?100名的基本事件有9個，

所以至少有1人的年級名次在I臼I名的概率為0

12.如圖是我國2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

注：年份代碼1-7分別對應年份2014-2020.

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

卜

明;

加以證

關系數

請用相

系，

，的關

y與

擬合

模型

回歸

線性

可用

出，

圖看

折線

（I）由

處理

害化

圾無

活垃

國生

22年我

測20

,預

0.01）

確到

數精

程（系

歸方

，的回

y關于

建立

（2）

量:.

附注:

回

.

82億噸

|,1.

行一

（2）|

析；

見解

）答案

】（1

【答案

下:

由如

，理

關系

相關

的正

較強

存在

f之間

，y與

看出

線圖

）由折

】（1

【解析

0

0

0-

因為

，

0

所以

因為區(qū)I，故y與，之間存在較強的正相關關系；

回I

（2）由（1）,結合題中數據可得，0

回所以y關于/的回歸方程|回

2022年對應的t值為9,故|國],

預測2022年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸.

13.第十八屆中國國際農產品交易會于11月27日在重慶國際博覽中心開幕，我市全面推廣

“遂寧紅薯''及"遂寧鮮''農產品區(qū)域公用品牌，并組織了100家企業(yè)、1000個產品進行展示展

銷，擴大優(yōu)質特色農產品市場的占有率和影響力，提升遂寧特色農產品的社會認知度和美譽

度，讓來自世界各地的與會者和消費者更深入了解遂寧，某記者對本次農交會進行了跟蹤報

道和實際調查，對某