新高考數(shù)學題型全歸納之排列組合專題01兩個計數(shù)原理含答案及解析

專題1兩個計數(shù)原理類型一、加法原理【例1】高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名學生作代表，參加學校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種．【例2】若、是正整數(shù)，且，則以為坐標的點共有多少個？【例3】用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【例4】用數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【例5】用這個數(shù)字，可以組成____個大于，小于的數(shù)字不重復的四位數(shù)．類型二、乘法原理【例6】公園有個門，從一個門進，一個門出，共有_____種不同的走法．【例7】將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有_______．【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種．【例9】高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種．【例10】六名同學報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？【例11】六名同學參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【例12】用，，，，，組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．【例13】從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）A． B． C． D．【例14】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”共有（）A．個 B．個 C．個 D．個【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如）的方法設計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選，并且千位、百位上都能?。@樣設計出來的密碼共有（）A．個 B．個C．個 D．個【例16】從集合中，選出個數(shù)組成子集，使得這個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于，則取出這樣的子集的個數(shù)為（）A．B．C．D．【例17】若、是整數(shù)，且，，則以為坐標的不同的點共有多少個？【例18】用，，，，，這個數(shù)字：⑴可以組成______________個數(shù)字不重復的三位數(shù)．⑵可以組成______________個數(shù)字允許重復的三位數(shù)．【例19】六名同學報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？【例20】將名教師分配到所中學任教，每所中學至少一名教師，則不同的分配方案共有（）種．A． B． C． D．類型三、基本計數(shù)原理的綜合應用【例21】用，，，，排成無重復字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）【例22】若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象．則稱為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產(chǎn)生進位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）A． B． C． D．【例23】由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？【例24】分母是385的最簡真分數(shù)一共有多少個？并求它們的和．【例25】用，，，，，這個數(shù)字，可以組成_______個大于，小于的數(shù)字不重復的四位數(shù)．【例26】某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A． B． C． D．【例27】同室人各寫張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（

）A．

B．種

C．種

D．種【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）A． B． C． D．【例29】某班學生參加植樹節(jié)活動，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個樹坑內(nèi)，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共（）A．15種 B．12種 C．9種 D．6種【例30】用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【例31】足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么一個隊打14場共得19分的情況有() A．種B．種 C．種 D．種

專題1兩個計數(shù)原理類型一、加法原理【例1】高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名學生作代表，參加學校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種．【解析】．【例2】若、是正整數(shù)，且，則以為坐標的點共有多少個？【解析】．【例3】用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知本題要分類來解，當尾數(shù)為2、4、6、8時，個位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有當尾數(shù)為0時，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，共有根據(jù)分類計數(shù)原理知共有故選：．【例4】用數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知本題需要分步計數(shù)，2和4排在末位時，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法，根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有（個．故選：．【例5】用這個數(shù)字，可以組成____個大于，小于的數(shù)字不重復的四位數(shù)．【解析】分四類：=1\*GB3①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復即可，有個；=2\*GB3②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有個；=3\*GB3③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時，有個；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有個.故答案為．類型二、乘法原理【例6】公園有個門，從一個門進，一個門出，共有_____種不同的走法．【解析】根據(jù)題意，要求從從任一門進，從任一門出，則進門的方法有4種，出門的方法也有4種，則不同的走法有種【例7】將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有_______．【解析】根據(jù)題意，依次對3個小球進行討論：第一個小球可以放入任意一個盒子，即有4種不同的放法，同理第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有即不同的放法，故答案為：64．【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種．【解析】分兩步完成，第一步先安排甲學校參觀，共六種安排方法；第二步安排另外兩所學校，共有安排方法，故不同的安排種法有，故答案為120．【例9】高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種．【解析】【例10】六名同學報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？【解析】每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有不同的報名方法種．【例11】六名同學參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【解析】由題意，每項比賽的冠軍都有種可能，因為有3項體育比賽，所以冠軍獲獎者共有種可能【例12】用，，，，，組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．【解析】解析：可分三步來做這件事：第一步：先將3、5排列，共有種排法；第二步：再將4、6插空排列，插空時要滿足奇偶性不同的要求，共有種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有（種．答案為：40【例13】從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】橢圓落在矩形內(nèi)，滿足題意必須有，，所以有兩類，一類是，從，2，3，，7，任選兩個不同數(shù)字，方法有令一類是從9，10，兩個數(shù)字中選一個，從，2，3，，7，中選一個方法是：所以滿足題意的橢圓個數(shù)是：故選：．【例14】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”共有（）A．個 B．個 C．個 D．個【解析】定義域是集合的子集，且子集中至少應該含有、1中的一個和、3中的一個，滿足條件的定義有：，、，、，、，、，1，、，1，、，，、，，、，1，，，共9個．故選：．【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如）的方法設計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選，并且千位、百位上都能?。@樣設計出來的密碼共有（）A．個 B．個C．個 D．個【例16】從集合中，選出個數(shù)組成子集，使得這個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于，則取出這樣的子集的個數(shù)為（）A．B．C．D．【解析】從集合，，，，0，1，2，3，4，中，隨機選出5個數(shù)組成子集，共有種取法，即可組成個子集，記“這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1”為事件，而兩數(shù)之和為1的數(shù)組分別為，，，，，，包含的結(jié)果有①只有有一組數(shù)的和為1，有種結(jié)果②有兩組數(shù)之和為1，有種，則包含的結(jié)果共有種故答案為：．【例17】若、是整數(shù)，且，，則以為坐標的不同的點共有多少個？【解析】整數(shù)，滿足，則，，，0，1，2，，，，，，0，1，2，3，，從種選一個共有種方法，從選一個共有種方法，故有種．故答案為：．【例18】用，，，，，這個數(shù)字：⑴可以組成______________個數(shù)字不重復的三位數(shù)．⑵可以組成______________個數(shù)字允許重復的三位數(shù)．【解析】（1）根據(jù)題意，分2步分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種方法，②、在剩下的5個數(shù)字中任選2個，安排在十位、個位，有種選法，則可以組成個無重復數(shù)字的三位數(shù)（2）分3步進行分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種選法，②、再選十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則十位有6種選法，③、最后分析個位，個位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則個位有6種選法，則可以組成個數(shù)字允許重復的三位數(shù)；【例19】六名同學報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？【解析】【例20】將名教師分配到所中學任教，每所中學至少一名教師，則不同的分配方案共有（）種．A． B． C． D．【解析】將名教師分配到所中學任教，每所中學至少1名教師，只有一種結(jié)果1，2，首先從個人中選個作為一個元素，使它與其他兩個元素在一起進行排列，共有種結(jié)果，故選：．類型三、基本計數(shù)原理的綜合應用【例21】用，，，，排成無重復字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）【解析】按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：一類是首位是奇數(shù)的，有：；另一類是首位是偶數(shù)，有：則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是：．故答案為：．【例22】若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象．則稱為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產(chǎn)生進位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】如果是良數(shù)，則的個位數(shù)字只能是0，1，2，非個位數(shù)字只能是0，1，2，3（首位不為，而小于1000的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有0，1，2，共3個二位的良數(shù)個位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有個三位的良數(shù)個位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有個．綜上，小于1000的“良數(shù)”的個數(shù)為個故選：．【例23】由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？【解析】依題意，正方體的8個頂點所確定的平面有：6個表面，6個對角面，8個正三角形平面共個.故答案為：【例24】分母是385的最簡真分數(shù)一共有多少個？并求它們的和．【解析】因為，在這385個自然數(shù)中，5的倍數(shù)有（個，7的倍數(shù)有（個，11的倍數(shù)有（個，的倍數(shù)有（個，的倍數(shù)有（個，的倍數(shù)有（個，385的倍數(shù)有1個．由容斥原理知，在中能被5、7或11整除的數(shù)有（個，而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有（個．即分母為385的真分數(shù)有240（個．如果有一個真分數(shù)為，則必還有另一個真分數(shù)，即以385為分母的最簡真分數(shù)是成對出現(xiàn)的，而每一對之和恰為1．故以385為分母的240最簡分數(shù)可以分成120時，它們的和為．【例25】用，，，，，這個數(shù)字，可以組成_______個大于，小于的數(shù)字不重復的四位數(shù)．【解析】分四類：=1\*GB3①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復即可，有個；=2\*GB3②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有個；=3\*GB3③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時，有個；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有個.故答案為．【例26】某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】個號碼中不含4、7的有，“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為，故選：．【例27】同室人各寫張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（

）A．

B．種

C．種

D．種【解析】設四人分別為、、、，寫的卡片分別為、、、，由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故有三種拿法，不妨設拿了，則可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，和只能有一種拿法，所以共有種分配方式，故選：．【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果，原來的6個和剛插入的一