2021年-2022年高中數(shù)學(xué)新高考高考真題兩年合集

2021年一2022年高中數(shù)學(xué)新高考高考真題兩年合集

2022年高中數(shù)學(xué)新高考試卷一原卷與答案

2022年高中數(shù)學(xué)新高考試卷二原卷與答案

2021年高中數(shù)學(xué)新高考試卷一原卷與答案

2021年高中數(shù)學(xué)新高考試卷二原卷與答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

］若集合用={*6<4},'={卅*.1},則知1"二

4.{削03<2}B?{叫"<2}

C{R3?x<16}。啊0<16}

2.若"（1）=1，則z+Z=

A-28.TC.1D.2

3.在48c中，點D在邊AB上，30=2以記。4=/71,00=/1,則（78=

A3m-2nB.-2/n+3〃C.3m+2nD.2m+3n

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。知

該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為MS。m2；水位為海拔157.5m時，相

1

應(yīng)水面的面積為180.0七川?將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫

水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為“？?65)

93

A1.0xl0/nB.1.2X109W3G1.4X109/W3D.1.6X109/W3

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為

6.記函數(shù)I4)的最小正周期為T,若3則

)'='(")的圖像關(guān)于點I2'1中心對稱，則Uj

B.-C.-

A.122D.3

。=0.屹叫b=L=Tn0.9,

7.設(shè)9則

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為,，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36%，J1

3-Z-則該正四棱錐體積的取值范圍是

27812764

43」D.“8,27]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知正方體ABCD-A旦GA，則

A.直線3與“所成的角為9。

2

B.直線與所成的角為90

C.直線BC,與平面陰A°所成的角為45

D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45

10.已知函數(shù)/（"）="一"+1'則

A.f（x）有兩個極值點B.f（x）有三個零點

c.點（0,1）是曲線丫="力的對稱中心D.直線》=2”是曲線

尸的切線

11.己知o為坐標(biāo)原點，點A（L1）在拋物線c：*=2，y（，°）上,過點8（°，T）的直線交c于

P,Q兩點，則

A.C的準(zhǔn)線為y=~1B.直線AB與C相切

C.\OP\\O&>\OAFD\BP\\8Q|>|BAF

12.已知函”*）及其導(dǎo)函數(shù),a）的定義域均為R,記g（，）=r（x）?若I?J

屋2+”均為偶函數(shù)，則

A/（0）=0Bg卜￡l=°c/（T）=〃4）Dg（-l）=g⑵

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.卜-26

VX）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.寫出與圓/+9=1和（工一3）+（y_4）=16都相切的一條直線的方程

15.若曲線y=（"+"）〃有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍是.

3

~■十>0）,pg-

16.已知橢圓C:〃~b~C的上頂點為A,兩個焦點為心，△，離心率為2，過

且垂直于A層的直線與C交于D,E兩點，l°?=6,則4。七的周長是

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

記邑為數(shù)列｛%｝的前n項和，已知'是公差為的等差數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項公式：

111c

—+—++—<2.

（2）證明：444

18.（12分）

cos4sin28

記！ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知1+sinAl+cos28

。=~7-?

⑴若3求B；

a2+b2

⑵求c的最小值.

19.（12分）

如圖，直三棱柱ABC-44G的體積為4,!ABC,的面積為2夜.

⑴求A到平面AB。的距離；

B

4

（2）設(shè)D為A。的中點，M=A氏平面A'C，平面求二面角A-BO-C的正弦

值.

20.（12分）

一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在己患該疾病

的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時P(K2>k)0.0500.0100.001

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為

對照組），得到如下數(shù)據(jù)：K3.8416.63510.828

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（I）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣大夠良好”，B表

戶（Bl4）P（Bl可

示事件“選到的人患有該疾病“，「（同與尸（聞'）的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該

疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

P（A\B）P（A\B）

①證明：甲閭

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（4⑻J（福）的估計值，并利月（i）的結(jié)果給出R的估

計值.

n(ad-bc)一

附：，K~=

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.(12分)

x2,72

已知點A（2,1）在雙曲線C：/一/二i"上，直線/交C于P,Q兩點，直線

AP,AQ的斜率之和為0.

5

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2屁求PAQ的面積

22.（12分）

已知函數(shù)“到="9和g（"）=g1nx有相同的最小值.

⑴求a；

⑵證明：存在直線其與兩條曲線＞=〃*）和＞=g（"）共有三個不同的交

點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

6

絕密☆啟用前試卷類型：A

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)答案于解析

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號

和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

I.若集合M={x|石v4},N={x|3%Nl},則()

A.1x|0<x<21B.<x^<x<2>C.1x|3<x<161D.

1〃

<x—<x<16>

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

詳解】M={xl0<x<16),^={xlx>^),故〃riN=，

故選：D

2.若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

7

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求Z,從而可求Z+2.

[?

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=；=m=-i,故z=l+i，故z+5=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

3.在eABC中，點。在邊44上，BD=2DA.記CA=〃z,CO="，則C3=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3/n+2〃D.

2m+3〃

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因為點。在邊4B」:，加=2八4,所以應(yīng)5=2加，即CD—CB=2(C4—C。)，

所以CB二3CD-2CA=3n-2m=-2利+3n.

故選：B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水

庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔1575m時，相應(yīng)水面

的面積為180.0101?,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為(J7=2.65)()

A.1.0x109m3B.].2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺的高為=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即為樓臺的

體積V.

棱臺上底面積S=140.0km2=140xl06m2，下底面積S'=180.0km2=180xl06m2，

V=1A(S+S,+V557)=-X9X^140X106+180X1064-7140X180X1012)

8

=3x(320+60x/7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.-C.~D.一

6323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=-----=-.

213

故選：D.

6.記函數(shù)/（x）=sin（@x+伙。＞0）的最小正周期為T.若與＜?。肌?，且y=

的圖象關(guān)于點（技,2）中心對稱，則/（］）=（）

3一

A.IB.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最小正周期7滿足二乃，得二f＜上＜乃，解得2v3v3,

33co

9

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點W,2對稱，所以空口+巴=左肛&￡2,且6=2,

I2)24

125

所以----1—k、kwZ,所以刃二—?f(x)—sin—xH—I+2,

632

所以f(］)=sin；%+?)+2=1.

故選：A

7.設(shè)。=O.le°」,b=§,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-工，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定大小.

1y

【詳解】設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>T),因為/'")=-----1=------,

1+X1+X

當(dāng)xe(—l,O)時，r(x)>0,當(dāng)X￡(0,+oo)時r(x)v。，

所以函數(shù)f(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(一1,0)上單調(diào)遞增，

所以f(")v/(O)=O,所以In與一gvO,故寺>111與二一1110.9,即b>c,

1919--1-1

所以/(一一)</(0)=0,所以in—+一<0,故二<e］。，所以-!-6。<上，

10101010109

故a<〃，

l

設(shè)g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<l),則g\x)=(x+l)e+^-j-=~.，

令h(x)=ev(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x<及一1時，人'。)<0,函數(shù)力(%)=?］，一1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)應(yīng)一1<%<1時，〃'")>。，函數(shù)力。)=4角一1)+1單調(diào)遞增,

又力(0)=0,

10

所以當(dāng)0<xv近一1時，h(x)<0,

所以當(dāng)0cx</—1時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)="'+ln(17)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即Oleg>—ln0.9，所以〃>c

故選：C.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36%，且

3W/W3JL則該正四棱錐體積的取值范圍是()

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為力，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2〃，高為力，

則『=242+力2,32=2a2+(3-A)2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

I]2/4Z2If/6

所以正四極錐的體積V〃—彳x4a2x/2_qx(12_o)x”=xI4_

3333669136,

所以="y卜沖)

當(dāng)3V/W2加時，Vz>0,當(dāng)2?</W3后時，V'<0，

所以當(dāng)/=2幾時，正四棱錐的體積丫取最大值，最大值為程，

27?1

又/=3時，V=T，/=3百時，V=—,

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為七，

11

所以該正四棱錐體積的取值范圍是—.

L43J

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.已知正方體48。。一446；口，則()

A.直線8G與。A所成的角為90。B.直線BG與CR所成的角為90。

C.直線8G與平面8旦口。所成的角為45。D.直線8G與平面ABCD所成的角為

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接8。、BC,,因為。4//8C，所以直線8a與BC所成的角即為直線

3G與所成的角，

因為四邊形為正方形，則與C_L8G，故直線BG與0A所成的角為90。，A正確：

連接A。，因為4片，平面BBCC，BC]U平面BBCC，則A4_L8G，

因為BC_LBG，ABICBC=BI，所以8G_L平面AB。，

又ACu平面A與C,所以5GJ_CA，故B正確：

連接AG，設(shè)AGP)與。=。，連接8。,

12

因為_L平面AMGR，GOU平面AMGA，則GO~LB/,

因為GO_LqR,B\D、cB\B=B],所以C0_L平面BBQ。，

所以NC^。為直線BC、與平面BBQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長為1，則GO=4Z，8G=0,sinNG5O=g?=〈,

12oC)2

所以，直線BG與平面BBiRD所成的角為30,故C錯誤；

因為GC_L平面ABC。，所以NG3C為直線8G與平面ABC。所成的角，易得

ZC,BC=45,故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(x)=V—x+i,則()

A.f(x)有兩個極值點B./(工)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切

線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結(jié)合了Or)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3f-1,令小)>0得%邛或“<_冬

令尸")<0得一走<x<息,

33

所以/*)在(_曰，￥)上單調(diào)遞減，在(_8,一乎)，(理,+8)上單調(diào)遞增，

所以x=±立是極值點，故A正確；

3

因『(-*)=1+亭>0，/(y)=l-^>0./(-2)=-5<0,

13

所以，函數(shù)在上有一個零點,

當(dāng)xN點時,乎

0,即函數(shù)在+8上無零點,

綜上所述，函數(shù)f(x)有一個零點，故B錯誤;

令人(x)=d—x,該函數(shù)的定義域為R,/z(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h[x),

則6。)是奇函數(shù)，(0,0)是〃。)的對稱中心,

將〃(幻的圖象向上移動一個單位得到/(%)的圖象，

所以點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確；

令/'(刈=3*2_1=2,可得；V=_L1,又/(1)=〃_1)=1,

當(dāng)切點為(1,1)時，切線方程為y=2x—1,當(dāng)切點為(T,l)時，切線方程為y=2x+3,

故D錯誤.

故選：AC

11.己知O為坐標(biāo)原點，點A(1,D在拋物線c：f=2p)，(〃>0)上，過點5(0,—1)的直線

交C于P,Q兩點，貝iJ()

A.C的準(zhǔn)線為丁二-1B.直線AB與C相切

C.|OP|-|oe|>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BAI2

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立48與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公

式及弦長公式可判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得1=2”,所以拋物線方程為/=),,故準(zhǔn)線方程為

y=--7>A錯誤；

4

口8=上2=2,所以直線A5的方程為>=2］一1,

14

聯(lián)立<2，可得d—2x+l=0,解得x=l，故B正確；

x~=y

設(shè)過3的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為>="一1,2（斗，弘）,。*2，％），

[y=Ax-1、

聯(lián)立〈,得依+1=0，

[廠2=y

△二公-4>0

所以，x1+x2=k,所以%>2或&<一2,乂%=（工/2）2=1，

x}x2=1

又|CP|==Jy+y；，|OQI=+￡=尿+￡'

所以|OP|*|OQJ%%。十M）（l十（2）—Jgk辰2TkA2TOA|2>故C正確；

2

因為13Pl=J1+公1%i，|Bg\=y]\+k\x2\>

所以13Pl4301=（1+公）|不也上1+公>5,而|BA|2=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)〃幻及其導(dǎo)函數(shù)f（x）的定義域均為R,記g（x）=ra）,若/（|一2上

g（2+x）均為偶函數(shù),則（）

A./(0)=0B.^1--1=0C./(-1)=/(4)D.

g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

逐項判斷即可得解.

【詳解】因為gQ+幻均為偶函數(shù)，

=/f|+2xjBp/l|-xj=/(|A：

所以+g(2+x)=g(2—x),

12/

15

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則f(T)=/(4),故C正確：

3

函數(shù)/*),g(x)的圖象分別關(guān)于直線r=一,工=2對稱，

2

又g(x)=r*)，且函數(shù)，*)可導(dǎo)，

所以g-二。送(3-力=一g"),

所以g(4-x)=g(?=—g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以g一;)=g=g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確,D錯誤；

若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(幻+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定f(x)

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)

與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時結(jié)合圖象)即可得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13,，)8的展開式中*“的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】11一9)x+y)8可化為(x+y)8-?(x+y)8,結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為(i-q)(x+y)8=(x+y)8-?(x+y)8,

所以(l一工］(x+)，)8的展開式中含x2y6的項為c；x2y6一上c；dy5=一28x2y6,

kX)X

1一上］(工+y)8的展開式中_y6的系數(shù)為.28

IX)

故答案為：-28

16

14.寫出與圓爐+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程

35725

【答案】y=__x+_或丁=二元一二或x=—l

442424

【解析】

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】圓/+）,2=］的圓心為。（o,0）,半徑為1，圓（工-3）2+（尸4）2=16的圓心。|為

(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為J32+4?=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖,

433

當(dāng)切線為/時，因為％=§,所以仁=一^，設(shè)方程為丫=一日1+9>。）

“、解得所以，的方程為廣一九十H

。至的距離

444

當(dāng)切線為機(jī)時，設(shè)直線方程為"+>+〃=0,其中〃>0,左<0,

旦T7

7

?歷出1，解得.25

一

由題意《24y=X-一

25

陽+4+P」一2424

p=

Jl+F24

當(dāng)切線為〃時，易知切線方程為x=-l,

35725

故答案為：y=一一x+一或y=不X一丁或x=-l.

44'2424

17

15.若曲線y=(x+a)e'有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍是.

【答案】(y,T)u(0,+8)

【解析】

【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)與，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到

關(guān)于方的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】?.?y=(x+a)e',.?.y'=tx+l+〃)e',

設(shè)切點為(如％),則y0=(/+〃)e”,切線斜率％=(/+1+a)e*,

切線方程為：y-(％+4)e"=&+l+a)e-"(/一/o),

???切線過原點，，一($+a)e%=(^+14-6/)6^(-^),

整理得：XQ+a￥o-a=O,

???切線有兩條，????=々2+4〃>(),解得或?！祇,

:.a的取值范圍是(y,-4)D(0,+8),

故答案為：(—，―4)D(0,+8)

16.已知橢圓C:1+^=l(a>6>0),。的上頂點為4,兩個焦點為人，F(xiàn)-離心率為

ab-

18

過耳且垂直于AB的直線與。交于o,E兩點,|。七|=6,則“IDE的周長是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為二+與=1,即3/+4,，2-12/=0,根據(jù)離心

4c23c2

率得到直線AF2的斜率，進(jìn)而利月直線的垂直關(guān)系得到直線。上的斜率，寫出直線。石的

方程：”=百丁一。，代入橢圓方程3丁+4/一12。2=0,整理化簡得到：

]313

13y2-6bcy-9c2=0,利用弦長公式求得c=—,^a=2c=-f根據(jù)對稱性將^ADE

84

的周K轉(zhuǎn)化為5?DE的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a—13.

【詳解】???橢圓的離心率為《=￡=?，???〃=①，???/=/一。2=3。2,???橢圓的方程

a2

22

為」+與=1,EP3x2+4y2-12c2=0,不妨設(shè)左焦點為6,右焦點為人，如圖所示，

4c~3c~

VAF2=afOF2=C,〃=2%.?./AgO=?,???△/1丹瑪為正三角形，?.?過耳且垂直

J'-4K的直線與C交于E兩點，OE為線段AF2的垂直平分線，，直線DE的斜率為正,

3

斜率倒數(shù)為J5，直線。E1的方程：x=Gy—c,代入橢圓方程3幺+4y2-12。2=0,

整理化簡得到：13y2—6j5cy—9c2=0,

判別式?=僅6c)+4x13x9c2=62x16xc2/

???|C*J+(可|y「力|=2x^^-=2x6x4x—=6?

1313

八上得"2c=2

84

YOE為線段人馬的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,AE=EK，???上4）后的周長

等于△耳?！甑闹荛L，利用橢圓的定義得到△耳?！曛荛L為

19

周+|E周+|￡)同=|DF21+|即|+|DF、|+|Ef；|=|。用+|DF21+|班|+|%卜屈+2a=4a=13

故答案為：13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

51

17.記S”為數(shù)列｛q｝的前〃項和，已知是公差為§的等差數(shù)列.

(1)求｛叫的通項公式；

111'

(2)證明：一+—++一<2.

4〃2an

【答案】(1)」——-

〃2

(2)見解析

【解析】

S1/1、〃+2(〃+2)。

【分析】⑴利用等差數(shù)列的通項公式求得j=1+三(〃-1)=一^,得到3=^——5

an33"2

(〃+2)凡+進(jìn)而得:

利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)〃22時，a=S-S,

ltn33

a/7+1〃(〃+1),、

—n,利用累乘法求得4二」一上,檢驗對于〃=1也成立，得到｛q｝的通項公

n-12

20

式

“2

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項求和法得到'…+」-=2(1——進(jìn)而證得.

a

4a2nI〃+11

【小問1詳解】

S

*：q=1,；?￡=q=1,；?-1二21,

a\

又???2是公差為2的等差數(shù)列，

?S?."7=.1+1/(〃[7、)=n+2?..s—(〃+2)凡

“〃JJJ

???當(dāng)〃N2時，5“=5+1)%,

13

._e_o_(〃+2)4S+1)4T

..a“一~~，

整理得：("-l)a〃=(〃+l)4T，

an+l

即工n=-

*”1

a?a,an,an

/.an=67]X—i-X—X...X—^X—2-

a\a2an-2an-\

I34n/i+l小+1)

=lx—X—X...X---------X-----------=-------------,

23n-2n-12

顯然對于〃=1也成立，

???{4}的通項公式4=當(dāng)少；

【小問2詳解】

_L=2=2

an/?(/?+1)n+\)

21

18.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知——；—=-------.

1+sinA1+cos28

（1）若C=」~,求B；

3

2,2

（2）求“：”的最小值.

c

【答案】（1）~

6

⑵4^-5.

【解析】

cowAsin2R

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將-2—=--------化成

1+smA1+cos28

cos（A+B）=sinB,再結(jié)合即可求出;

212

（2）由（1）知，C=-+B,A=個一28,再利用正弦定理以及二倍角公式將2二^化

22c2

成4cos2B+一一-5,然后利用基本不等式即可解出.

cos-fi

【小問I詳解】

E、IcosAsin282sinBcosBsinB

因為----：-=----=-y——=--,即nn

1+sinA1+cos282cos-BcosB

sinB=cosAcos8-sinAsin5=cos（A+B）=-cosC=^,

而0<3<二，所以B二四:

26

【小問2詳解】

兀一八兀

由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,（）<8<一,

22

而sin3=-cosC=sin|C--

22

TT7E

所以。=々+B,即有A=」—2B.

22

,a2+brsin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所rr以一—=-------；------=----------；--------

c2sin'Ccos"B

（2COS2B-1）2+1-COS2B

=4COS2B+-^—-522我-5=4、Q-5?

cos2BcosB

當(dāng)且僅當(dāng)cos?B當(dāng)時取等號，所以礦1g的最小值為472-5.

19.如圖，直三棱柱ABC—A4G的體積為4,sA8。的面積為2&.

（1）求A到平面ABC的距離；

（2）設(shè)。為A。的中點，A、-48,平面A8C_L平面AB81A，求二面角ABDC

的正弦值.

【答案】（1）叵

⑵立

2

【解析】

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解：

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得3C_L平面建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法即可得解.

23

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC—A4cl中，設(shè)點A到平面A.BC的距離為h,

則V_1Q.卜_2五〃—V-1Q.AA--V--

AJVnV

A-\BC3力.A8C〃-3~3~A8C外人ABC-AyBiCi?

解得/?=夜，

所以點4到平面48。的距離為、傷；

【小問2詳解】

取48的中點E,連接AE,如圖，因為AA=A8,所以AE_L48,

又平面4BC_L平面,平面A8CCI平面A8B1A=AB,

且AEU平面ABBIA，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-AB|G中，5B1_L平面A8C,

由5Cu平面ABC,BCu平面ABC可得A￡_L8C,BB.1BC,

又AE,5片u平面A3片4且相交，所以BC_L平面AB用A,

所以8C,BA,84兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得AE=B所以A4,=AB=2,AB=2垃,所以8C=2,

則4（0,2,0）,其（0,2,2）,8（0,0,0）,。（2,0,0）,所以4。的中點。（11,1）,

24

則30=（1,1,1）,8A=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

,、[mBD=x+y+z=0

設(shè)平面AB￡）的一個法向量6=（x,y,z）,貝.一.，

m-BA=2y=0

可取機(jī)=（1,0,-1）,

z、[m-BD=a-^b+c=0

設(shè)平面BOC的一個法向量〃二（4。?,則〈一，

mBC=2a=0

可取。=（0,1,-1）,

則cos佃/-\力m麗n=而1靈?1

所以二面角A—瓦＞—C的正弦值為=專.

20.一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和

不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在

未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選

到的人患有該疾病福與然的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程

度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為幾

⑴證