多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用

多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面定義10設(shè)M0是空間曲線Γ上的一點(diǎn)，M是Γ上的另一點(diǎn)(見圖8-16).則當(dāng)點(diǎn)M沿曲線Γ趨向于點(diǎn)M0時，割線M0M的極限位置M0T(如果存在)稱為曲線Γ在點(diǎn)M0處的切線.過點(diǎn)M0且與切線垂直的平面，稱為曲線Γ在點(diǎn)M0處的法平面.圖8-16一、空間曲線的切線與法平面下面根據(jù)曲線方程不同的形式，建立空間曲線Γ的切線與法平面方程.(1)設(shè)曲線Γ的參數(shù)方程為當(dāng)t=t0時，曲線Γ上的對應(yīng)點(diǎn)為M0(x0,y0,z0).假定x(t)，y(t)，z(t)可導(dǎo)，且x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)不同時為零.給t0以增量Δt，對應(yīng)地在曲線Γ上有一點(diǎn)M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，則割線M0M的方程為一、空間曲線的切線與法平面上式中各分母除以Δt，得當(dāng)點(diǎn)M沿曲線Γ趨向于點(diǎn)M0時，有Δt→0，對上式取極限，因?yàn)樯鲜椒帜父髭呄蛴趚′(t0)，y′(t0)，z′(t0)，且不同時為零，所以割線的極限位置存在，且為(8-21)這就是曲線Γ在點(diǎn)M0處的切線M0T的方程.切線的方向向量T可取為

{x′(t0),y′(t0),z′(t0)}.容易知道，曲線Γ在點(diǎn)M0處的法平面的方程為

x′(t0)(x－x0)+y′(t0)(y－y0)+z′(t0)(z－z0)=0.(8-22)一、空間曲線的切線與法平面【例36】一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線若曲面上過點(diǎn)P0的任一曲線的切線都在同一平面上，則稱這平面為曲面在點(diǎn)P0的切平面.過點(diǎn)P0而與切平面垂直的直線稱為曲面在P0的法線.下面求曲線上一點(diǎn)處切平面和法線的方程.以下分別就所給曲面方程的兩種形式來分析.二、曲面的切平面與法線隱式方程Fx,y,z=01.設(shè)曲面Σ由方程Fx,y,z=0給出.為確定曲面Σ上一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的切平面，先在曲面Σ上，通過點(diǎn)P任意引一條曲線Γ(見圖8-17).圖8-17二、曲面的切平面與法線假定Γ的參數(shù)方程為且設(shè)t=t0對應(yīng)于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)，并設(shè)Fx,y,z在點(diǎn)P0處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且不同時為零，即Γ在點(diǎn)P0處的切向量T=φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)不為零.二、曲面的切平面與法線由于曲線Γ在曲面Σ上，所以有恒等式F［φ(t),ψ(t),ω(t)］≡0.又由于Fx,y,z在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且φ′(t0),ψ′(t0)和ω′(t0)存在，所以恒等式兩邊對t求導(dǎo)，得即二、曲面的切平面與法線將上式寫成向量的點(diǎn)積形式為說明向量n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)是與Σ上過點(diǎn)P0的曲線Γ的切線垂直的向量.因?yàn)榍€Γ是曲面上通過點(diǎn)P0的任意一條曲線，所以在曲面上過點(diǎn)P0的所有曲線的切線都在同一平面上，故此平面就是曲面在點(diǎn)P0的切平面.該切平面通過點(diǎn)P0，且以n為它的法向量.因此，切平面的方程為Fx(x0,y0,z0)(x－x0)+Fy(x0,y0,z0)(y－y0)+Fz(x0,y0,z0)(z－z0)=0.曲面Σ在點(diǎn)P0處的法線方程為二、曲面的切平面與法線顯式方程z=f(x,y)2.由多元函數(shù)定義知，二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形就是一張曲面，反之，也把二元函數(shù)z=f(x,y)稱為曲面的顯式方程.要求此形式下的曲面的切平面和法線方程,事實(shí)上，只需將其化為隱式方程即可.令F(x,y,z)=f(x,y)－z，可見z=f(x,y)等價于Fx,y,z=0，而且有Fx(x,y,z)=fx(x,y),Fy(x,y,z)=fy(x,y),Fzx,y,z=-1,

二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線【例38】試求拋物面z=ax2+by2在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切平面與法線方程.

解設(shè)f(x,y)=ax2+by2,則fx(x0,y0)=2ax0,fy(x0,y0)=2by0,

于是，過M的切平面方程為z