廣 義 積 分課件

廣義積分廣義積分前面介紹的定積分有兩個限制條件：積分區(qū)間有限和被積函數(shù)有界.實際問題中還需要某些函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分以及某些無界函數(shù)在有限區(qū)間上的積分.因此要求將定積分概念加以推廣，這就是廣義積分.廣義積分包括無窮區(qū)間的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分兩類.一、無窮區(qū)間的廣義積分定義2設f(x)在區(qū)間［a,+∞)內(nèi)連續(xù)，任取b>a，若極限limb→+∞∫baf(x)dx存在，則稱此極限為f(x)在區(qū)間［a,+∞)上的廣義積分，記作∫+∞af(x)dx，即∫+∞af(x)dx=limb→+∞∫baf(x)dx，(6-9)

此時稱廣義積分∫+∞af(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞af(x)dx沒有意義或發(fā)散.

類似地，可定義f(x)在區(qū)間(－∞,b］上的廣義積分∫b－∞f(x)dx=lima→－∞∫baf(x)dx，(6-10)

以及∫b－∞f(x)dx收斂和發(fā)散的概念.一、無窮區(qū)間的廣義積分定義3f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，如果廣義積分定義為∫+∞－∞f(x)dx=∫a－∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx，(6-11)

其中a為任意實數(shù).當上式右端兩個積分都收斂時，稱廣義積分∫+∞－∞f(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞－∞f(x)dx沒有意義或發(fā)散.

∫+∞－∞f(x)dx是否收斂和a的取值無關.

一、無窮區(qū)間的廣義積分【例33】一、無窮區(qū)間的廣義積分【例34】該題的結論一般要記住，可作為定理使用.注二、無界函數(shù)的廣義積分定義4設f(x)在區(qū)間(a,b］上連續(xù)，而limx→a+f(x)=∞，取ε>0，若極限limε→0+∫ba+εf(x)dx存在，將其記作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx,(6-12)

此時稱廣義積分∫baf(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫baf(x)dx沒有意義或發(fā)散.這種廣義積分又稱為瑕積分，a為瑕點.類似地，可定義f(x)在區(qū)間［a,b)上的廣義積分∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx

(6-13)

以及∫baf(x)dx收斂和發(fā)散的概念.二、無界函數(shù)的廣義積分定義5設f(x)在區(qū)間［a,b］上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而limx→cf(x)=∞，如果兩個廣義積分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx都收斂，則稱廣義積分∫baf(x)dx收斂，且有∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx;(6-14)

否則，稱其沒有意義或發(fā)散.二、無界函數(shù)的廣義積分【例35】二、無界函數(shù)的廣義積分【例36】二、無界函數(shù)的廣義積分【例37】二、無界函數(shù)的廣義積分【例38】二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分由這個遞推公式不難看出該積分收斂.特別地，對任何正整數(shù)n，有Γ(n+1)=n!，這是因為Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)，而Γ(1)=∫+∞0e－xdx=1，所以Γ(n+1)=n!.

假