交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂_第1頁
交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂_第2頁
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交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂一、交錯級數(shù)及其審斂法所謂交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)，它的各項是正、負項交錯的，從而它可以寫成下面的形式：或

例如是一個交錯級數(shù).下面給出一個關(guān)于交錯級數(shù)的審斂法.一、交錯級數(shù)及其審斂法

（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)滿足條件則級數(shù)收斂,且其和,其余項rn的絕對值

證因為

，由定理1一、交錯級數(shù)及其審斂法知數(shù)列s2n是單調(diào)增加的；由知數(shù)列s2n

是有界的，故因為故一、交錯級數(shù)及其審斂法所以級數(shù)收斂于和s，且余項滿足收斂的兩個條件，故一、交錯級數(shù)及其審斂法判別級數(shù)

的斂散性

解因為故函數(shù)

單調(diào)遞減，所以

又則由萊布尼茨定理知原級數(shù)收斂.【例1】一、交錯級數(shù)及其審斂法思考萊布尼茨定理中的兩個條件是級數(shù)收斂的充分必要條件嗎？二、絕對收斂與條件收斂設(shè)有級數(shù)且其中un（n=1,2,3,…）為任意實數(shù)，這個級數(shù)稱為任意項級數(shù).二、絕對收斂與條件收斂定義對任意項級數(shù)

，若

收斂,則稱級數(shù)為絕對收斂；若

發(fā)散,而

收斂，則稱級數(shù)

為條件收斂例如，級數(shù)

絕對收斂，而級數(shù)是條件收斂級數(shù).級數(shù)絕對收斂與級數(shù)收斂有以下重要關(guān)系：二、絕對收斂與條件收斂若級數(shù)

絕對收斂,則級數(shù)∑∞n=1un必定收斂.證令顯然

，且

，所以

收斂又由定理2二、絕對收斂與條件收斂故

收斂由這個定理可以知道，對于一般的級數(shù)

，如果用正項級數(shù)的審斂法判定級數(shù)

收斂，則此級數(shù)收斂.這就使得很大一部分級數(shù)的收斂性判定問題，轉(zhuǎn)化成為正項級數(shù)的收斂性判定問題.二、絕對收斂與條件收斂判別級數(shù)

的斂散性由于

，而

收斂，所以

收斂，故該級數(shù)絕對收斂，則由定理2知級數(shù)

收斂.【例2】二、絕對收斂與條件收斂判別級數(shù)

是否收斂.如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？

解由根值審斂法知，該級數(shù)絕對收斂.由定理2知，該級數(shù)收斂.【例3】二、絕對收斂與條件收斂判別級數(shù)是否收斂.如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？解由于

【例4】二、絕對收斂與條件收斂故由比較審斂法知級數(shù)發(fā)散.又顯然二、絕對收斂與條件收斂遞減.

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