微分方程的應(yīng)用

微分方程的應(yīng)用一、衰變問題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量,這種現(xiàn)象稱為衰變.根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知,衰變速度與剩余物的質(zhì)量成正比.下面求放射性元素在時刻t的質(zhì)量.用x表示該放射性元素在時刻t的質(zhì)量,則dx/dt表示x在時刻t的衰變速度,于是“衰變速度與現(xiàn)存的質(zhì)量成正比”可表示為（6-40）

這是一個以x為未知函數(shù)的一階方程,它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型,其中k>0是比例常數(shù),稱為衰變常數(shù),因元素的不同而異.方程右端的負(fù)號表示當(dāng)時間t增加時,質(zhì)量x減少.解方程（6-40）得通解x=Ce－kt.若已知當(dāng)t=t0時,x=x0,代入通解x=Ce－kt中可得C=x0ekt0,則可得到方程（6-40）的特解x=x0e－k(t－t0),它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律一、衰變問題

物理學(xué)中,稱放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時間為半衰期,不同物質(zhì)的半衰期差別極大.例如，鈾-238的半衰期約為45億年，鐳-226的半衰期為1620年.放射性物質(zhì)的半衰期不依賴于該物質(zhì)的初始量,一克鐳-226衰變成半克所需要的時間與一噸鐳-226衰變成半噸所需要的時間同樣都是1620年.碳-14的半衰期是5730年,它存在于大氣中,生物在生存的時候,由于需要呼吸,其體內(nèi)的碳-14大致不變.生物死亡后,其體內(nèi)的碳-14開始減少,人們可以透過一件古物的碳-14含量,來估計(jì)它的大概年齡,這種方法稱為碳定年法.一、衰變問題二、新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場,t時刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品性能良好,每個產(chǎn)品都是一個宣傳品,因此,t時刻產(chǎn)品銷售的增長率dx/dt與x(t)成正比.同時,考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N,統(tǒng)計(jì)表明dxdt與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N－x(t)也成正比,于是有（6-41）其中k為比例系數(shù).將方程（6-41）分離變量積分,可以解得（6-42）二、新產(chǎn)品的推廣模型

綜上所述，當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一半時,產(chǎn)品最為暢銷,當(dāng)銷量不足N的一半時,銷售速度不斷增大,當(dāng)銷量超過一半時,銷售速度逐漸減少.國內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式（6-42）的曲線(Logistic曲線)十分接近.據(jù)對曲線形狀的分析,許多分析家認(rèn)為,在新產(chǎn)品推出的初期,應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳；而在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間,產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過80%時,應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn),可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.二、新產(chǎn)品的推廣模型三、價格調(diào)整模型

假設(shè)某種商品的價格變化主要服從市場供求關(guān)系.一般情況下,商品供給量Q是價格P的單調(diào)增加函數(shù),商品需求量Q是價格P的單調(diào)減少函數(shù),為簡單起見,分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為f(P)=a+bP,g(P)=α－βP，（6-43）其中a,b,α,β均為常數(shù),且b>0,β>0.當(dāng)供給量與需求量相等時,由（6-43）可得供求平衡時的價格，即均衡價格P*=α－aβ+b.一般地說,當(dāng)某種商品供不應(yīng)求,即商品的供給量小于需求量時,該商品價格要漲；當(dāng)供大于求,即商品的供給量大于需求量時,該商品價格要降.因此,假設(shè)t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量（即需求量與供給量的差）成正比,于是有方程（6-44）三、價格調(diào)整模型其中k>0,用來反映價格的調(diào)整速度.將（6-43）代入方程（6-44）,可得（6-45）其中常數(shù)λ=(b+β)k>0,方程（6-45）的通解為P(t)=P*+Ce－λt.假設(shè)初始價格P(0)=P0,代入上式,得C=P0－P*,于是上述價格調(diào)整模型的解為P(