電磁場與電磁波習題答案

概論MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題11.1給定兩矢量和，求它們之間的夾角，以及在上的分量。解：由得到與之間的夾角在上的分量為1.2已知無限長線電荷的電場的矢量形式為 寫出在直角坐標系中該電場的分量形式。解：由得到1.3給定兩矢量和，求在上的分量。解：在上的分量即為1.4已知無限長線電流的磁場的矢量形式為 寫出在直角坐標系中該磁場的分量形式。解：由得到1.5已知點的柱坐標為，請寫出在點的柱坐標單位矢量在直角坐標系中的分量形式。解：由得1.6已知點的球坐標為，請寫出在點的球坐標單位矢量在直角坐標系中的分量形式。解：由得1.7已知標量場，求梯度為0的點的位置。解：由得到1.8記球面上的點處的法向單位矢量為，求標量場在點處沿法向的方向導數(shù)。解：先求法向單位矢量，由得到再求梯度得到方向導數(shù)1.9已知矢量場，求通過圖示正方體（中心在原點，邊長為2）的右側面的通量。圖題1.9解：在右側面上，有1.10利用高斯定理，求上題中的矢量場通過圖題1.9所示正方體表面的通量。解：先求散度從而得到1.11已知矢量場，求沿著圖示正方形（位于平面，中心在原點，邊長為2）的環(huán)量。圖題1.11解：如圖，根據(jù)環(huán)量的定義直接求得1.12已知矢量場，求在點處沿著方向的環(huán)量面密度。解：先求旋度又所以沿的環(huán)量面密度1.13利用斯托克斯定理，求矢量場沿圖示三角形的環(huán)量。圖題1.13解：先求矢量場的旋度又有所以根據(jù)斯托克斯定理，所求環(huán)量1.14空間電位分布和電荷分布滿足泊松方程，若已知電位 其中為場點到軸距離，、、、和均為常數(shù)。求電荷分布。解：在直角坐標系中求解，在時，有根據(jù)泊松方程有在時，有所以1.15已知矢量場，求穿過圖示八分之一球面的通量。（球面半徑為1）圖題1.15解：由于所以矢量場是無散場。直接求曲面的通量較為困難，可以轉而求與曲面共邊界的其它曲面的通量，比如在三個扇形、和上的通量分別為所以有1.16求矢量場沿著圖示拋物線從原點到點的曲線積分。已知拋物線方程為 圖題1.16解：易證，所以矢量場是無旋場，可以選從到的任意路徑求曲線積分，比如如圖所示，其中、和分別為沿著坐標軸的長度為1的路徑，且有所以有靜電場MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題22.1已知一帶電細桿，桿長為,其線電荷密度,其中為常數(shù)，求桿上的總電荷量。解：桿上的總電荷量為2.2已知半徑為的帶電球體的電荷密度為，求球體內的總電荷量。解：球體內的總電荷量為2.3在一條直線上等距分布有四個點電荷，它們是否能處于靜止平衡狀態(tài)？如果能，它們的帶電荷量應該滿足什么條件？圖題2.3解：如圖，設點電荷之間的距離為，從左到右依次分布著、、和，根據(jù)庫倫定律，可列出各點電荷的靜電平衡條件化簡得到此方程只有零解，說明這四個點電荷不能處于靜止平衡狀態(tài)。2.4如圖所示，真空中有一邊長為1的正六邊形，六個頂點都放有點電荷，求六邊形中心??的場強大小。圖題2.4解：如圖，從最左側的點電荷開始，順時針給點電荷依次編號1到6，分別求出個點電荷在中心??的場強為，，，從而得到總場強此題從對稱性也易看出，中心的場強應該為0。2.5一半徑為的帶電球體，其電荷體密度分布為 其中為一常量．試求球體內外的場強分布。解：電荷分布具有球對稱性，取一個半徑為的高斯球面，根據(jù)靜電場的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的靜電場的表達式為，求在點處的電荷密度。解：靜電場的旋度為0，因此有得到，即有根據(jù)靜電場的高斯定理，得到電荷密度2.7邊長為的立方盒子的六個面，分別平行于、和平面。盒子的一角在坐標原點處。在此區(qū)域有一靜電場，場強為。試求穿過各面的電通量。圖題2.7解：如圖，在各面的電通量分別為2.8已知電場強度，求圖中正立方體內的總電荷。圖題2.8解：根據(jù)高斯定理，先求正方體表面的電通量，由于電場沿軸方向，所以只要計算左右側面的通量，即有因此有正立方體內的總電荷為此題也可以先通過求電場的散度求得電荷密度，再在正方體內積分得到總電荷量。2.9在平行電容板中充滿絕對介電常數(shù)分別為和的上下兩層均勻介質，已知金屬板上的自由電荷面密度為，求兩層介質分界面上的極化電荷面密度。圖題2.9解：容易從介質中的高斯定理求得上下兩層介質中的電位移矢量從而有極化強度得到在介質分界面上的極化電荷面密度2.10有一內外半徑分別為和的空心介質球殼，介質的電容率為，使介質內均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。（1）此問題的電荷和電場分布具有球對稱性，空間各點的電場沿徑向分布。對于位于內、外球殼之間的場點，，取高斯面為半徑為的球面，則由介質中的高斯定律有：即得到場點處的電位移矢量為：對應的電場強度矢量為：同理可以得到，對于位于內、外球殼之間的場點，，電場強度矢量為：對于位于球殼內空間的場點，，電場強度矢量為：，（2）在內、外球殼之間（）的體極化電荷密度為：在球殼內表面（）的面極化電荷密度為：在球殼外表面（）的面極化電荷密度為：2.11已知在空間靜電場強度為。選原點??為電位零點，求圖中??點的電位。圖題2.11解：由靜電場的無旋性得從而有2.12求半徑為??的均勻帶電圓盤的電位。圖題2.12解：設圓盤上的電荷面密度為，如圖，由得到此積分在一般情形下要用數(shù)值求解。2.13如圖有兩塊無限大金屬導體平板，板間充滿電荷，其體電荷密度為，其中為常數(shù)，板間距離為，上下極板電位均為0，求兩極板之間的電位分布。圖題2.13解：電位函數(shù)的泊松方程為其一維形式可寫成：此微分方程的通解為：根據(jù)邊界條件，可求得所以電位的解為：電場強度等于：2.14有一內外半徑分別為和的空心導體球殼，內球殼電位為0，外球殼電位為，求球殼之間的電位。解：電位具有球對稱性，，所以拉普拉斯方程成為方程的通解為又由邊界條件解得從而得到2.15如圖所示，證明當兩種絕緣介質的分界面上不帶自由電荷時，分界面兩側的電場滿足折射關系：。圖題2.15解：如圖所示，將電場分解為切向分量和法向分量，則由電場的邊值關系有得到又得到從而有2.16兩塊無限大接地導體平板分別置于和處，在兩板之間的處有一塊電位為的導體平板，求中間導體平板上的面電荷密度。圖題2.16解：如圖，設兩側空間的電位分別為和，則易求得從而得到中間導體平板上的面電荷密度2.17在均勻外電場中置入半徑為的導體球，保持導體球的電位為0，試用分離變量法求空間的電位分布。圖題2.17解：如圖，設導體球外和球內的電位分別為和，滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對稱情形下其通解為由于導體球接地，所以有在時，趨向于均勻電場的電位，即有對比系數(shù)，從而得到在導體球面，由電位函數(shù)的邊值關系有對比系數(shù)得，所以有2.18如圖，沿軸方向的無限長均勻帶電導線位于無限大接地導體平面上方，相距為，線電荷密度為，求空間的電位。圖題2.18解：如圖設置帶電導線關于導體平面的鏡像，設帶電導線及其鏡像都位于平面內，場點坐標為，則處的電位等于帶電導線及其鏡像的電位的疊加，有其中、分別為到帶電導線及其鏡像的距離，、分別為電位零點到帶電導線及其鏡像的距離，我們取中點為電位零點，就有。2.19如圖，有一點電荷放置于相交成直角的兩個接地半無限大導體平板前，求空間的電位。圖題2.19解：如圖建立起直角坐標，在此坐標系中，點電荷的位置為。鏡像電荷共有三個，分別為、和。空間的電位分布為 2.20求半徑為、帶電量為的導體球的靜電場能量。解：導體球的電場分布為因此有靜電場能量靜電場MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題22.1已知一帶電細桿，桿長為,其線電荷密度,其中為常數(shù)，求桿上的總電荷量。解：桿上的總電荷量為2.2已知半徑為的帶電球體的電荷密度為，求球體內的總電荷量。解：球體內的總電荷量為2.3在一條直線上等距分布有四個點電荷，它們是否能處于靜止平衡狀態(tài)？如果能，它們的帶電荷量應該滿足什么條件？圖題2.3解：如圖，設點電荷之間的距離為，從左到右依次分布著、、和，根據(jù)庫倫定律，可列出各點電荷的靜電平衡條件化簡得到此方程只有零解，說明這四個點電荷不能處于靜止平衡狀態(tài)。2.4如圖所示，真空中有一邊長為1的正六邊形，六個頂點都放有點電荷，求六邊形中心??的場強大小。圖題2.4解：如圖，從最左側的點電荷開始，順時針給點電荷依次編號1到6，分別求出個點電荷在中心??的場強為，，，從而得到總場強此題從對稱性也易看出，中心的場強應該為0。2.5一半徑為的帶電球體，其電荷體密度分布為 其中為一常量．試求球體內外的場強分布。解：電荷分布具有球對稱性，取一個半徑為的高斯球面，根據(jù)靜電場的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的靜電場的表達式為，求在點處的電荷密度。解：靜電場的旋度為0，因此有得到，即有根據(jù)靜電場的高斯定理，得到電荷密度2.7邊長為的立方盒子的六個面，分別平行于、和平面。盒子的一角在坐標原點處。在此區(qū)域有一靜電場，場強為。試求穿過各面的電通量。圖題2.7解：如圖，在各面的電通量分別為2.8已知電場強度，求圖中正立方體內的總電荷。圖題2.8解：根據(jù)高斯定理，先求正方體表面的電通量，由于電場沿軸方向，所以只要計算左右側面的通量，即有因此有正立方體內的總電荷為此題也可以先通過求電場的散度求得電荷密度，再在正方體內積分得到總電荷量。2.9在平行電容板中充滿絕對介電常數(shù)分別為和的上下兩層均勻介質，已知金屬板上的自由電荷面密度為，求兩層介質分界面上的極化電荷面密度。圖題2.9解：容易從介質中的高斯定理求得上下兩層介質中的電位移矢量從而有極化強度得到在介質分界面上的極化電荷面密度2.10有一內外半徑分別為和的空心介質球殼，介質的電容率為，使介質內均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。（1）此問題的電荷和電場分布具有球對稱性，空間各點的電場沿徑向分布。對于位于內、外球殼之間的場點，，取高斯面為半徑為的球面，則由介質中的高斯定律有：即得到場點處的電位移矢量為：對應的電場強度矢量為：同理可以得到，對于位于內、外球殼之間的場點，，電場強度矢量為：對于位于球殼內空間的場點，，電場強度矢量為：，（2）在內、外球殼之間（）的體極化電荷密度為：在球殼內表面（）的面極化電荷密度為：在球殼外表面（）的面極化電荷密度為：2.11已知在空間靜電場強度為。選原點??為電位零點，求圖中??點的電位。圖題2.11解：由靜電場的無旋性得從而有2.12求半徑為??的均勻帶電圓盤的電位。圖題2.12解：設圓盤上的電荷面密度為，如圖，由得到此積分在一般情形下要用數(shù)值求解。2.13如圖有兩塊無限大金屬導體平板，板間充滿電荷，其體電荷密度為，其中為常數(shù)，板間距離為，上下極板電位均為0，求兩極板之間的電位分布。圖題2.13解：電位函數(shù)的泊松方程為其一維形式可寫成：此微分方程的通解為：根據(jù)邊界條件，可求得所以電位的解為：電場強度等于：2.14有一內外半徑分別為和的空心導體球殼，內球殼電位為0，外球殼電位為，求球殼之間的電位。解：電位具有球對稱性，，所以拉普拉斯方程成為方程的通解為又由邊界條件解得從而得到2.15如圖所示，證明當兩種絕緣介質的分界面上不帶自由電荷時，分界面兩側的電場滿足折射關系：。圖題2.15解：如圖所示，將電場分解為切向分量和法向分量，則由電場的邊值關系有得到又得到從而有2.16兩塊無限大接地導體平板分別置于和處，在兩板之間的處有一塊電位為的導體平板，求中間導體平板上的面電荷密度。圖題2.16解：如圖，設兩側空間的電位分別為和，則易求得從而得到中間導體平板上的面電荷密度2.17在均勻外電場中置入半徑為的導體球，保持導體球的電位為0，試用分離變量法求空間的電位分布。圖題2.17解：如圖，設導體球外和球內的電位分別為和，滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對稱情形下其通解為由于導體球接地，所以有在時，趨向于均勻電場的電位，即有對比系數(shù)，從而得到在導體球面，由電位函數(shù)的邊值關系有對比系數(shù)得，所以有2.18如圖，沿軸方向的無限長均勻帶電導線位于無限大接地導體平面上方，相距為，線電荷密度為，求空間的電位。圖題2.18解：如圖設置帶電導線關于導體平面的鏡像，設帶電導線及其鏡像都位于平面內，場點坐標為，則處的電位等于帶電導線及其鏡像的電位的疊加，有其中、分別為到帶電導線及其鏡像的距離，、分別為電位零點到帶電導線及其鏡像的距離，我們取中點為電位零點，就有。2.19如圖，有一點電荷放置于相交成直角的兩個接地半無限大導體平板前，求空間的電位。圖題2.19解：如圖建立起直角坐標，在此坐標系中，點電荷的位置為。鏡像電荷共有三個，分別為、和?？臻g的電位分布為 2.20求半徑為、帶電量為的導體球的靜電場能量。解：導體球的電場分布為因此有靜電場能量恒定磁場MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題33.1半徑為、帶電量為的均勻帶電圓盤繞中心軸以角速度旋轉，求圓盤上的電流密度。圖題3.1解：根據(jù)電流密度的定義即有3.2試根據(jù)電流連續(xù)性方程證明：在恒定條件下通過一個電流管任意兩個截面的電流相等。圖題3.2解：如圖所示，截取一段電流管，在其表面就有在恒定條件下，電荷密度不變化，在電流管內有根據(jù)電流連續(xù)性方程即得3.3在如圖所示，一條無限長導線在一處彎成半徑為的半圓形，導線中的電流強度為，求圓心處的磁感應強度。圖題3.3解：由畢奧-薩伐爾定律易知兩側的直導線在圓心處的磁感應強度為0，所以只需求半圓形導線的磁感應強度，有方向垂直向里。3.4如圖，在寬為的無限長平面導體薄板流有均勻分布的電流，已知空間中的點到平面距離為，它在板上的投影位于板的中線上，求點的磁感應強度。圖題3.4解：如圖，將面電流分割為窄條電流，面電流在點產(chǎn)生的磁場可求得3.5半徑為、帶電量為的均勻帶電球體繞直徑為角速度旋轉，求旋轉軸上的磁感應強度。圖題3.5解：半徑為、電流強度為的圓環(huán)電流，在其中心軸上、距圓環(huán)中心處的場點處產(chǎn)生的磁感應強度為如圖所示，旋轉的均勻帶電球體在距球心為的場點處產(chǎn)生的磁感應強度為3.6兩平行無限長直線電流和，間距為，求每根導線單位長度上受到的安培力。解：直線電流之間的安培力的大小為其中和分別為在處和在處產(chǎn)生的磁感應強度。安培力的方向當兩電流同向時是相互吸引的，當兩電流反向時是相互排斥的。3.7如圖所示，載有電流的長直導線旁有一個邊長為、載有電流的正三角形線圈，已知直導線和線圈都在同一平面，線圈的一條邊與導線平行，中心到導線距離為，求線圈所受的安培力。圖題3.7解：如圖，線圈所受的安培力為3.8如圖，同軸電纜的內、外筒半徑分別為和，內外筒上流有等值反向的電流。設外筒的厚度可以忽略，內筒的橫截面上電流是均勻分布的，求空間的磁感應強度。圖題3.8解：由安培環(huán)路定理，容易求得，當場點位于內筒之內，即時，當場點位于內筒與外筒之間，即時，當場點位于外筒之外，即時，3.9通有均勻電流的長圓柱導體中有一平行的圓柱形空腔，其橫截面尺寸如圖所示。試求空間各區(qū)域的磁感應強度。圖題3.9解：設圖示長圓柱導體的電流為垂直往里，則空間的磁場可以視作是一個半徑為、電流垂直往里的圓柱電流和一個半徑為、電流垂直往外的電流的圓柱電流所產(chǎn)生磁場的疊加，即有當場點位于空腔內時其中為垂直往外的單位矢量?？梢钥吹?，在空腔內為一個勻強磁場。當場點位于空腔外、圓柱導體內時其中為場點到的距離。當場點位于圓柱導體外時其中為場點到的距離。在上面的各表達式中，都有3.10兩塊無限大導體平板平行放置，板間的距離為，兩塊板上都載有電流密度為的反向均勻電流，在板間填充有相對磁導率為的均勻磁介質，求磁化電流分布。圖題3.10解：如圖所示，由于磁介質為均勻磁化，在其中沒有體磁化電流分布，面磁化電流分布在兩導體平板的內側，利用介質中的安培環(huán)路定理可求得介質內的磁場強度大小所以磁感應強度大小在導體平板的總電流密度為所以，在導體平板內側的磁化電流密度的大小為方向如圖所示。3.11一無限長直螺線管，單位長度上的匝數(shù)為，螺線管內充滿相對磁導率為的均勻磁介質。今在導線圈內通以電流，求磁化電流分布。圖題3.11（左：橫截面；右：側視圖）解：如圖所示，在磁介質內為均勻磁化，體磁化電流為零，面磁化電流分布在螺線管內側，利用介質中的安培環(huán)路定理可求得介質內的磁場強度大小所以磁感應強度大小在螺線管壁的總電流密度為所以，在螺線管壁的磁化電流密度的大小為方向如圖所示。3.12求載有電流的無限長直導線的磁矢位，并通過磁矢位求出磁感應強度。圖題3.12解：如圖所示建立起坐標系，利用磁矢位的計算公式可得該積分是發(fā)散的，為此，需附加一個常數(shù)，令處的磁矢位為0，即，可得到所以有進而求得磁感應強度3.13如圖，兩根平行且載有等值反向電流的無限長直導線構成雙線輸電線，試通過磁矢位求出該系統(tǒng)的磁感應強度。圖題3.13解：如圖所示，兩根無限長直導線的磁矢位等于各自磁矢位之和，有磁感應強度即為3.14求無限大均勻載流導體平板的磁矢位，并通過磁矢位求出磁感應強度。圖題3.14解：如圖所示，載流平板的磁矢位可以視作為無限窄條線電流磁矢位的疊加，有所以有磁感應強度3.15如圖所示，證明在兩種絕緣介質的分界面上，分界面兩側的磁場滿足折射關系： 其中，其中和分別為兩種介質的磁導率，和分別為界面兩側磁場與法線的夾角。圖題3.15解：如圖所示，將磁場分解為切向分量和法向分量，則由磁場的邊值關系有得到又得到從而有3.16證明：磁導率的磁性介質表面為等磁標位面。圖題3.16解：由磁場的邊值關系和本構關系可得兩式相除有當時，，即說明磁場與表面垂直，該磁性物質表面為等磁標位面。3.17將一磁導率為、半徑為的球體放入均勻磁場中，求總磁感應強度。解：如圖，用磁標位求解，設球外和球內的磁標位分別為和，由于空間沒有自由電流，所以和都滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對稱情形下其通解為在時，趨向于均勻磁場的磁標位，即有對比系數(shù)，從而得到在時，應為有限值，所以在介質球面，，由邊值關系有，從而得到對比的系數(shù)有，，從而解得，所以有3.18求題3.8中的同軸電纜儲存的磁場能量。解：已知空間的磁感應強度分布為所以單位長度儲存的磁場能量為時變電磁場習題44.1如圖，一長直導線載有交變電流，旁邊放置有一個矩形線圈，線圈和導線在同一平面內，求線圈中的感應電動勢。圖題4.1解：根據(jù)法拉第電磁感應定律，線圈中的感應電動勢為4.2如圖，雙線輸電線與一矩形回路共面，已知直導線上的電流為，求矩形回路中的感應電動勢。圖題4.2解：根據(jù)法拉第電磁感應定律，線圈中的感應電動勢為4.3閉合線圈共有匝，電阻為。試證明：當通過此線圈的磁通量改變時，線圈內流過的電荷量為。解：在時刻，線圈中的感應電動勢為流經(jīng)其中的電流從而有兩端積分，即得4.4在一個平行電容板間充滿相對電容率為的介質，已知電場強度，求位移電流密度。解：位移電流密度4.5在無源的自由空間中，已知磁場強度，求位移電流密度。解：由全電流定律有位移電流密度4.6一圓形極板的平行板電容器，極板的面積為，兩極板之間的距離為，極板間充滿電容率為、電導率為的介質，兩極板外接一交變電壓。求：（1）兩極板間的傳導電流強度；（2）兩極板間的位移電流強度。解：（1）兩極板間的傳導電流強度大小為（2）兩極板間的位移電流強度大小為4.7如圖所示為兩個絕緣介質的分界面，已知在介質1中的電場強度為在介質2中的電場強度為（1）求兩介質中的磁場強度和；（2）求在邊界面兩側的電場和磁場滿足邊值關系的條件。圖題4.7解：（1）由得到積分得到（2）在分界面兩側，，有且要有即得滿足邊值關系的條件為從上述方程組中可解得4.8如圖所示，已知兩塊無限大導體平板之間的電場強度為求板間的磁場強度。圖題4.8解：積分即得4.9如圖所示，已知同軸電纜的內、外半徑分別為和，若內、外導體間的電場強度為求其中的磁場強度。圖題4.9解：使用柱坐標系求解，設中心軸為軸，即有積分得4.10已知真空中時變電磁場的矢量位和標量位，求：（1）若，說明滿足庫侖規(guī)范還是洛倫茲規(guī)范？（2）磁感應強度；（3）電場強度；（4）位移電流。（5）坡印廷矢量。解：（1）由于所以滿足庫侖規(guī)范而不是洛侖茲規(guī)范。（2）磁感應強度（3）電場強度（4）位移電流（5）坡印廷矢量4.11已知均勻絕緣介質中電磁場的矢量位為，求：（1）標量位；（2）電場強度；（3）磁場強度。解：（1）在均勻絕緣介質中，矢量位和標量位要滿足將代入上兩式，得到所以可?。?）電場強度（3）磁場強度4.12如圖所示，已知自由空間中傳播的電磁波的電場和磁場分別為求：（1）坡印廷矢量；（2）在某一時刻流入如圖所示的長方體中的凈功率。圖題4.12解：（1）坡印廷矢量（2）在某一時刻流入圖示的長方體中的凈功率為4.13在球坐標系中，已知電磁場為求通過以坐標原點為球心、為半徑的球面的功率。解：先求出坡印廷矢量通過以坐標原點為球心、為半徑的球面的功率等于4.14已知均勻平面波電場的復矢量形式：，試寫出它的瞬時表達式。解：電場的瞬時表達式為4.15在橫截面為的矩形金屬波導中，模的電磁場的復矢量為：其中、、和都是實常數(shù)。求：（1）電磁場的瞬時表達式；（2）坡印廷矢量。（1）電場的瞬時表達式磁場的瞬時表達式（2）坡印廷矢量平面電磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題55.1介質中沿方向傳播的均勻平面波電場強度為，求：（1）相對電容率，（2）傳播速度，（3）本征阻抗，（4）波長，（5）磁場強度，（6）波的平均功率密度。解：（1）由得相對電容率（2）傳播速度（3）本征阻抗為（4）波長（5）磁場強度（6）波的平均功率密度5.2頻率為的時諧均勻平面波在各向同性的均勻、理想介質中沿軸方向傳播，其介質特性參數(shù)分別為。設電場取向與和軸的正方向都成角，而且當時，電場的大小等于其振幅值，即。求：電場強度和磁場強度的表達式。解：題中電磁波的角頻率為相位常數(shù)所以，根據(jù)題意，電場強度的表達式可寫成將，代入，有得到所以本征阻抗磁場強度的表達式5.3已知非磁性理想介質中均勻平面波的電場強度矢量為試求該電磁波的頻率，波長，波矢量，磁場強度矢量，能量密度的平均值和能流密度的平均值以及介質的相對介電常數(shù)。解：由于對于均勻平面波有所以得頻率波矢量波長介質的相對介電常數(shù)能量密度的平均值能流密度的平均值5.4已知無界理想媒質中，正弦均勻平面電磁波的頻率，電場強度。試求：（1）均勻平面電磁波的相速度、波長、相移常數(shù)和波阻抗；（2）電場強度和磁場強度的瞬時值表達式；（3）與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率。解：（1）角頻率相位常數(shù)相速度波長波阻抗（2）電場強度的瞬時值表達式磁場強度的復數(shù)表達式磁場強度的瞬時值表達式（3）5.5已知自由空間中均勻平面電磁波的電場：，求：（1）電磁波的頻率、速度、波長、相位常數(shù)以及傳播方向。（2）該電磁波的磁場表達式。（3）該電磁波的坡印廷矢量和坡印廷矢量的平均值。解：（1）電磁波的頻率速度波長相位常數(shù)傳播方向為方向。（2）本征阻抗磁場表達式為（3）坡印廷矢量坡印廷矢量的平均值5.6自由空間中一均勻平面波的磁場強度為求：（1）波的傳播方向；（2）波長和頻率；（3）電場強度；（4）瞬時坡印廷矢量。解：（1）波的傳播方向為方向；（2）波長頻率（3）本征阻抗電場強度（4）瞬時坡印廷矢量為5.7自由空間中均勻平面波的電場強度表達式如下試分析：（1）波的傳播方向、相速度和波阻抗；（2）波長；（3）頻率；（4）磁場強度；（5）平均坡印廷矢量。解：（1）波的傳播方向為方向；相速度波阻抗（2）波長（3）頻率（4）磁場強度（5）平均坡印廷矢量5.8頻率為的均勻平面波在潮濕的土壤（）中傳播。試計算：（1）傳播常數(shù)；（2）相速度；（3）波長；（4）波阻抗；（5）功率密度衰減90%所對應的傳輸距離。解：（1）角頻率為傳播常數(shù)（2）相位因子相速度（3）波長（4）波阻抗（5）功率密度衰減90%時，有從而解得5.9已知土壤的電導率為10-3S/m，相對介電常數(shù)為5，海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為80，它們都是非磁性媒質。有以均勻平面電磁波在空氣中傳播時，其波長為300m。試分別計算：電磁波進入土壤和海水后的（1）相速、（2）波長、（3）能量衰減一半的傳播距離。解：電磁波的頻率角頻率為該電磁波進入土壤后，傳播常數(shù)相速為波長能量衰減一半的傳播距離為該電磁波進入海水后，傳播常數(shù)相速為波長能量衰減一半的傳播距離為5.10頻率為50MHz的均勻平面波在媒質（）中傳播，垂直入射到另一媒質（）表面。若分界面處入射電場強度的振幅為10V/m，求透射波的平均功率密度。解：角頻率為在媒質1中的波阻抗等于在媒質2中的波阻抗等于所以有透射系數(shù)設入射波電場為則透射波電場為透射波磁場為透射波的平均功率密度5.11電場強度為的均勻平面波由空氣垂直入射到與玻璃介質板的交界面上（z=0）。其中，c為光速，玻璃介質板的電磁參數(shù)為。試求反射波和折射波的電場強度表達式。解：在空氣中的波阻抗等于在玻璃介質中的波阻抗等于透射系數(shù)等于反射系數(shù)等于所以反射波的電場表達式為又所以所以透射波的電場表達式為5.12均勻平面波由空氣垂直入射到介電常數(shù)為的理想介質中，假設空氣與介質的分界面為無限大平面并在直角坐標系面內。若入射的電場強度方程為，平均功率密度為10W·m-2，求：（1）反射系數(shù)及反射波平均功率密度；（2）透射系數(shù)及透射波平均功率密度；（3）邊界上磁場強度的表達式；（4）媒質2滿足什么樣的條件時，電磁波不發(fā)生反射。解：（1）在空氣中的波阻抗等于在理想介質中的波阻抗等于反射系數(shù)為反射波平均功率密度等于（2）透射系數(shù)等于透射波平均功率密度（3）媒質分界面上的磁場強度表達式可通過透射波磁場方程在處的取值來求，則上式為復數(shù)形式，其時域形式為（4）由反射系數(shù)式可知:如果媒質2的本征阻抗與媒質1的本征阻抗相等，則在分界面上實現(xiàn)完美的阻抗匹配，入射的電磁波不會發(fā)生反射。在本例中，需要媒質2的本征阻抗等于空氣的本征阻抗，即要求一般的介質材料無法滿足上式的要求，只有一些鐵磁性材料才可以做到。5.13自由空間傳播的均勻平面波電場強度已知為。它以與分界面法線30°的角度入射到介質（）上。求（1）波的頻率，（2）兩種媒質中的電場表達式以及（3）介質中波的平均功率密度。設介質磁導率與自由空間相同。圖題5.13解：（1）如圖所示，入射電磁波的波矢量為所以有媒質1中的相位常數(shù)波的角頻率頻率（2）在媒質1中的波阻抗等于在理想介質中的波阻抗等于反射波的波矢量媒質2中的相位常數(shù)透射角透射波的波矢量為反射系數(shù)為透射系數(shù)為已知入射波的電場即得反射波的電場透射波的電場媒質1中的電場媒質2中的電場（3）介質中波的平均功率密度5.14簡諧變化的均勻平面波由空氣入射到z=0處的理想導體平面上。已知入射波電場的表達式為。求：（1）入射角；（2）頻率f及波長λ；（3）反射波電場的復數(shù)形式；（4）合成波電場的表達式。圖題5.14解：（1）如圖所示，入射角（2）入射電磁波的波矢量為所以有媒質1中的相位常數(shù)波的角頻率頻率波長（3）在理想導體表面，反射系數(shù)，所以有反射波電場的復數(shù)形式（4）合成波電場的表達式其瞬時形式為5.15光纖一般由纖芯、包層和涂覆層構成，其中纖芯、包層起到導波的作用，涂覆層起到保護光纖、避免受到外界的侵蝕及其他損傷作用。如下圖所示，圖題5.15圖中未畫出包層外面的涂覆層。若纖芯的折射率為n1，包層的折射率為n2，如果選取二者材料的折射率滿足n1>n2，則以某一角度從光纖端部的入射光，在纖芯中的折射光將以全反射的形式在其內部傳播。對應折射光的臨界角θc，入射光的入射角θi達到最大值θmax。如果入射角大于θmax，則入射光在纖芯和包層的分界面上有透射光，從而不能很好地導波。一般稱θmax為光纖端面入射臨界角（或稱入射臨界角）。根據(jù)上述已知條件，求入射臨界角的大小。解：如圖所示，要使纖芯中的折射光在纖芯和包層的分界面上全反射，就要有從而有即兩邊平方利用折射定律有得到所以所以5.16空氣中有一均勻平面電磁波的電場強度矢量為，在入射面上入射到的半無限大介質平面上，其相對介電常數(shù)和磁導率分別為和。試求空氣中的反射波和介質中折射波的電場強度和磁場強度的復矢量式和瞬間值式。解：入射波的波矢量為在媒質1（空氣）中的相位常數(shù)在媒質2中的相位常數(shù)入射角等于折射角等于從而得到折射波的波矢量在媒質1（空氣）中的波阻抗等于在理想介質中的波阻抗等于反射系數(shù)等于透射系數(shù)等于所以有反射波的電場折射波的電場5.17如下圖所示，用二維介質波導作為傳輸線來傳輸電磁能量。圖題5.17如果要求電磁波以任意角入射到介質線的一端面時，透入介質中的電磁波能量全部傳輸?shù)搅硪欢恕Ｔ嚽蠼橘|線相對介電常數(shù)的最小值。解：由題5.15可知在端面上的入射臨界角為當即時，電磁波能以任意角入射，即求得介質線相對介電常數(shù)或5.18已知一個向正軸方向上傳播的平面電磁波在空間某點的表達式為：，在的平面上，電場強度的分量分別為：，，若此波為圓極化波，求和的值，并判斷該電磁波是左旋還是右旋圓極化波。解：由于是圓極化波，所以有，為常數(shù)代入和表達式，得兩端對時間求導，得到要使上式恒成立，就有解出或容易判斷，對于前一組解，為右旋圓極化波；對于后一組解，為左旋圓極化波。5.19指出下列各均勻平面波的極化方式：（1）（2）（3）（4）解：（1）由于所以為橢圓極化波。（2）由于所以且為圓極化波。（3）由于所以且為橢圓極化波。（4）由可知所以由所給復振幅有，，為線極化波。5.20證明：任意線性極化波可以分解為兩個振幅相等，旋向相反的圓極化波的疊加。證明：設電磁波沿軸正向傳播，設線性極化波的電場沿軸方向，則其電場可表示為假設其可以分解為兩個振幅相等，旋向相反的圓極化波的疊加，則有要使此式成立，解得，得證。導行電磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題66.1空心矩形波導a=5cm，b=2cm，工作頻率20GHz。求：（1）TM21模的截止頻率并決定它是否為衰減模式。若不是，決定其相位常數(shù)、相速、群速及傳播波長。（2）TM21模的波阻抗。（3）若波導中外加電場幅值為500V/m，求波導所傳送的平均功率。試決定波導中最低次的TM11模的截止頻率、電場和磁場分布、相位常數(shù)、特征阻抗及平均功率流。解：（1）TM21模的截止頻率為所以有不是衰減模式。相位常數(shù)相速度群速度傳播波長（2）TM21模的波阻抗等于（3）波導所傳送的平均功率為最低次的TM11模的截止頻率電場和磁場的分量表達式為其中，截止波數(shù)相位常數(shù)且有特征阻抗平均功率流6.2空心矩形波導a=5cm，b=2cm，工作頻率1GHz。（1）證明在這一頻率下TM21模不能傳播（為衰減模）。（2）決定使電場的z分量衰減到它在z=0處的幅值的0.5%所需的距離。設在z=0處電場z分量的幅值為1KV/m。解：（1）TM21模的截止頻率為所以有是衰減模式。（2）相位常數(shù)電場的z分量衰減到它在z=0處的幅值的0.5%所需的距離為6.3b=1cm的空心波導TE10模的相位常數(shù)是102.65rad/m。若波導工作頻率為12GHz，且只有TE10模傳播，計算波導尺寸a。解：根據(jù)題目，波導工作頻率角頻率由即可解得6.4波導管壁由黃銅制成，其尺寸為a=1.5cm，b=0.6cm，電導率σ=1.57×107S/m，填充介電常數(shù)εr=2.25，磁導率μr=1.0的聚乙烯介質。設頻率為10GHz的TE10模在矩形波導中傳播，試求TE10模的如下參數(shù)：（1）波導波長；（2）相速度； （3）相移常數(shù)；（4）波阻抗；（5）波導壁的衰減常數(shù)。解：電磁波的頻率為角頻率相位常數(shù)（相移常數(shù)）波導波長相速度波阻抗波導壁的衰減常數(shù)為其中，，所以6.5無限長矩形波導的截面尺寸為a×b，其中的z>0段為空氣，z≤0段為εr=4.0，μr=1.0的理想介質。頻率為f的電磁波沿z方向單模傳輸，求僅考慮主模時z≤0區(qū)域的駐波比。解：矩形波導的主模為模，波阻抗為在空氣中，有在介質中，有對于段波導的波阻抗為對于段波導的波阻抗為因此，界面的反射系數(shù)為故段波導的駐波比為6.6在尺寸為a×b=22.86mm×10.16mm矩形波導中，傳輸TE10波，工作頻率為10GHz。請回答以下幾個問題：（1）求截止波長、截止頻率、波導波長和波阻抗；（2）若波導的寬邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？（3）若波導的窄邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？解：（1）工作頻率角頻率截止波數(shù)截止波長截止頻率相位常數(shù)波導波長波阻抗（2）若波導的寬邊尺寸增大一倍，截止波長、截止頻率、波導波長和波阻抗分別為滿足條件即的模式有TE10、TE20、TE30。（3）若波導的窄邊尺寸增大一倍，截止波長、截止頻率、波導波長和波阻抗分別為滿足條件即的模式有TE01、TE10、TE11、TM11。6.7已知空氣填充的銅質波導尺寸為7.2cm×3.4cm，工作于主模，工作頻率為f=3GHz。如果波導壁引起的衰減常數(shù)為求當場強振幅衰減一半時的距離。解：對于銅質波導，波導壁表面電阻，則設場強衰減一半的距離為，則由可求得。6.8空心矩陣波導尺寸為a=3cm，b=1cm，假如空氣擊穿強度為30KV/cm，當工作頻率為7GHz時，計算傳輸TE10波時的最大功率（為了能安全傳輸TE10模，通常應給空氣擊穿強度乘以安全系數(shù)，這里選安全系數(shù)為0.1）。解：工作波長為的電場分量為令，則空氣介質能被擊穿的模的最大功率為為了能安全傳輸模，如果取安全系數(shù)為0.1，則可令最大電場振幅為由此可得能安全傳輸模的最大功率為6.9一矩形波導的寬邊為a=8cm，窄邊為b=4cm，當工作頻率f=3GHz時波導中可傳輸哪些波形？當工作頻率為5GHz時波導中又可傳輸哪些波形？解：要使電磁波能夠傳輸，需滿足，即代入題目所給條件，上述不等式可寫成滿足條件的模式只有TE10。當工作頻率為5GHz時，有滿足條件的模式有TE01、TE10、TE11、TE20和TM11。6.10已知空氣填充的圓形波導直徑為d=50mm，如果工作頻率為f=6.725GHz，給出該波導可能傳輸?shù)哪Ｊ剑蝗绻畛湎鄬殡姵?shù)εr=4的理想介質以后，那么可能傳輸?shù)哪Ｊ接心男?？解：當圓形波導內為空氣時，工作波長為已知TM波的截止波長為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愗惾麪柡瘮?shù)的根必須滿足，即有滿足這個條件的只有，因此只有?？梢詡鬏敗E波的截止波長為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愗惾麪柡瘮?shù)的導數(shù)的根必須滿足，即有滿足這個條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。填充介電常數(shù)為的理想介質以后，工作波長變?yōu)?，那么能夠傳輸TM模對應的第一類貝塞爾函數(shù)的根必須滿足，即，得滿足這一條件的模式有TM01模、TM02模、TM11模、TM12模和TM21模。能夠傳輸?shù)腡E模對應的第一類貝塞爾函數(shù)的導數(shù)的根必須滿足，得滿足這一條件的模式有TE01模、TE02模、TE11模、TE12模、TE21模和TE22模。6.11有一方圓過渡波導如下圖所示，矩形波導尺寸為7.2cm×3.4cm工作波的長度為10cm，波導中的介質為空氣，圓形波導直徑與矩形波導對角線相等，從矩形波導向圓形波導方向傳播TE10波。試比較電磁波從矩形波導進入圓形波導后，介質波長和波導波長的變化。如果TE11波自圓形波導向矩形波導傳播，情況會怎樣？解：在矩形波導中圓形波導直徑為電磁波從矩形波導傳到圓形波導中變?yōu)門E11波，此時有可見當TE10波進入圓形波導變?yōu)門E11波后，截止波長變短了，波導波長變長了，因此有些能在矩形波導中傳播的較低頻率電磁波不能進入圓形波導中傳播；反過來TE11波從圓形波導方向傳來時則無此現(xiàn)象發(fā)生，但要注意必須使電場強度的方向要垂直于矩形波導的寬邊。如果電場強度方向垂直于矩形波導的窄邊，那么就相當于矩形波導的邊變成了邊，變成，則電磁波不能通過該波導。6.12加在100m長平板無損耗傳輸線的電壓為v(t)=100cos(105t)V，板間距離為2mm，每板的寬度為10mm。若電介質的相對電容率和相對磁導率分別為4和1，求每板上面電荷密度和面電流密度的瞬時值（時域）表示式。解：假定在任意給定時間時，平板傳輸線的下板相對于上板為正，則在處兩板間的電場強度為媒質的相位常數(shù)和本征阻抗為和傳輸線上任意點的電場強度為從而可求出下板的面電荷密度為下板的面電流密度為6.13一條500m長的無損耗傳輸線，其分布參數(shù)值為Ll=2.6μH/m和Cl=28.7pF/m，感性負載阻抗為（75+j150）Ω。外施電源電壓VG的有效值為120V，其內阻抗ZG為（1+j90）Ω。試求工作頻率為10KHz時（1）輸入端的電壓和電流；（2）負載的電壓和電流；（3）輸入傳輸線的功率；（4）發(fā)送給負載的功率。并求出前向行波和反射波的電壓和電流表達式。解：用傳輸線的分布參數(shù)，求得特性阻抗、傳播常數(shù)和相位常數(shù)為如所預期，無損耗傳輸線的特性阻抗為純電阻而傳播常數(shù)為純虛數(shù)。相速度和波長可求得為經(jīng)常，波在傳輸線上的相速也可用光速的百分數(shù)表示。此處，相速是光速的38.6%。也可以用波長表示傳輸線的長度。這里，線的長度是。計算負載的反射系數(shù)得乘積將在下面需要，所以計算它，得注意是前向波和反射波經(jīng)過500m長的傳輸線后產(chǎn)生的相位差。計算輸入端的反射系數(shù)得在的輸入阻抗為應用分壓法則，求得傳輸線的輸入電壓傳輸線輸入端的相應電流為輸入傳輸線的功率可以計算得為了計算接收端的電壓和電流，首先計算得從而求得負載端的電壓相應的負載電流為最后，發(fā)送給負載的功率是因為傳輸線是無損耗的，在線上沒有功率損耗。發(fā)送端輸入線路的功率全部送給接收端的負載。由于和已知，便能求得進而得到于是，前向波的電壓和電流以它們的有效值表示成相量形式為在時域中則有注意在時域中的表達式總是要用幅值。類似地，后向波的電壓和電流以它們的有效值表示成相量形式為在時域中則有6.14如下圖所示，AB和BC是兩段參數(shù)不同的無耗均勻傳輸線。已知Zc1=50Ω，λ1=5cm，l1=0.625cm，Zc2=100Ω，λ2=10cm，l2=1.25cm。在傳輸線的終端接有負載ZL=50Ω，連接處的并聯(lián)導納為。試求A點的等效阻抗。解：對AB和BC段分別求解。設在B點并聯(lián)前的等效阻抗為，則當并聯(lián)后，B點的等效導納為因此。B點的等效阻抗為故A點的等效阻抗為6.15截面尺寸為a×b=22.86mm×10.16mm的矩形波導，傳輸頻率為10GHz的H10波，在某橫截面上放一導體板，試問在何處再放導體板，才能構成振蕩模式為H101模的矩形諧振腔；若其包括導體板在內的其他條件不變，只是改變工作頻率，則腔體中有無其他振蕩模式存在？若將腔長加大一倍，工作頻率不變，此時腔中的振蕩模式是什么？諧振波長有無變化？解：矩形波導的波導波長為由于第二塊導體板應放在相鄰的波節(jié)處，故兩板間的距離為由矩形波導諧振腔的諧振波長：可見，若、、的尺寸不變，頻率改變，則諧振波長隨之改變，因而、、不同，諧振腔是多諧的，故有可能存在其他許多諧振模式。若腔長增加一倍，設，則由此可見，振蕩模式變?yōu)镠102，諧振波長不變。6.16一條100m長無損耗傳輸線，其分布電感為296nH/m，分布電容為46.2pF/m，工作于無負載狀態(tài)。在傳輸線輸入端接有電壓源輸送功率。電壓源的開路電壓為vs(t)=100cos(106t)V，其內阻抗可以忽略。計算：（1）線路的特性阻抗和相位常數(shù)；（2）接收端的電壓和電源供給的電流；（3）電源送出的功率。解：（1）特性阻抗為相位常數(shù)為（2）由這矩陣方程，我們首先求出電源輸出的電流為接收端的電壓為注意,接收端的電壓高于發(fā)送端的電壓。這是當無負載時，傳輸線的電容引起的。（3）發(fā)送端的復功率為因而在發(fā)送端的平均功率等于零。無功功率。電磁波的輻射與接收MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習題77.1簡述天線的功能。解：從信息傳遞的角度看，天線的功能主要有：（1）完成射頻電流與空間電磁波之間的能量轉換，因此天線本質上是一種能量轉換裝置。（2）實現(xiàn)對電磁波能量的集中，即天線具有方向性。（3）具有極化特性。天線只能發(fā)射和接收預定極化的電磁波。7.2天線的特性參數(shù)有哪些？分別是怎樣定義的?解：描述和設計天線的特性參數(shù)有：方向性及方向圖、增益和效率、前后比和軸比、輸入阻抗、有效長度、極化方式、頻帶寬度等。定義分別如下：（1）方向性及方向圖。天線在有的方向輻射或接收較強，而在有的方向輻射或接收較弱甚至為零，天線的方向性描述了天線向一定方向輻射電磁波的能力。方向圖用于表示天線在各個方向輻射（或接收）場強的相對大小。以天線的中心為原點，向各方向作射線，在距離天線同樣距離但不同方向上測量輻射（或接收）電磁波的場強，使各方向的射線長度與場強成正比，即得天線的三維空間方向分布圖。（2）增益和效率。天線效率定義為天線輻射功率與輸入到天線的總功率之比。天線的增益又稱增益系數(shù)，它定義為在輸入功率相等的條件下，天線在最大輻射方向上某點的功率密度和理想的無方向性天線在同一點處的功率密度（或場強振幅的平方值）之比。（3）輸入阻抗。天線輸入阻抗是指加在天線輸入端的高頻電壓與輸入端電流之比。（4）極化方式。天線向周圍空間輻射的電磁波由交變的電場和磁場構成，電磁波的極化是指在垂直于傳播方向的波陣面上，電場強度矢量端點隨時間變化形成的軌跡。如果軌跡為直線，則稱為線極化波；如果軌跡為圓形或者橢圓形，則稱為圓極化波或者橢圓極化波。（5）頻帶寬度。天線的帶寬定義為天線增益偏離中心頻率兩側下降3dB時的頻率范圍，或在規(guī)定的駐波比下信號的工作頻率范圍。7.3按極化方式劃分，天線有哪幾種？解：根據(jù)天線的極化特性分，有線極化（包括垂直極化和水平極化）天線、圓極化天線和橢圓極化天線。7.4從接收角度講，對天線的方向性有哪些要求？解：從接收的角度講，要保證正常接收，必須使信號功率與噪聲功率的比值（信噪比）達到一定的數(shù)值。為此，對接收天線的方向性有以下要求：（1）主瓣寬度盡可能窄，以抑制干擾。（2）副瓣電平盡可能低。（3）天線方向圖中最好能有一個或多個可控制的零點，以便將零點對準干擾方向，而且當干擾方向變化時，零點方向也隨之改變。7.5設某天線的方向圖如圖題7.5所示，試求主瓣零功率波瓣寬度、半功率波瓣寬度和第一旁瓣電平。圖題7.5天線方向圖解：由圖可知，主瓣零功率點分別為和，所以主瓣零功率波瓣寬度半功率點分別為和，所以半功率波瓣寬度第一旁瓣電平7.6長度為、沿軸放置的短振子，中心饋電，其電流分布為式中，。試求短振子的如下參數(shù)：(1)輻射電阻；(2)方向系數(shù)；(3)有效長度（歸于輸入電流）。解：（1）由于短振子的輻射場為則輻射功率同時考慮到則短振子的輻射電阻為（2）方向系數(shù)為（3）歸于輸入電流的有效長度為7.7有一個位于平面的很細的矩形小環(huán)，環(huán)的中心與坐標原點重合，環(huán)的兩邊尺寸分別為和，并分別與軸和軸平行，環(huán)上電流為。假設、，試求小環(huán)的輻射場及兩主平面的方向圖。圖題7.7解：如圖，設矩陣小環(huán)沿軸方向的兩個邊產(chǎn)生的矢量磁位為，則有其中因為，，所以則有同理，沿軸方向的兩個邊產(chǎn)生的矢量磁位為所以其中輻射場為7.8有一長度為的電基本振子，電流載有振幅為、沿軸正方向的時諧電流，試求其方向性函數(shù)，并畫出在面、面和面的方向圖。圖題7.8解：電基本振子如圖放置，其上電流