【八年級下冊數(shù)學(xué)北師大版】第四章 因式分解（5類壓軸題專練）

第四章因式分解（5類壓軸題專練）題型一因式分解有關(guān)的變形與代換1．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知，，則（）A． B．3 C． D．13．已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．4．若，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型二最值問題5．已知：a，b，c都是正整數(shù)，且，．a(chǎn)bc的最大值為M，最小值為N，則________．6．若一個四位數(shù)M的千位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，百位數(shù)字與個位數(shù)字的和也為10，則這個四位數(shù)M為“雙十?dāng)?shù)”．例如：，∵，∴3278是“雙十?dāng)?shù)”；又如：，∵，∴1294不是“雙十?dāng)?shù)”．若一個“雙十?dāng)?shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，當(dāng)是整數(shù)時，的最大值為______，若、均為整數(shù)時，記，當(dāng)取得最大值，且時，M的值為______．7．對于一個四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，各個數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個位數(shù)字組成一個兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎數(shù)”．若N為“坎數(shù)”，且，當(dāng)為9的倍數(shù)時，則所有満足條件的N的最大值為__________．題型三因式分解的應(yīng)用8．閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．對于，它不是完全平方式，所以無法用公式法進(jìn)行因式分解．現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對此類代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆過程，最高含有的二次項，所以看作由得到；第二步，去括號，和對比發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)為1，二次項由和相乘得出，所以（為了計算簡便，往往取整數(shù)）；第三步，繼續(xù)把和對比，發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)之積為2，和為3，就不難湊出，，檢驗一下：，換個方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬耍埵褂蒙鲜龇椒ɑ卮鹣铝袉栴}：(1)因式分解：①；②；(2)對關(guān)于的多項式因式分解：．9．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將因式分解；（3）若，，請用分組分解法先將因式分解，再求值．10．對任意一個三位數(shù)m，如果其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱m為“開心數(shù)”．現(xiàn)將m的個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，并規(guī)定．例如：143是一個“開心數(shù)”，將其個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，所以．(1)______，______；(2)若是8的倍數(shù)，則稱這樣的m為“幸運(yùn)開心數(shù)”，求出所有的“幸運(yùn)開心數(shù)”．11．在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，若坐標(biāo)系內(nèi)兩個整點(diǎn)、滿足關(guān)于的多項式能夠因式分解為，則稱點(diǎn)是的分解點(diǎn)．例如、滿足，所以是的分解點(diǎn)．(1)在點(diǎn)、、中，請找出不存在分解點(diǎn)的點(diǎn)：______．(2)點(diǎn)、在縱軸上在的上方，點(diǎn)在橫軸上，且點(diǎn)、、都存在分解點(diǎn)，若面積為，請直接寫出滿足條件的的個數(shù)及每個三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)．題型四新定義、閱讀材料題12．定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則擴(kuò)充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．(1)若，，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；(2)如果，，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”；(3)已知，且a，b的“如意數(shù)”，求b．（用含x的式子表示）13．在因式分解的學(xué)習(xí)過程中，我們知道可以利用提公因式法或公式法將部分多項式分解因式．下面以為例，介紹一種新的因式分解法——試根法．①觀察發(fā)現(xiàn)，時，，說明是方程的一個解（或“根”）．由此推斷分解后有一個因式是．②根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，另一個因式只能是一次式且一次項系數(shù)為7，所以設(shè)另一個因式是．③于是．根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，則．④所以．以上因式分解的方法叫“試根法”．利用“試根法”，解決下面的問題：(1)因式分解：．解：①把代入該式，得．所以該多項式分解后有一個因式是．②因為原多項式最高次項系數(shù)為2，所以設(shè)另一個因式是．請繼續(xù)完成下列步驟：③填空：______，______；④觀察的各項系數(shù)特點(diǎn)，利用“試根法”對進(jìn)行因式分解；⑤多項式因式分解的結(jié)果為______．(2)利用“試根法”因式分解：．14．閱讀理解：待定系數(shù)法是設(shè)某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)、利用當(dāng)兩個多項式為恒等式時，同類項系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值．待定系數(shù)法可以應(yīng)用到因式分解中，例如問題：因式分解．因為為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即：，展開等式右邊得：，根據(jù)待定系數(shù)法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應(yīng)系數(shù)相等：可以求出．所以．(1)若取任意值，等式恒成立，則________；(2)已知多項式有因式，請用待定系數(shù)法求出該多項式的另一因式；(3)根據(jù)（2）可將多項式分解因式為________．（直接寫答案）15．定義：關(guān)于的多項式和，當(dāng)時，的值記為，當(dāng)時，的值記為，若存在整數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)，都有，稱多項式是多項式的衍生多項式，稱為衍生系數(shù)．例如：是的衍生多項式，衍生系數(shù)為，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為1，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為2已知多項式是的衍生多項式．(1)直接寫出的值：_______；(2)是否存在整數(shù)，使得，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．題型五因式分解在幾何、平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用16．閱讀理解應(yīng)用:要想比較和的大小關(guān)系，可以進(jìn)行作差法，結(jié)果如下:若，則;若，則;若，則.(1)比較與的大小，并說明理由.(2)比較與的大小，并說明理由.(3)直接利用(2)的結(jié)論解決:求的最小值.(4)已知如圖，直線于，在上各有兩點(diǎn)和,，且，求四邊形面積的最小值.17．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，1），將直線AB沿x軸向左平移經(jīng)過點(diǎn)C（1，1）．（1）求平移后直線L的解析式；（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿（1）中的直線L以每秒1個單位長度的速度向直線L與x軸的交點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)中有任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)運(yùn)動即停止，設(shè)運(yùn)動時間為t．是否存在t，使得△OPQ為等腰三角形?若存在，直接寫出此時t的值：若不存在，請說明理由，

18．如果一個三角形有兩個頂點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)的平方和等于橫坐標(biāo)積的二倍，且這兩個頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，則稱這個三角形為垂軸三角形，這兩點(diǎn)稱為垂頂點(diǎn)．(1)若已知，，，判斷是否為垂軸三角形；(2)如圖，為垂軸三角形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，．若，以為邊作等邊，頂點(diǎn)P在落在第二象限，平分，且，連接交y軸于點(diǎn)E．①探究與的位置關(guān)系；②若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含a、m的式子表示）．19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)（其中），點(diǎn)在軸正半軸上，且．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時，連接，在內(nèi)取一點(diǎn)，使，若，求的度數(shù).(3)如圖3，點(diǎn)在軸上，直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，請解決下列問題：①求證：；②度數(shù)是否為定值？如果是，請求出的度數(shù)；如果不是，請說明理由．

第四章因式分解（5類壓軸題專練）答案全解全析題型一因式分解有關(guān)的變形與代換1．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【解析】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=×（1+4+1）=3，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．2．已知，，則（）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用因式分解的方法將各數(shù)變形后化簡運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．利用因式分解的方法將各數(shù)變形后化簡運(yùn)算即可．【解析】解：∵，，∴．故選：A．3．已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知，得到，整體思想帶入求值即可．【解析】解：∵，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值．熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則，利用整體思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．4．若，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，由，，的代數(shù)式，求出，，的值，原式利用完全平方公式變形后代入計算即可求出值．【解析】解：，，，，，，則，當(dāng)，，時，原式．故選：D．題型二最值問題5．已知：a，b，c都是正整數(shù)，且，．a(chǎn)bc的最大值為M，最小值為N，則________．【答案】【分析】由已知條件整理出，再利用因式分解法轉(zhuǎn)化為求的正整數(shù)解，據(jù)此得到或或或，據(jù)此解得a的值，最后代入計算即可．【解析】解：，，，，，，，，，都是正整數(shù)，或或或，或或或，或，即的最大值為，最小值為，即，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法、二元一次方程組的整數(shù)解等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．若一個四位數(shù)M的千位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，百位數(shù)字與個位數(shù)字的和也為10，則這個四位數(shù)M為“雙十?dāng)?shù)”．例如：，∵，∴3278是“雙十?dāng)?shù)”；又如：，∵，∴1294不是“雙十?dāng)?shù)”．若一個“雙十?dāng)?shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，當(dāng)是整數(shù)時，的最大值為______，若、均為整數(shù)時，記，當(dāng)取得最大值，且時，M的值為______．【答案】62684【分析】根據(jù)的定義可得的值，進(jìn)而得出的最大值，根據(jù)進(jìn)而求值即可．【解析】∵是整數(shù)，，∴為能被4整除的數(shù)，∴或8或12或16，∴的最大值為6，∵、均為整數(shù)，，∴，∴，當(dāng)取得最大值，且時，此時，，的最大值為11，∴，∴M的值為2684，故答案為：6，2684．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，涉及整除，新定義等知識，準(zhǔn)確理解新定義，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．對于一個四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，各個數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個位數(shù)字組成一個兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎數(shù)”．若N為“坎數(shù)”，且，當(dāng)為9的倍數(shù)時，則所有満足條件的N的最大值為__________．【答案】8154【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到，可得出，根據(jù)當(dāng)為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知，則可知，，故，則最大的值為，，即可求解．【解析】解：根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到，∴，∵為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，，∴，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)，時，N有最大值，∴，∴N的最大值為8154，故答案為：8154．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過給出的“坎數(shù)”的定義求出對應(yīng)的各個數(shù)位的數(shù)字的關(guān)系，通過給出的式子，求出對應(yīng)的數(shù)字的結(jié)果，從而求出最后的解．題型三因式分解的應(yīng)用8．閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．對于，它不是完全平方式，所以無法用公式法進(jìn)行因式分解．現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對此類代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆過程，最高含有的二次項，所以看作由得到；第二步，去括號，和對比發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)為1，二次項由和相乘得出，所以（為了計算簡便，往往取整數(shù)）；第三步，繼續(xù)把和對比，發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)之積為2，和為3，就不難湊出，，檢驗一下：，換個方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬耍埵褂蒙鲜龇椒ɑ卮鹣铝袉栴}：(1)因式分解：①；②；(2)對關(guān)于的多項式因式分解：．【答案】(1)①②(2)【分析】本題考查了新定義“湊數(shù)法”因式分解，正確理解閱讀材料中的思維方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得，進(jìn)一步推理后又可湊得，，即得答案；②根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得，，進(jìn)一步推理后又可湊得，，即得答案；（2）設(shè)，則，同樣可先湊答案，，代入關(guān)系式得，比較系數(shù)可得，，針對b，d，可進(jìn)行討論，并逐一驗證，可得，符合題意，即得答案．【解析】（1）①由題意得，，，，所以可湊數(shù)，，故；②由題意得，，，，所以可湊數(shù)，，則，，又可湊數(shù)，，故；（2）設(shè)，則，湊數(shù)，，，，，分四種情況討論：當(dāng)，時，代入，不成立，舍去；當(dāng)，時，代入，不成立，舍去；當(dāng)，時，代入，成立，符合題意；當(dāng)，時，代入，不成立，舍去；所以只有，，故．9．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將因式分解；（3）若，，請用分組分解法先將因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接將前兩項和后兩項組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整體代入得出答案即可．此題主要考查了分組分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整體代入法求代數(shù)式的值，正確分組再運(yùn)用提公因式法或公式法分解因式，是解決問題的關(guān)鍵．【解析】（1）；（2）；（3）．當(dāng)，時，原式．10．對任意一個三位數(shù)m，如果其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱m為“開心數(shù)”．現(xiàn)將m的個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，并規(guī)定．例如：143是一個“開心數(shù)”，將其個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，所以．(1)_，_；(2)若是8的倍數(shù)，則稱這樣的m為“幸運(yùn)開心數(shù)”，求出所有的“幸運(yùn)開心數(shù)”．【答案】(1)21，18(2)143或286或341或484或682或880【分析】（1）根據(jù)新定義求解即可；（2）設(shè)這個“幸運(yùn)開心數(shù)”的個位數(shù)字為，百位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，為非負(fù)整數(shù)，則，根據(jù)題意是8的倍數(shù)，根據(jù)，，且，，從而確定的值為：，再分別列舉出滿足條件的的值即可．【解析】（1）解：，，故答案為21，18；（2）解：設(shè)這個“幸運(yùn)開心數(shù)”的個位數(shù)字為，百位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，為非負(fù)整數(shù)，，，，是8的倍數(shù)，則是8的倍數(shù)，，，，的值為：，為非負(fù)整數(shù)，且，或或或或或，所有的“幸運(yùn)開心數(shù)”143或286或341或484或682或880．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，若坐標(biāo)系內(nèi)兩個整點(diǎn)、滿足關(guān)于的多項式能夠因式分解為，則稱點(diǎn)是的分解點(diǎn)．例如、滿足，所以是的分解點(diǎn)．(1)在點(diǎn)、、中，請找出不存在分解點(diǎn)的點(diǎn)：______．(2)點(diǎn)、在縱軸上在的上方，點(diǎn)在橫軸上，且點(diǎn)、、都存在分解點(diǎn)，若面積為，請直接寫出滿足條件的的個數(shù)及每個三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的個數(shù)為，，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，【分析】（1）根據(jù)題意分別求解，，的分解點(diǎn)即可；（2）首先表示出，的縱坐標(biāo)，和的長度，由面積為推出，根據(jù)在的上方，得到，，同法可求其余的點(diǎn)．【解析】（1）解：對于，，故是的分解點(diǎn)；對于，，故是的分解點(diǎn)；無法分解，點(diǎn)不存在分解點(diǎn)，故答案為：；（2），在縱軸上，、的橫坐標(biāo)為，，都存在分解點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)于的多項式能夠因式分解為，，的縱坐標(biāo)只能負(fù)數(shù)，而且能分解（可用平方差公式分解），的面積為，且點(diǎn)在橫軸上，，，的長度可能為，，，，，，的長度可能為，，，，，，當(dāng)?shù)拈L度為，時，的長度為或，此時不存在有分解點(diǎn)的，，，的縱坐標(biāo)只能是，，，，的長度可能為，，，，當(dāng)時，，在的上方，，，同法當(dāng)時，可得，，當(dāng)時，可得，；當(dāng)時，可得，；當(dāng)時，可得，；當(dāng)時，可得，；當(dāng)時，可得，；當(dāng)時，可得，，綜上所述，的個數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，坐標(biāo)與圖形，因式分解，三角形面積的求解，理解題意，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．題型四新定義、閱讀材料題12．定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則擴(kuò)充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．(1)若，，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；(2)如果，，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”；(3)已知，且a，b的“如意數(shù)”，求b．（用含x的式子表示）【答案】(1)；(2)見解析(3)．【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用．（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可判斷；（2）利用配方法即可解決問題；（3）根據(jù)“如意數(shù)”的定義，構(gòu)建方程求出即可．【解析】（1）解：；（2）解：，；（3）解：由題意，，，∴．13．在因式分解的學(xué)習(xí)過程中，我們知道可以利用提公因式法或公式法將部分多項式分解因式．下面以為例，介紹一種新的因式分解法——試根法．①觀察發(fā)現(xiàn)，時，，說明是方程的一個解（或“根”）．由此推斷分解后有一個因式是．②根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，另一個因式只能是一次式且一次項系數(shù)為7，所以設(shè)另一個因式是．③于是．根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，則．④所以．以上因式分解的方法叫“試根法”．利用“試根法”，解決下面的問題：(1)因式分解：．解：①把代入該式，得．所以該多項式分解后有一個因式是．②因為原多項式最高次項系數(shù)為2，所以設(shè)另一個因式是．請繼續(xù)完成下列步驟：③填空：______，______；④觀察的各項系數(shù)特點(diǎn)，利用“試根法”對進(jìn)行因式分解；⑤多項式因式分解的結(jié)果為______．(2)利用“試根法”因式分解：．【答案】(1)（1）③，；④；⑤(2)【分析】本題主要考查因式分解的拓展，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意找到試根法的運(yùn)算技巧.（1）③把兩個因式相乘，利用根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等建立方程求解即可；④通過試根確定兩個因式為和，再把兩個因式相乘，利用根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的結(jié)論把三個因式寫成積的形式即可；（2）先用試根法分解為，再用試根法把分解為，最后綜合在一起即可．【解析】（1）解：③由題意，得，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，解得：，故答案為：；④當(dāng)時，，所以該多項式分解后有一個因式是，設(shè)另一個因式是．于是，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，解得：，∴；⑤，故答案為：；（2）解：當(dāng)時，，所以該多項式分解后有一個因式是，設(shè)另一個因式是．于是，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，解得：，又當(dāng)時，，所以該多項式分解后有一個因式是，設(shè)另一個因式是．于是，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，得，解得：，∴．14．閱讀理解：待定系數(shù)法是設(shè)某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)、利用當(dāng)兩個多項式為恒等式時，同類項系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值．待定系數(shù)法可以應(yīng)用到因式分解中，例如問題：因式分解．因為為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即：，展開等式右邊得：，根據(jù)待定系數(shù)法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應(yīng)系數(shù)相等：可以求出．所以．(1)若取任意值，等式恒成立，則________；(2)已知多項式有因式，請用待定系數(shù)法求出該多項式的另一因式；(3)根據(jù)（2）可將多項式分解因式為________．（直接寫答案）【答案】(1)(2)另一因式為(3)【分析】此題考查多項式乘以多項式法則、因式分解的實(shí)際運(yùn)用；（1）直接對比系數(shù)得出答案即可；（2）根據(jù)多項式有因式設(shè)，根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，對比系數(shù)即可得答案．（3）先因式分解，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求解．【解析】（1）解：∵等式恒成立，∴，解得：，∴，故答案為：．（2）解：∵多項式有因式，∴設(shè)，，，∴，，，解得：，，∴另一因式為．又∵，∴，即另一因式為；（3）解：∵，∴，故答案為：．15．定義：關(guān)于的多項式和，當(dāng)時，的值記為，當(dāng)時，的值記為，若存在整數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)，都有，稱多項式是多項式的衍生多項式，稱為衍生系數(shù)．例如：是的衍生多項式，衍生系數(shù)為，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為1，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為，是的衍生多項式，衍生系數(shù)為2已知多項式是的衍生多項式．(1)直接寫出的值：_；(2)是否存在整數(shù)，使得，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)不存在整數(shù)，使得，理由見解析【分析】本題主要考查了新定義，因式分解，多項式的系數(shù)：（1）根據(jù)新定義可得，即可求解；（2）由（1）得：，從而得到，即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意得：，即，∴；故答案為：2（2）解：不存在整數(shù)，使得，理由如下：由（1）得：，即，∴，∴不存在整數(shù)，使得．題型五因式分解在幾何、平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用16．閱讀理解應(yīng)用:要想比較和的大小關(guān)系，可以進(jìn)行作差法，結(jié)果如下:若，則;若，則;若，則.(1)比較與的大小，并說明理由.(2)比較與的大小，并說明理由.(3)直接利用(2)的結(jié)論解決:求的最小值.(4)已知如圖，直線于，在上各有兩點(diǎn)和,，且，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）的最小值是5.（4）【分析】（1）（2）直接利用作差法，進(jìn)一步分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判定即可；（3）利用（2）的結(jié)論得出答案即可；（4）利用四邊形ABCD面積等于三角形ABD的面積加上三角形BCD的面積列出式子，利用（3）的結(jié)論解決問題．【解析】解：（1）,.（2）理由：（3）的最小值是5.（4）,【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，作差法是比較兩個式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．17．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，1），將直線AB沿x軸向左平移經(jīng)過點(diǎn)C（1，1）．（1）求平移后直線L的解析式；（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿（1）中的直線L以每秒1個單位長度的速度向直線L與x軸的交點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)中有任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)運(yùn)動即停止，設(shè)運(yùn)動時間為t．是否存在t，使得△OPQ為等腰三角形?若存在，直接寫出此時t的值：若不存在，請說明理由，

【答案】（1）；（2）存在t，使得△OPQ為等腰三角形，其中，，【分析】（1）先求出AB解析式，再根據(jù)平移k不變即可求出平移后直線L的解析式；（2）用時間t表示出△OPQ的三邊的長，再分類討論解方程即可.【解析】（1）設(shè)AB解析式為∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，1）∴解得∴AB解析式為∴設(shè)AB平移后直線L的解析式為∵平移經(jīng)過點(diǎn)C（1，1）∴解得∴AB平移后直線L的解析式為（2）過P作PD⊥OA與D，

由題意得,∵C（1，1）∴∠COA=45°，∴∴∴∴①當(dāng)OP=OQ時，，解得；②當(dāng)OP=PQ時，解得（舍去），或②當(dāng)OQ=PQ時，解得（舍去），或綜上所述存在t，使得△OPQ為等腰三角形，其中，，【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題中的等腰三角形存在性問題，解題的關(guān)鍵是用時間t表示三角形的邊長，計算量有點(diǎn)大，但是如果注意計算技巧不是太難.18．如果一個三角形有兩個頂點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)的平方和等于橫坐標(biāo)積的二倍，且這兩個頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，則稱這個三角形為垂軸三角形，這兩點(diǎn)稱為垂頂點(diǎn)．(1)若已知，，，判斷是否為垂軸三角形；(2)如圖，為垂軸三角形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，．若，以為邊作等邊，頂點(diǎn)P在落在第二象限，平分，且，連接交y軸于點(diǎn)E．①探究與的位置關(guān)系；②若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)F的坐標(biāo)