第07講-直線的方程(一)：直線方程的幾種形式(人教A版2019選擇性必修第一冊)(原卷版)

第07講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式【人教A版2019】·模塊一直線的點斜式、斜截式方程·模塊二直線的兩點式、截距式方程·模塊三直線的一般式方程·模塊四方向向量與直線的參數(shù)方程·模塊五課后作業(yè)模塊一模塊一直線的點斜式、斜截式方程1．直線的點斜式方程(1)直線的點斜式方程的定義：

設(shè)直線l經(jīng)過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.

(2)點斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.②當(dāng)已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.【考點1直線的點斜式方程及辨析】【例1.1】（2023春·安徽池州·高二聯(lián)考階段練習(xí)）過點(?3,5)且傾斜角為150°的直線l的方程為（A．y=?3x+2 C．y=3x+8 【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程y=kx?2表示（

A．通過點2,0的所有直線 B．通過點2,0且不垂直于y軸的所有直線C．通過點2,0且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點2,0且除去x軸的所有直線【變式1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如下圖，直線l的方程是（

）A．3x?y?3=0C．3x?3y?1=0 D．【變式1.2】（2023春·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）直線l1：3x?y+1=0，直線l2過點1,0，且它的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線lA．y=6x+1 B．y=6x?1 C．y=34【考點2直線的斜截式方程及辨析】【例2.1】（2022秋·重慶南岸·高二?？计谥校┙?jīng)過點A2,3，且傾斜角為π4的直線的斜截式方程為（A．y=x+1 B．y=x?1 C．y=?x?1【例2.2】（2023·高二課時練習(xí)）下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（

）A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－1【變式2.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）傾斜角為30°，且過點(?2,0)的直線斜截式方程為．【變式2.2】（2022秋·上海浦東新·高二校考階段練習(xí)）過點P3,4且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是模塊二模塊二直線的兩點式、截距式方程1．直線的兩點式方程(1)直線的兩點式方程的定義：設(shè)直線l經(jīng)過兩點()，則方程叫作直線l的兩點式方程.

(2)兩點式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)時，直線方程為(或).

③當(dāng)時，直線方程為(或).2．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過的點的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.【考點1直線的兩點式方程及辨析】【例1.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線l過點A(?1,1),B(2,4)，則直線l的方程為（

）A．y=x?2 B．y=?x?2 C．y=?x+2 D．y=x+2【例1.2】（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀┻^點A(?2,2)和點B(4,?1)的直線在y上的截距為（

）A．1 B．2 C．?1 D．?2【變式1.1】（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知△ABC的三個頂點分別為A1,1,B3,1,C4,5，M為ABA．2x+y?3=0 B．2x?y+3=0C．2x+y+3=0 D．2x?y?3=0【變式1.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過?2,?2、2,4兩點，點1348,m在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【考點2直線的截距式方程及辨析】【例2.1】（2022·高二課時練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A．x?3+yC．x?3?y【例2.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）過點(3,?4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A．y=?x?1 B．y=43x C．【變式2.1】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€l過A?2,1，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線l的方程是（

A．x+2y=0或x?yC．x?y?1=0或x+y【變式2.2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點P1，4在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對值相等的直線有（

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條模塊三模塊三直線的一般式方程1．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.

對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)，當(dāng)B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時，它表示垂直于y軸的直線.

當(dāng)B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.2．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個定點；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程【考點1直線的一般式方程及辨析】【例1.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點(0,?1)，且傾斜角為60°的直線的一般式方程為（

）A．3x?y?1=0 B．3x?y+1=0 C．x?3【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，直線x?2y+3=0經(jīng)過（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【變式1.1】（2023·高二課時練習(xí)）若直線(a?1)x?y?a=0不通過第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1,+∞) B．(1,+∞) C．(?∞,0)∪[1,+∞) D．(0,1)【變式1.2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知直線l:Ax+By+C=0（A，B不同時為0），則下列說法中錯誤的是（

）A．當(dāng)B=0時，直線l總與x軸相交B．當(dāng)C=0時，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點OC．當(dāng)A=C=0時，直線l是x軸所在直線D．當(dāng)AB≠0時，直線l不可能與兩坐標(biāo)軸同時相交【考點2直線一般式方程與其他形式之間的互化】【例2.1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過點(1,?1)且斜率為12的直線lA．3x+2y?7=0 B．2x+y?4=0C．x?2y?3=0 D．x?2y+3=0【例2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點4,0和0,?3的直線方程為（

）A．3x?4y?1=0 B．xC．x4?y【變式2.1】（2023秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）直線m:3x?3y+1=0與直線n:x=0的夾角為（A．120° B．60° C．45°【變式2.2】（2023秋·甘肅蘭州·高二校考期末）已知直線l過點(2,4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為（

）A．x+2y?10=0 B．x+2y+10=0C．2x?y=0或x+2y?4=0 D．2x?y=0或x模塊四模塊四方向向量與直線的參數(shù)方程1．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實數(shù)t是對應(yīng)點P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).

由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.【考點1求直線的方向向量】【例1.1】（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）直線2x+3y?3=0的一個方向向量是（

）A．2,?3 B．2,3 C．3,?2 D．3,2【例1.2】（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）直線2mx+my?3=0的一個方向向量是（

）A．1,2 B．2,?1 C．2,1 D．1,?2【變式1.1】（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）已知經(jīng)過A0,2，B1,0兩點的直線的一個方向向量為1,k，那么k=（A．?2 B．?1 C．?12【變式1.2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點?3,4且方向向量為1,?2，則l在x軸上的截距為（

）A．?1 B．1 C．?5 D．5【考點2根據(jù)直線的方向向量求直線方程】【例2.1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）經(jīng)過點1,1，且方向向量為1,2的直線方程是（

）A．2x?y?1=0 B．2x+y?3=0C．x?2y+1=0 D．x+2y?3=0【例2.2】（2022秋·廣東廣州·高二?？计谀┡c向量a=1,27平行，且經(jīng)過點A．y=27x?C．y=72x?18【變式2.1】（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點?1,4，且它的一個方向向量為n=?2,4，則（A．直線l的點斜式方程為y?4=?B．直線l的斜截式方程為x=?C．直線l的截距式方程為x+D．直線l的一般式方程為x+2y?7=0【變式2.2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎本€l：2m+1x+m+1y+m=0經(jīng)過定點P，直線l′經(jīng)過點P，且l′的方向向量aA．2x?3y+5=0 B．2x?3y?5=0C．3x?2y+5=0 D．3x?2y?5=0模塊五模塊五課后作業(yè)1．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二?？计谀┰谙铝兴膫€命題中，正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大B．過點P(x0C．經(jīng)過兩個不同的點P1x1,D．經(jīng)過點1,1且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y?2=02．（2022秋·新疆喀什·高二?？计谀┲本€l的傾斜角是60°，在y軸上的截距是-2，則直線l的方程是（

A．y=3x?2 C．y=33x?23．（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過兩點A3,?5，B?5,5的直線在y軸上的截距為（A．?54 B．54 C．?4．（2023秋·遼寧沈陽·高二?？计谀┻^點A1,2在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

A．y=2x B．x+y?3=0C．x=y或x+y?3=0 D．y=2x或x+y?3=05．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如果AB>0且BC<0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四6．（2022秋·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）直線l1:y=ax+b與直線l2A． B．C． D．7．（2023春·山東青島·高二?？奸_學(xué)考試）已知直線l:x+y?4=0.則下列結(jié)論正確的是（

）A．點2,?2在直線l上 B．直線l在y軸上的截距為?4C．直線l的傾斜角為3π4 D．直線l的一個方向向量為8．（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校┻^點P（1，1）作直線l，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條9．（2022秋·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）直線l經(jīng)過點A1,2，在x軸上的截距的取值范圍是?3,3，則其斜率的取值范圍是（

A．?1,12 C．?∞,?1∪10．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線l:ax+y+1=0與連接A(2,3),B(?3,2)的線段相交，則a的取值范圍是（

）A．[?1,2] B．[2,+∞)∪(?∞,?1) C．11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）把直線l的一般式方程x?2y+6=0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形.12．（2022秋·甘肅白銀·高二?？计谥校└鶕?jù)下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式.(1)斜率是?12，且經(jīng)過點(2)在x軸和y軸上的截距分別是32和?3(3)經(jīng)過點2,?3，且一個方向向量為a=13．（2022秋·廣西