巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問題

巧用數(shù)形結(jié)合思想解二次函數(shù)中的問題摘要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來。通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題，數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”兩個方面，已經(jīng)成為當今數(shù)學的特色之一，它使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學方法。本文通過例題分析了解“數(shù)形結(jié)合思想”來解決二次函數(shù)中的問題，因為此類問題的特點是若僅進行代數(shù)推理,亦能解決,但運算繁、技巧強、難度大若以形助數(shù),則運算簡、技巧弱、難度小。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想二次方程和不等式二次函數(shù)由于初中的“二次函數(shù)”的問題，歷年來都是中考的熱點，因此，我從用“數(shù)形結(jié)合”思維思想來談一談這些問題。一、數(shù)形結(jié)合思想概述法國著名的自然辨證哲學家恩格斯曾經(jīng)說過“數(shù)學是研究現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學”。數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面。借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟一條重要的途徑．因此，數(shù)形結(jié)合不應僅僅作為一種解題方法．而應作為一種重要的數(shù)學思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂教學中多媒體的應用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。有利于突破教學難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，營造愉快的課堂教學氣氛，激發(fā)學生的學習興趣，使學生喜歡數(shù)學，愛學數(shù)學．“數(shù)”與“形”作為數(shù)學中最古老最重要的兩個方面．一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣．有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微．數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體。永遠聯(lián)系．切莫分離!”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致．“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學中的一種重要思想，它在初、高中都是解決許多問題得重要思想，特別是在高中數(shù)學中占有極其重要的地位，關(guān)于這一點，我們只要翻閱近年高考試卷就可以一目了然。在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應用廣泛．大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復數(shù)和三角函數(shù)等問題中，與此同時“數(shù)形結(jié)合”思想在二次函數(shù)中的應用在中、高考命題中解決問題也成了必不可少的部分，也是平時學習二次函數(shù)解決應用問題的一個重點。巧妙運用“數(shù)形結(jié)合”思想解題．可以化抽象為具體，達到事半功倍的效果。二、二次函數(shù)與系數(shù)之間的關(guān)系，，00cf(0)10b020c所以b2c5b0c2①②③④。由①、②、④得20c≤b≤100,0<c<5,所以當c=1時，有②、③得：0<b<6且b2≥20，得b=5；2當c=2時，0<b<7且b≥40，此時b無整數(shù)解；當c=3時，0<b<8且b2≥60，此時b無整數(shù)解；當c=4時，0<b<9且b2≥80，此時b無整數(shù)解；所以b=5，c=10。四、數(shù)形結(jié)合可以求得平移后的拋物線解析式，比較函數(shù)值的大小。例1：如圖2，把此拋物線線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，則該拋物線對應的解析式為：。若把新的拋物線再向右平移2個單位，向下平移3個單位，則此時拋物線對應的函數(shù)解析式為：。解：1、由于是繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，所以頂點的坐標不變，對稱軸不變，所以設原拋物線的解析式為：Y=a（x+1）2+4，又因為過了A點（1,0），帶入解析式得到：a=-1，所以原函數(shù)的解析式為：Y=-（x+1）2+4，故繞頂點旋轉(zhuǎn)180°后，只有開口變了，所以新函數(shù)的解析式為：Y=（x+1）2+4。2、因為拋物線圖象的平移本質(zhì)上是把握點的平移。只要把握好規(guī)律，結(jié)合圖形的變換，做到做“+”右“-”，上“-”下“＋”這樣就很容易得到此時的函2數(shù)解析式：Y=（x-1）-1。例2：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）是拋物線上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的兩點，則ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。變式１：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（４，ｙ２）是拋物線上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的兩點，則ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。變式２：若Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋２，ｙ２）是拋物線上２ｙ＝ａ（ｘ－１）＋ｃ（ａ＞０）上的兩點，當ｍ取何值時，ｙ１＝ｙ２？ｙ１＞ｙ２？解：因為ａ＞０，開口向上，又從圖中看到ｘ＝１是函數(shù)的對稱軸，又因為函數(shù)圖象與ｙ軸的交點在ｙ軸的負方向，所以ｃ＜０，所以得出：當ｘ≥１時，ｙ隨ｘ的增大而增大；當ｘ＜０時，ｙ隨ｘ的增大而減小。因此：（１）因為－２＜－１＜０，所以ｙ１＜ｙ２；（２）因為－１＜０＜４，所以ｙ１＜ｙ２；（３）要使ｙ１＝ｙ２，則｜ｘ１－ｘ２｜＝１，即是ｘ１、ｘ２關(guān)于ｘ＝１對稱，所以就有：ｍ－（ｍ－２）＝１，解得：ｍ∈Ｒ，所以無論ｍ取何值，ｙ１＝ｙ２；很明顯ｍ＜ｍ＋２，要得到ｙ１＞ｙ２，從圖像可知：在對稱軸的右側(cè)，則只要ｍ≥１就行。五、從函數(shù)的“形”到方程的“數(shù)”，使推理判斷更準確例1．如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖像的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，球路的最高點B(8，9)，則這個二次函數(shù)的表達式為，小孩將球拋出了約米(精確到0．1m)。解：由題意和圖像可可知，設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)2+9，將點A(0，1)代入，得a=-1/8。所以該二次函數(shù)的解析式為：y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,則有-1/8x2+2x+1=0，解得：62，62,所以C（88A0）,x16.5(米)O628OC注：從“形”到“數(shù)”的問題時，應注意觀察函數(shù)圖像的形狀特征，充分挖掘圖像的已知條件，確定函數(shù)的解析式，從而利用函數(shù)的性質(zhì)來解。六、“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的綜合應用例1：市“健益”超市購進一批20元／千克的綠色食品，如果以30元／千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量v(千克)與銷售單價x(元)(x≥30)存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式。(1)試求出v與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?(3)根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元．現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍。解：(1)設y=kx+b，由圖像可知,1000b200b40k-20,解得k400b30k所以一次函數(shù)的表達式為：y=-20x+1000,(30≤x≤50)。(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00)=-20x2+1400x-20000又因為a=一20<0，所以P有最大值。(或通過配方，P一20(x一35)+4500，也可求得最大值)答：當銷售單價為35元／千克時，每天可獲得最大利潤4500元。(3)因為4180≤-20(x-35)+4500≤4480，1≤(x一35)≤16，所以31≤x≤34或36≤x≤39。注：在解決二次函數(shù)問題時，要注意“由數(shù)想形，以形助數(shù)”的方法，充分挖掘題目中的已知條件，從而創(chuàng)造性地解決問題。（-20）14004500元235時，pmax當x七、結(jié)語在學習二次函數(shù)中“數(shù)”、“形”并進，讓學生見“數(shù)”想到“形”。見“形”不忘“數(shù)”。在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價原則；數(shù)形互補原則；求解簡單原則。當然在在用數(shù)形結(jié)合的思想解決“二次函數(shù)”中的問題時，還應掌握以下幾點：1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系。2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關(guān)系。3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應關(guān)系，以圖識性，以性識圖?？傊?，二次函數(shù)的問題，在數(shù)形結(jié)合中來解決就顯得不是那么的難，都是“二次方程、不等式”的“數(shù)”與二次函數(shù)的“形”之間相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)與形的結(jié)合就是解決二次函數(shù)，以及所有函數(shù)問題得一雙慧眼。參考文獻：[1]姚立新．數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法在解題中的應用[J]，2005，1．[2]蔡東興．數(shù)形結(jié)合思想方法的應用[J］．中學數(shù)學教與學，2009，2．[