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文檔簡介

2.3.3直線與平面垂直的性質

直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言

?a∥b圖形語言

【思考】線面垂直的性質定理提供了“垂直”與“平行”關系轉化的依據(jù),你能想到其他轉化依據(jù)嗎?提示:

【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)三角形的兩邊可以垂直于同一個平面. (

)(2)垂直于同一個平面的兩條直線一定共面. (

)(3)過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直. (

)提示:(1)×.若三角形的兩邊垂直于同一個平面,則這兩條邊平行,不能構成三角形.(2)√.由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個平面.(3)√.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質定理可得這兩條直線平行,應無公共點,這與過同一點相矛盾,故只有一條直線.2.在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上),過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是 (

)

A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行【解析】選B.由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面,所以它們平行.3.直線n⊥平面α,n∥l,直線m?α,則l,m的位置關系是 (

)A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直【解析】選D.因為直線n⊥平面α,n∥l,所以l⊥平面α,又因為直線m?α,所以l⊥m.類型一直線與平面垂直的性質的應用【典例】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.【思維·引】證明EF與BD1都與平面AB1C垂直.【證明】連接AB1,B1C,BD,B1D1,如圖所示.因為DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因為AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因為EF⊥A1D,且A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因為EF⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.【素養(yǎng)·探】在與線面垂直性質應用有關的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過判定直線與平面的垂直,得到直線與直線平行,實現(xiàn)“平行”與“垂直”的轉化.將本例正方體滿足的條件改為“M是AB上一點,N是A1C的中點,MN⊥平面A1DC”求證:MN∥AD1.【證明】因為ADD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1.所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【類題·通】證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義:證共面且無公共點.(2)利用三線平行公理:證兩線同時平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質定理:把證線線平行轉化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質定理:把證線線平行轉化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質定理:把證線線平行轉化為證面面平行.【習練·破】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點,M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求證:AE∥MN.【證明】因為AB⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.因為AD=AP,E是PD的中點,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC,PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【加練·固】如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,B為垂足,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l.【證明】因為EB⊥β,a?β,所以EB⊥a.又因為a⊥AB,AB∩EB=B,所以a⊥平面ABE.因為α∩β=l,所以l?α,l?β.因為EA⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.又因為EA∩EB=E,所以l⊥平面ABE.所以a∥l.類型二直線與平面垂直的判定與性質的綜合應用【典例】(2019·贛州高一檢測)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D,F分別是A1B1,BB1的中點.(1)求證:C1D⊥AB1.(2)求證:AB1⊥平面C1DF.【思維·引】(1)要證C1D⊥AB1,需證C1D⊥平面AA1B1B,需證C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可證.(2)要證AB1⊥平面C1DF,需證AB1⊥DF,需證A1B⊥AB1,需證四邊形AA1B1B為正方形,由已知可證.【證明】(1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中點,所以C1D⊥A1B1,因為AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又因為AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,又因為AB1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.(2)連接A1B,因為D,F分別是A1B1,BB1的中點,所以DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四邊形AA1B1B為正方形,所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,又(1)已證C1D⊥AB1

,又DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.【素養(yǎng)·探】在與線面垂直判定和性質綜合應用有關的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,常見的推理形式有:(1)l⊥α,m?α?l⊥m.(2)l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a?α,b?α?l⊥α.(3)l⊥α,l∥m?m⊥α.(4)l⊥α,m⊥α?l∥m等.將本例直三棱柱滿足的條件改為“E,F分別在BC,B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1”求證:B1E⊥平面A1C1F.【證明】因為直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥CC1,又因為A1C1⊥B1C1.B1C1∩CC1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,因為B1E?平面BCC1B1,所以A1C1⊥B1E,因為B1E⊥C1F,A1C1∩C1F=C1,所以B1E⊥平面A1C1F.【類題·通】線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直,一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面,為此分析題設,觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內的兩條相交直線,這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來.【習練·破】如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥BE.【證明】因為AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,所以AE⊥BC.因為BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF.因為BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,所以AE⊥BE.【加練·固】如圖,在四面體PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BC=.(1)求四面體PABC的四個面的面積中,最大的面積是多少?(2)證明:在線段PC上存在點M,使得AC⊥BM,并求的值.【解析】(1)由題設AB=1,AC=2,BC=,可得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB,PA⊥AC,所以PB=.又由于PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以BC⊥PB,所以△ACB,△PAC,△PAB,△PCB均為直角三角形,且△PCB的面積最大,S△PCB=

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