【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修五導學案：《基本不等式》

第5課時基本不等式1.把握基本不等式,能借助幾何圖形說明基本不等式的意義.2.能夠利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值時要留意“一正二定三相等”.如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標,會標是依據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱忱好客.在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形,設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,那么正方形的邊長為a2問題1:上述情境中,正方形的面積為,4個直角三角形的面積的和,由于4個直角三角形的面積之和不大于正方形的面積,于是就可以得到一個不等式:,我們稱之為重要不等式,即對于任意實數(shù)a,b,都有當且僅當時,等號成立.

我們也可以通過作差法來證明:-=(a-b)2≥0,

所以,當且僅當a=b時取等號.

問題2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),則a+b2

ab,當且僅當時問題3:對于基本不等式,請嘗試從其他角度予以解釋.(1)基本不等式的幾何解釋:在直角三角形中,直角三角形斜邊上的斜邊上.在圓中,半徑不小于半弦長.

(2)假如把a+b2看作正數(shù)a、b的,ab看作正數(shù)a、b的,那么該定理可以敘述為:兩個正數(shù)的(3)在數(shù)學中,我們稱a+b2為a、b的,稱ab為a、b的.因此,兩個正數(shù)的問題4:由基本不等式我們可以得出求最值的結論:(1)已知x,y∈(0,+∞),若積x·y=p(定值),則和x+y有最值,當且僅當x=y時,取“=”.

(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),則積x·y有最值,當且僅當x=y時,取“=”.

即“積為常數(shù),;和為常數(shù),”.

概括為:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的證明過程中,正確的是().A.若a,b∈R,則ab+ba≥2aB.若a,b∈R+,則lga+lgb≥2lgC.若x為負實數(shù),則x+2x≥-2x·2D.若x為負實數(shù),則3x+3-x≥23x·2.下列不等式肯定成立的是().A.lg(x2+14)>lgx(x>0) B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,kC.a+2b+2>ab(b>a>0) D.1|x|3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,則1x+1y的最小值為4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證:ad+bcbd+bc基本不等式求最值(1)已知x>54,求函數(shù)y=4x-2+14(2)已知正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.利用基本不等式證明不等式已知x、y都是正數(shù),求證:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.單調(diào)性與基本不等式設函數(shù)f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當0<a<1時,求函數(shù)f(x)的最小值.(1)設0<x<32,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值(2)若-4<x<1,求x2-設a,b,c都是正數(shù),求證:bca+acb+ab求函數(shù)y=x2+51.下列不等式中恒成立的是().A.x2+2x2+2≥2 C.x2+4x2+5≥3 D.2-2.當點(x,y)在直線x+3y-2=0上移動時,表達式3x+27y+1的最小值為().A.3 B.5 C.1 D.73.已知0<x<13,則x(1-3x)取得最大值時,x的值是4.已知a、b、c是不全相等的正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.(2011年·重慶卷)若函數(shù)f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a處取最小值,則a等于(A.1+2 B.1+3 C.3 D.4考題變式(我來改編):第5課時等差數(shù)列的應用學問體系梳理問題1:(1)am+an=ap+aqam+an=2ap(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2問題2:(1)最大最小(2)m2d(3)ndan+1ana問題3:(1)an-an-1(2)an+an-2(3)pn+q(4)an2+bn(a,b為常數(shù))問題4:(2)y=d2x2+(a1-d2)x(3基礎學習溝通1.B由于2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.2.B∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13=13(a1+a3.130設公差為d,則a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+13×122d=13(a1+6d)4.解:由已知得,{an}是首項為正,公差為負的遞減等差數(shù)列.由a11a10<-1得a10+a11<0且a10>0,a11∴S20=20(a1+a20)2=20(a10而S19=19a10>0,∴Sn取最小正值時n=19.重點難點探究探究一:【解析】(法一)設所求的通項公式為an=a1+(n-1)d,則(即a把①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7,③∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=±35當d=35時,a1=-15,an=-15+(n-1)·35=當d=-35時,a1=415,an=415+(n-1)·(-35)=-(法二)∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得a3+a13由a3=1,a13=7得d=a13-a313∴an=a3+(n-3)·35=35n-由a3=7,a13=1,同理可得:an=-35n+44【小結】留意到等差數(shù)列中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,則am+an=ap+aq,而a3,a8,a13中的下標3,8,13間的關系:3+13=8+8,從而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∵S3=9,S6=36,S6-S3=27,∴a7+a8+a9=S9-S6=45.【小結】數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項和是Sn,那么Sm,S2m-Sm,…,S(k+1)m-Skm,…(k∈N+)是等差數(shù)列.探究三:【解析】(1)依題意有:a解之得公差d的取值范圍為-247<d<-3(2)(法一)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中Sk為最大值的條件為:ak≥0且ak+1<0,即a∵a3=12,∴kd≥3d-12,kd<2d-12.∵d<∵-247<d<-3,∴72<-12d<4,得5.5∵k是正整數(shù),∴k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大.(法二)由d<0得a1>a2>…>a12>a13,因此若在1≤k≤12中有自然數(shù)k,使得ak≥0,且ak+1<0,則Sk是S1,S2,…,S12中的最大值.又∵2a7=a1+a13=213S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=16S12>0,∴a6>-a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6(法三)依題意得:Sn=na1+n2(n-1)d=n(12-2d)+d2(n2-n)=d2[n-12(5-24d)]2-d8(∵d<0,∴[n-12(5-24d)]2最小時,Sn∵-247<d<-3,∴6<12(5-24d)<6從而,在正整數(shù)中,當n=6時,[n-12(5-24d)]2∴S6最大.【小結】嫻熟應用前n項和公式及其函數(shù)意義解題.思維拓展應用應用一:∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.應用二:∵SnS'

n=n∴a9b9=2a92b應用三:(1)設等差數(shù)列的公差為d,則由a5+a7=4,a6+a8=-2,得(a1所以數(shù)列{an}的通項公式為an=20-3n.(2)由20-3n≥0,20由于n∈N+,所以n=6,故前n項和Sn的最大值為S6=6×17+6×52×(-3)基礎智能檢測1.D由a32+a82+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,∵an<0,∴a3+a8=-3,∴S10=10(a1+a10)2=5(a3+a2.A由題意,得:-am<a1<-am+1?a1+am>0,a1+am+1<0,易得Sm=a1+a3.2n+3由題意得Snn=n+4,即Sn=n2+4n,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3,當n=1時,a