第一類曲線積分

第一類曲線積分一、第一類曲線積分的概念引列設(shè)有一曲線形物體所占的位置是xOy面內(nèi)的一段曲線L，它的端點(diǎn)是A，B，它的質(zhì)量分布不均勻，其線密度為ρ(x,y)，試求該物體的質(zhì)量M(見圖10-1).圖10-1一、第一類曲線積分的概念分析如果該物體的線密度為常量，那么它的質(zhì)量可用公式

質(zhì)量=線密度×長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算.由于該物體上各點(diǎn)處的線密度是變量，所以不能用上述公式來(lái)計(jì)算.下面采用以下幾個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.(1)分割.在L上任意插入一點(diǎn)列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n個(gè)小段，相應(yīng)地，曲線形物體也分成n個(gè)小段，每一小段的質(zhì)量為ΔMi(i=1,2,…,n)，則該曲線形物體的質(zhì)量一、第一類曲線積分的概念(2)近似.取其中一小段物體Mi－1Mi(其長(zhǎng)度記為Δsi)來(lái)考慮,當(dāng)Δsi很小時(shí)，其上的線密度可以近似看成是不變的常數(shù)，它近似等于該小段上任一點(diǎn)ξi,ηi處的線密度ρ(ξi,ηi)，于是，該小段的質(zhì)量ΔM

i可近似表示為ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δsi(i=1,2,…,n).(3)求和.該曲線形物體的質(zhì)量一、第一類曲線積分的概念(4)取極限.設(shè)λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，當(dāng)λ→0時(shí)取上述和的極限，于是整個(gè)曲線形物體的質(zhì)量這種和的極限在研究其他問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，于是將其抽象出來(lái)，得到第一類曲線積分的定義.一、第一類曲線積分的概念定義1設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)fx,y在L上有界.在L上任意插入一點(diǎn)列M1,M2,…,Mn-1把L分成n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為Δsi，又ξi,ηi為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn).如果當(dāng)小弧的長(zhǎng)度的最大值λ→0時(shí)，∑ni=1fξi,ηiΔsi的極限是存在的，則稱此極限為函數(shù)fx,y在曲線弧L上的第一類曲線積分或?qū)￠L(zhǎng)的曲線積分，記為∫Lfx,yds，即(10-1)

其中fx,y稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段，ds稱為弧長(zhǎng)元素.一、第一類曲線積分的概念函數(shù)fx,y在閉曲線L上的第一類曲線積分記為∮Lfx,yds.注式(10-1)中和式的極限存在的一個(gè)充分條件是函數(shù)f(x,y)在曲線L上連續(xù).因此，以后總假定f(x,y)在曲線L上是連續(xù)的，在此條件下，第一類曲線積分∫Lfx,yds總是存在的.根據(jù)第一類曲線積分的定義，引例中曲線形物體的質(zhì)量當(dāng)線密度ρ(x,y)在L上連續(xù)時(shí)，就等于ρ(x,y)在L上的第一類曲線積分，即M=∫Lρ(x,y)ds.一、第一類曲線積分的概念二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)α，β為常數(shù)，則∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)d

s+β∫Lg(x,y)ds.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)2設(shè)L由L1和L2兩段光滑曲線組成(記L=L1+L2)，則∫Lf(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)在L上有f(x,y)≤g(x,y)，則∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)4(中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在曲線L上連續(xù)，則在L上必存在一點(diǎn)(ξ,η)，使∫Lf(x,y)ds=f(ξ,η)·s，其中s是曲線L的長(zhǎng)度.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)5(奇、偶對(duì)稱性)設(shè)函數(shù)f(x，y)在曲線L上連續(xù).若曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，則二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)6(輪換對(duì)稱性)設(shè)函數(shù)f(x，y)在曲線L上連續(xù)，若曲線L中將x與y互換后，L變?yōu)長(zhǎng)′,則∫Lf(x,y)ds=∫L′f(y,x)ds.特別地，若L關(guān)于y=x對(duì)稱，則∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds.對(duì)于積分∫Γf(x,y,z)ds也有相應(yīng)的性質(zhì)，讀者可自行寫出.三、第一類曲線積分的計(jì)算定理1設(shè)有曲線三、第一類曲線積分的計(jì)算求半徑為R,中心角為2α的圓弧L的質(zhì)心(設(shè)線密度ρ=1).

解取坐標(biāo)系如圖10-2所示.【例1】圖10-2三、第一類曲線積分的計(jì)算三、第一類曲線積分的計(jì)算求∮L|y|ds,其中L