電磁場(chǎng)與麥克斯韋方程組

電磁場(chǎng)與麥克斯韋方程組大家知道，靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒磁場(chǎng)是各自獨(dú)立、互不相關(guān)的.但是，激發(fā)靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒磁場(chǎng)的源——電荷和電流卻是相互關(guān)聯(lián)的，這就可以聯(lián)想到電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間也一定存在著相互聯(lián)系、相互制約的關(guān)系.既然電流能夠激發(fā)磁場(chǎng)，那么能不能利用磁場(chǎng)來(lái)產(chǎn)生電流呢?為此歷史上曾進(jìn)行了許多實(shí)驗(yàn)研究，終于發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，即當(dāng)穿過(guò)閉合導(dǎo)體回路中的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就出現(xiàn)了電流.這一重大發(fā)現(xiàn)不僅闡明了變化磁場(chǎng)能夠激發(fā)電流這一關(guān)系，還進(jìn)一步揭示了電與磁的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)了電磁理論的發(fā)展，在科學(xué)和技術(shù)上產(chǎn)生了極其重要的影響.根據(jù)電磁感應(yīng)原理，人們?cè)O(shè)計(jì)并制成了發(fā)電機(jī)、感應(yīng)電動(dòng)機(jī)和變壓器等電力設(shè)備，為現(xiàn)代化大規(guī)模生產(chǎn)、傳輸和使用電能開(kāi)辟了道路，成為第二次工業(yè)革命的開(kāi)端，使人類邁向了電氣化時(shí)代.1865年，麥克斯韋又在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了渦旋電場(chǎng)和位移電流的假設(shè)，進(jìn)一步闡述了變化著的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以互相激發(fā)產(chǎn)生，并提出了電場(chǎng)和磁場(chǎng)是一個(gè)統(tǒng)一的整體——電磁場(chǎng)的理論.麥克斯韋根據(jù)電磁場(chǎng)理論還預(yù)言了電磁波的存在，并計(jì)算出電磁波的傳播速度等于光速.他的這一預(yù)言不僅被赫茲的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，而且得到了廣泛的應(yīng)用.本章將首先討論電磁感應(yīng)的基本定律，然后討論感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的機(jī)理、磁場(chǎng)能量等問(wèn)題.并在靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒磁場(chǎng)和電磁感應(yīng)研究的基礎(chǔ)上，介紹統(tǒng)一的電磁場(chǎng)概念和麥克斯韋方程組.電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一、1820年，奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，從一個(gè)側(cè)面揭示了長(zhǎng)期以來(lái)一直被認(rèn)為彼此獨(dú)立的電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系.既然電流可以激發(fā)磁場(chǎng)，人們自然想到，磁場(chǎng)是否也能產(chǎn)生電流?于是，許多科學(xué)家開(kāi)始對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行探索和研究.法拉第年輕時(shí)，一直堅(jiān)信自然界的一切力都應(yīng)當(dāng)是相互聯(lián)系的，并且能相互轉(zhuǎn)化.在得知穩(wěn)恒電流能激發(fā)穩(wěn)恒磁場(chǎng)的消息后，他制定了穩(wěn)恒磁場(chǎng)也應(yīng)該能夠產(chǎn)生電流的研究思路，依據(jù)這個(gè)思路他做了大量的實(shí)驗(yàn)，但所有實(shí)驗(yàn)均失敗了.電流的周圍存在磁場(chǎng)，而磁鐵的周圍卻沒(méi)有電流，研究磁場(chǎng)產(chǎn)生電流的問(wèn)題存在著更大的困難.圖10-1為法拉第最早成功的電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn).他把兩個(gè)線圈繞在一個(gè)鐵環(huán)的兩邊，線圈A接直流電源，線圈B的兩端用一根較長(zhǎng)的銅導(dǎo)線連接起來(lái).在離鐵環(huán)較遠(yuǎn)處的銅導(dǎo)線附近放一個(gè)小磁針.他發(fā)現(xiàn)，每當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S，線圈A通電時(shí)，小磁針立即明顯擺動(dòng)，隨后穩(wěn)定在平衡位置上.當(dāng)切斷線圈A與電源的連接時(shí)，小磁針又出現(xiàn)來(lái)回?cái)[動(dòng)的現(xiàn)象.這表明，在線圈通電和斷電的瞬間，線圈B中有電流產(chǎn)生，這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象.圖10-1法拉第最早的電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)為了深入研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，法拉第等人還做過(guò)許多其他實(shí)驗(yàn)，大致可以歸納為兩類.一類是當(dāng)一個(gè)不含電源的閉合導(dǎo)體回路與磁鐵，如圖10-2(a)所示，或另一個(gè)載流線圈，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，閉合回路中出現(xiàn)電流，如圖10-2(b)所示；另一類是當(dāng)一個(gè)線圈中的電流發(fā)生變化時(shí)，在它附近的另一個(gè)不含電源的閉合導(dǎo)體回路中出現(xiàn)電流，如圖10-2(c)所示.圖10-2兩類電磁感應(yīng)現(xiàn)象而且這兩類實(shí)驗(yàn)可以用一個(gè)統(tǒng)一的思想加以描述，那就是當(dāng)穿過(guò)閉合回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，閉合回路中出現(xiàn)電流.這種電流并不是與原電流本身有關(guān)，而是與原電流的變化有關(guān).法拉第將這種現(xiàn)象與靜電感應(yīng)類比，稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象，將所產(chǎn)生的電流稱為感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的出現(xiàn)說(shuō)明回路中有電動(dòng)勢(shì)存在，這種電動(dòng)勢(shì)稱為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).楞次定律二、1833年，俄國(guó)物理學(xué)家楞次在法拉第實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一條可以直接判斷感應(yīng)電流方向的定律.閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場(chǎng)來(lái)阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，這個(gè)規(guī)律稱為楞次定律.這里，所謂阻礙磁通量的變化是指當(dāng)磁通量增加時(shí)，感應(yīng)電流的磁通量與原來(lái)的磁通量方向相反，阻礙它增加；當(dāng)磁通量減小時(shí)，感應(yīng)電流的磁通量與原來(lái)的磁通量方向相同，阻礙它減少.用楞次定律判斷感應(yīng)電流方向的步驟是：首先判斷穿過(guò)閉合回路的磁通量的方向，磁通量是增加還是減少；然后根據(jù)楞次定律來(lái)確定感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場(chǎng)的方向，與原來(lái)的磁場(chǎng)反向還是同向；最后根據(jù)右手螺旋法則從感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向確定感應(yīng)電流的方向.下面以磁鐵移向線圈為例具體說(shuō)明這個(gè)過(guò)程.在圖10-3(a)中，當(dāng)磁鐵插入線圈時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量增加，按照楞次定律，感應(yīng)電流激發(fā)的磁通量應(yīng)與原磁通量反向；再根據(jù)右手螺旋法則，可知感應(yīng)電流的方向如導(dǎo)線中箭頭所示.相反，當(dāng)磁鐵拔出時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量在減少，感應(yīng)電流的方向如圖10-3(b)所示.當(dāng)穿過(guò)閉合的導(dǎo)線回路所包圍的面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，在回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，此感應(yīng)電流使它自己所產(chǎn)生的磁場(chǎng)穿過(guò)回路面積的磁通量，去抵償引起感應(yīng)電流的磁通量.圖10-3磁通量增減與感應(yīng)電流的方向楞次定律也可以用另一種方式來(lái)表述，感應(yīng)電流的方向，總是使感應(yīng)電流產(chǎn)生的效果，反抗引起感應(yīng)電流的原因.同樣是圖10-3(a)所示的實(shí)驗(yàn)，當(dāng)磁鐵向左插入線圈時(shí)，線圈也相當(dāng)于一個(gè)磁鐵，N極向右，與磁鐵的N極相對(duì)，兩個(gè)同性磁極互相排斥，其效果是反抗磁鐵插入.而在圖10-3(b)所示的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)磁鐵拔出時(shí)，感應(yīng)電流使線圈的S極出現(xiàn)在右端，它與磁鐵的N極互相吸引，其效果是阻礙磁鐵拔出.在并不要求具體確定感應(yīng)電流方向，只需判明感應(yīng)電流引起的效果問(wèn)題上，使用楞次定律的第二種表述更為方便.楞次定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在電磁感應(yīng)中的具體體現(xiàn).例如，當(dāng)磁棒和線圈做相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，感應(yīng)電流在線圈中流動(dòng)將放出焦耳熱.根據(jù)能量守恒定律，這部分熱量只能從其他形式的能量轉(zhuǎn)化而來(lái).在上述例子中，當(dāng)把磁棒插入線圈或從線圈中拔出來(lái)時(shí)，都必須克服斥力或引力做功而消耗能量，正是這種非靜電性的作用力做功，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，將其他形式的能量轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流所釋放的焦耳熱.所以，電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)是通過(guò)非靜電性的作用產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，將其他形式的能量轉(zhuǎn)換為電能的過(guò)程.法拉第電磁感應(yīng)定律三、實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于任一給定回路，其中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與回路所包圍面積的磁通量變化的快慢有關(guān).磁通量變化的快慢，可以用磁通量對(duì)時(shí)間的變化率

來(lái)表示.麥克斯韋在法拉第對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量變化率之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即(10-1)式(10-1)即為法拉第電磁感應(yīng)定律.此式表明，當(dāng)穿過(guò)閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，不論這種變化是什么原因引起的，回路中都有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就等于磁通量對(duì)時(shí)間變化率的負(fù)值.應(yīng)當(dāng)指出，式(10-1)中的Φ是穿過(guò)回路所包圍面積的磁通量.如果回路是由N匝密繞線圈組成的，而穿過(guò)每匝線圈的磁通量都等于Φ，那么通過(guò)N匝密繞線圈的磁通量則為Ψ=NΦ，我們通常把Ψ稱為磁通鏈數(shù)（全磁通），則有

（10-2）式中，負(fù)號(hào)反映感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向與磁通量變化之間的關(guān)系.法拉第電磁感應(yīng)定律中的負(fù)號(hào)也可以看作楞次定律的數(shù)學(xué)表達(dá).電動(dòng)勢(shì)和磁通量都是標(biāo)量，其方向是相對(duì)于某一假定方向而言的，用正、負(fù)號(hào)表示.選定圖10-4所示的方向?yàn)榛芈返睦@行正方向，規(guī)定產(chǎn)生沿該方向的感應(yīng)電流的電動(dòng)勢(shì)為正；反之，電動(dòng)勢(shì)為負(fù).與該方向成右手螺旋關(guān)系的磁通量為正，反之為負(fù).那么,當(dāng)正向穿過(guò)回路包圍面積的磁通量增加時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為負(fù)，如圖10-4(a)所示；當(dāng)正向穿過(guò)回路包圍面積的磁通量減少時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為正，如圖10-4(b)所示.當(dāng)然，也可選與圖10-4相反的方向作為回路繞行正方向，判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方法與圖10-4類似.用這種方法確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向和用楞次定律確定的方向完全一致.要說(shuō)明一點(diǎn).因此，如何正確理解和運(yùn)用式(10-1)中的負(fù)號(hào)來(lái)判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向，是掌握好法拉第電磁感應(yīng)定律的一個(gè)重要方面.

圖10-4感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向（a）Φ>0,dΦ/dt>0,Ei<0（b）Φ>0,dΦ/dt<0,Ei>0應(yīng)該指出，導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)只與穿過(guò)回路的磁通量對(duì)時(shí)間的變化率有關(guān)，而與穿過(guò)回路的磁通量及回路的材質(zhì)無(wú)關(guān).因?yàn)榇磐恳话闶强臻g和時(shí)間的函數(shù)，所以導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也是空間和時(shí)間的函數(shù).注意，如果線圈不是閉合的，雖然沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，但感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)仍然存在.因此，在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)比感應(yīng)電流反映出更為本質(zhì)的東西.若導(dǎo)體回路的電阻為R，則回路的感應(yīng)電流為

（10-3）在t1→t2時(shí)間內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)體回路截面的感應(yīng)電量為

（10-4）

式中，t1時(shí)刻的磁通量為Φ1，t2時(shí)刻的磁通量為Φ2.此式表明，回路中的感