【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-點、直線、平面之間的位置關(guān)系測試題

建議用時實際用時錯題檔案45分鐘一、選擇題1．(2022·廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論肯定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時，l1⊥l4，故排解A、B、C，選D.【答案】D2．(猜測題)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】利用面面垂直的性質(zhì)定理及空間直線的位置關(guān)系，判定充分必要條件．當(dāng)α⊥β時，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性質(zhì)定理知，b⊥α.又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分條件．而當(dāng)a?α且a∥m時，∵b⊥m，∴b⊥a.而此時平面α與平面β不肯定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要條件，故選A.【答案】A3．(2021·江西高考)如圖，正方體的底面與正四周體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10D．11【解析】取CD的中點H，連接EH，HF.在四周體CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方體的左、右兩個側(cè)面與EF平行，其余4個平面與EF相交，即n＝4.又由于CE與AB在同一平面內(nèi)，所以CE與正方體下底面共面，與上底面平行，與其余四個面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.【答案】A4．(2022·云南第一次檢測)在三棱錐SABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H、D、E分別是AB、BC的中點，假如直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2)B.eq\f(45\r(3),2)C．45D．45eq\r(3)【解析】取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.由于SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D、E分別為AB、BC的中點，則H、F也為AS、SC的中點，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).【答案】A5．(創(chuàng)新題)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2)，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直【解析】找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量．對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合．在圖(2)中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相沖突，故A錯誤．對于選項B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故B正確．對于選項C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝eq\r(2)，AB＝1，BC＞AB，∴不存在這樣的直角三角形．∴C錯誤．由上可知D錯誤，故選B.【答案】B二、填空題6．(2022·浙江金華模擬)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上全部正確答案的序號)【解析】圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連線MG，則GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面．∴圖②、④中GH與MN異面．【答案】②④7．(原創(chuàng)題)已知正方形ABCD的邊長是1，對角線AC與BD交于O，將正方形ABCD沿對角線BD折成60°的二面角，并給出下面結(jié)論：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC為正三角形；④cos∠ADC＝eq\f(3,4)，則其中的真命題的序號是________．【解析】由于BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，于是AC⊥BD，所以①正確；由于折成60°的二面角，所以∠AOC＝60°，又OA＝OC，因此△AOC為正三角形，故③正確；cos∠ADC＝eq\f(1＋1－\f(\r(2),2)2,2)＝eq\f(3,4)，故④也正確．故選①③④.【答案】①③④8．(2022·安徽合肥二模)設(shè)m、n是兩條不同直線，α、β、γ是三個不同平面，給出下列四個命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若m∥α，m∥β，則α∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中正確命題的序號是________．【解析】①②正確；③中，若m∥α，m∥β，則α與β還有可能相交，故③不正確；④中，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β還有可能相交，故④不正確．【答案】①②三、解答題9．四周體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四周體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H.(1)求四周體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形．(1)【解】由該四周體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四周體體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).(2)【證明】∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形．10．(2022·深圳調(diào)研考試)如圖(1)，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CAB＝eq\f(π,4)，∠DAB＝eq\f(π,3).沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面相互垂直(如圖(2))，F(xiàn)為BC的中點，E為AO的中點．依據(jù)圖(2)解答下列各題：(1)求三棱錐CBOD的體積；(2)求證：CB⊥DE；(3)在eq\x\to(BD)上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．【解】(1)∵C為圓周上一點，且AB為直徑，∴∠ACB＝eq\f(π,2)，∵∠CAB＝eq\f(π,4)，∴AC＝BC.∵O為AB的中點，∴CO⊥AB.∵AB＝2，∴CO＝1.∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB相互垂直且其交線為AB，∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.∴CO就是點C到平面BOD的距離．S△BOD＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4)，∴VCBOD＝eq\f(1,3)S△BOD·CO＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).(2)證明：在△AOD中，∠OAD＝eq\f(π,3)，OA＝OD，∴△AOD為正三角形．又∵E為OA的中點，∴DE⊥AO，∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB相互垂直且其交線為AB，∴DE⊥平面ABC.∴CB⊥DE.(3)存在滿足題意的點G，G為eq\x\to(BD)的中點．證明如下：連接