2025年人教版七年級數(shù)學寒假復習 專題05 一元一次方程（4重點串講+13考點提升+過關檢測）

專題05一元一次方程考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺難點強化：難點內容標注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：一元一次方程的基礎方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程的判斷條件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.知識點2：等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數(shù)，或都除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質3：如果a=b，則b=a（對稱性）等式的性質4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯易混】1）利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2）等式兩邊同時除以一個字母時，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個變形就不成立.知識點3：解一元一次方程基本思路：通過適當?shù)淖冃危岩辉淮畏匠袒啚閍x=b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數(shù)要乘括號內的每一項;2)不要弄錯符號.移項把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊1）移項時不要丟項;2）將方程中的項從一邊移到另一邊要變號.而在方程同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號處理要得當；

2）字母及其指數(shù)不變.系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時,方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù)時,方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).【補充說明】1）解具體的一元一次方程時，要根據(jù)方程的特點靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號的去括號.2)對于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當分母中含有一位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當分母中含有兩位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘100．知識點4：一元一次方程與實際應用用一元一次方程解決實際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關鍵詞），找出題中的等量關系，理清題中的已知量與未知量；設：設未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量； ①設直接未知數(shù)：一般情況下，題中問什么就設什么； ②設間接未知數(shù)：特殊情況下，設直接未知數(shù)難以列出方程時，可設另一個相關的量為未知數(shù)； ③設輔助未知數(shù)：在某些問題中，為了便于列方程，可以設輔助未知數(shù).列：根據(jù)題中相等關系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；驗：檢驗所得的解是不是所列方程的解、是否符合實際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.考點剖析【考點1】一元一次方程的定義1．（2024七年級上·全國·專題練習）下列方程：①x?2=1x；②3x=11；③x2=5x?1；④y2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習）已知x=3是關于x的方程2x+a=0的一個解，則a的值是（

）A．?4 B．?5 C．?6 D．?7【考點2】已知一元一次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值3．（24-25七年級上·廣東東莞·期中）若方程a?3xa?3?7=0是關于x4．（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）已知x=2是關于x的方程3x?m=x+2n的解，則式子12m+n+2022的值為5．（2024七年級上·全國·專題練習）已知3am?1b2與4a【考點3】等式的性質6．（2024七年級上·浙江·專題練習）利用等式的基本性質解方程：(1)?2x=?3x+5(2)56=3x+32?2x；(3)3x+4=x；(4)23(5)3y?7?6y=?8；(6)7.9x+1.58+2x=7.9x?8.42．7．（2024七年級上·浙江·專題練習）在下列各題的橫線上填上適當?shù)臄?shù)或整式，使所得結果仍是等式，并說明變形是根據(jù)等式的哪一條性質以及是怎樣變形的．(1)如果?x10=y5，那么(2)如果?2x=2y，那么x=，根據(jù)；(3)如果23x=4，那么x=，根據(jù)(4)如果x=3x+2，那么x=，根據(jù)．【考點4】解一元一次方程8．（24-25七年級上·江蘇泰州·階段練習）解方程：(1)x?3(2)5x+49．（24-25七年級上·山東濰坊·階段練習）解下列方程(1)4x?3(2)x+(3)x?110．（23-24七年級上·貴州遵義·階段練習）方程3(2x?1)+2(1?2x)=2(2x?1)+3可以有多種不同的解法，觀察此方程，設2x?1=y．(1)原方程可變形為3y?2y=2y+3，解方程得：y=，從而可得x=．(2)上述解法所用到的數(shù)學思想是．(3)利用上述方法解方程：211．（2024七年級上·全國·專題練習）若單項式2a3bm+1與?3a【考點5】以注重過程性學習的形式考查一元一次方程12．（2024·浙江杭州·一模）某同學解方程0.10.2解：0.1兩邊同時乘以10，得12合并同類項，得16系數(shù)化1，得x=60……③請寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程．13．（2024七年級上·全國·專題練習）同學們，你們知道怎樣解“絕對值方程4x=5”嗎？我們可以這樣考慮：因為5=5，?5=5，所以有4x=5或4x=?5，分別解得x=5414．（24-25七年級上·福建福州·期中）在學習《求解一元一次方程》之后，老師在黑板上出了一道解方程的題，下面是小樂同學的解題過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．x+14?2x?13x+3?8x+4=10x+4?12……第二步3x?8x+10x=4?12+3+4……第三步5x=?1……第四步x=?1填空：(1)以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是__________；第二步去括號時依據(jù)的運算律是__________；(2)以上解題過程中從第_________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是__________；(3)求該方程的正確解．15．（24-25七年級上·廣西賀州·期中）下面是小明解方程2x?14解：去分母，得2(2x?1)=8?(3?x)，（第一步）去括號，得4x?2=8?3+x，（第二步）移項，得4x+x=8?3?2，（第三步）全并同類項，得5x=3，（第四步）系數(shù)化為1，得x=3根據(jù)解答過程完成下列任務．任務一：①上述解答過程中，第一步的變形依據(jù)是________________；②第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________________；任務二：請你根據(jù)平時解一元一次方程的經(jīng)驗，再給其他同學提一條建議：________________；任務三：請你寫出解該方程的正確解題過程．【考點6】同解方程16．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）若m?4x2|m|?7?4m=0(1)求m的值；(2)若該方程與關于x的方程6?2k=2x+3的解相同，求k17．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知關于x的方程m?x2+m?33=x18．（2024七年級上·全國·專題練習）已知關于x的兩個方程4x?a5=5x2【考點7】根據(jù)一元一次方程解的情況求參數(shù)19．（2024七年級上·浙江·專題練習）（1）已知關于x的方程2(x+1)=3m+1的解與方程5x+3=?7的解互為相反數(shù)，求m的值．（2）已知關于x的方程5m+3x=x+1的解比關于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．20．（2024七年級上·全國·專題練習）已知關于x的方程3x?m2(1)若m=?1，求該方程的解；(2)若x=5是方程的解，求12(3)若該方程的解與方程x+12=3+x?6(4)某同學在解該方程時，誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為x=1，求(5)若該方程有正整數(shù)解，求整數(shù)m的最小值．21．（2024七年級上·全國·專題練習）已知方程x3(1)當a取何值時，方程無解？(2)當a取何值時，方程有無窮多個解？(3)當a取何值時，方程有唯一解x=?9？【考點8】與解一元一次方程有關的遮擋/污染問題22．（24-25七年級上·山東·期末）小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了，導致其看不清楚，被污染的方程是2x??=1(1)小明猜想“?”部分是2，請你算一算x的值；(2)小明翻看了書后的答案，此方程的解是x=1．請你算一算這個常數(shù)應是多少．23．（24-25七年級上·北京·期中）小涵在解關于x的一元一次方程3x?12+□=3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)“□”被污染了，于是就去問同學小李，小李也記不清“□”的具體值了，只記得這個方程的解是正整數(shù)．小涵經(jīng)過深入思考，想出了一個好辦法，她將“□”設為24．（23-24七年級上·河北承德·期末）嘉淇在解關于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2?x(1)嘉淇猜⊙是?1，請解一元一次方程x+12(2)老師告訴嘉淇這個方程的解為x=?4，求被污染的常數(shù)⊙．25．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）嘉淇在進行解一元一次方程的練習時，發(fā)現(xiàn)有一個方程“3x+7=■?x”中的常數(shù)被“■”遮擋．(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請你算一算x的值；(2)老師說此方程的解與方程2x?1【考點9】與解一元一次方程有關的新定義問題26．（24-25七年級上·全國·期末）定義一種有理數(shù)的新運算“￡”其運算方式如下∶2￡1=4×2?3×1=5∶1￡?3?5￡…觀察上面的運算方式，請解決下列問題(1)對于任意有理數(shù)m，n，m￡n=（用含m，n的式子表示）∶(2)解方程∶3￡2￡x(3)若關于x的方程3￡ax?1=6a≠027．（24-25七年級上·北京海淀·期中）給定有理數(shù)a，b，對整式A,B，定義新運算“⊕”：A⊕B=aA+bB；對正整數(shù)nn≥2和整式A，定義新運算““?”n?A=A⊕A⊕???⊕An個A例如，當a=1，b=2時，若A=x，B=?y，則A⊕B=A+2B=x?2y，2?A=A⊕A=3x．(1)當a=2，b=1時，若A=x+y，B=x?2y，則A⊕B=______，3?A=______；(2)寫出一組a，b的值，使得對每一個正整數(shù)n和整式A，均有n?A=A，并說明理由；(3)當a=2，b=1時，若A=3x2+7xy，B=2x2?30xy?y2，p,q是正整數(shù)，令P=p?A，Q=q?B，且28．（2024七年級上·浙江·專題練習）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=(1)若關于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，求m的值；(2)若某“兄弟方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值．【考點10】一元一次方程與數(shù)軸綜合29．（24-25七年級上·重慶·階段練習）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=a?b(1)數(shù)軸上數(shù)x到原點的距為為4，x可能在原點左邊4個單位，此時x的值為______，x也可能在原點右邊4個單位，此時x的值為______．(2)x與3之間的距離表示為______，結合上面的理解，若x?3=2，則x=(3)當x是______時，代數(shù)式x?5+|x?2|=7(4)當x+3?x?5取最大值時，(5)若點A表示的數(shù)?1，點B與點A的距離是5，且點B在點A的右測，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，求運動幾秒后，PQ=1？（請寫出必要的求解過程）30．（24-25七年級上·廣東韶關·期中）已知數(shù)軸上A，B，C三點對應的數(shù)分別為?2、1、5，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．點A與點P之間的距離表示為AP，點B與點P之間的距離表示為BP．(1)若AP=BP，則x=________；(2)若AP+BP=8，求x的值；(3)若點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，點A以每秒1個單位的速度向左運動，點B以每秒3個單位的速度向右運動，三點同時出發(fā)．運動過程中，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數(shù)各是多少？31．（24-25七年級上·四川成都·期中）如圖，在以點O為原點的數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是6，點B在原點的左側，且AB=5AO（點A與點B之間的距離記作AB）(1)則B點表示的數(shù)為；點C到點A、點B的距離相等，則C點表示的數(shù)為；(2)若動點P從O點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度勻速向左運動，問經(jīng)過幾秒鐘后2PA=3PB，并求出此時P點在數(shù)軸上對應的數(shù)；(3)若動點M從A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度向B點勻速運動，同時點N從B點出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度向A點運動；當點M到達B點后，立即以原速返回，到達A點停止運動，當點N到達A點立即以原速返回，到達B點停止運動，設M點的運動時間為t秒，求t為多少時，點M和點N之間的距離是18個長度單位．32．（24-25七年級上·重慶渝北·期中）如圖：在數(shù)軸上點A表示數(shù)?2，點B表示數(shù)1，點C表示數(shù)8，點A，點B和點C分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動，設運動時間為t秒（t>0）．(1)請利用上述結論，結合數(shù)軸，完成下列問題：AC表示點A到點C之間的距離，運動之前，AC的距離為____________，運動t秒后，點A表示的數(shù)為____________（用含t的式子表示）；(2)若t秒鐘過后，點C在線段AB之間，且AC?2BC=0，求t值；(3)當點C在點B右側時，是否存在常數(shù)m，使m?BC?AB的值為定值？若存在，求出m和m?BC?AB的值；若不存在，請說明理由．【考點11】列方程33．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）一根鐵絲，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，結果還剩下3米．求這根鐵絲原來有多長？設這根鐵絲原來的長度為x，可列出方程（

）A．x?x2?1C．x?x2?134．（2024七年級上·全國·專題練習）惠怡媽媽在商場購買了x元的東西，結賬時發(fā)現(xiàn)商場推出一種優(yōu)惠卡，優(yōu)惠方案：卡售價50元，購物打八折，惠怡媽媽掐指一算，發(fā)現(xiàn)使用優(yōu)惠卡后可以少付10元．則下面所列方程正確的是（

）A．50+0.8x=x?10 B．50+0.8x+x=10C．0.850+x=x?10 35．（23-24七年級上·河北石家莊·期末）如圖，兩根鐵棒直立于圓柱形水桶的桶底．一根露出水面的長度是它的13，另一根露出水面的長度是它的15，兩根鐵棒長度之和為55cm，如果設此時水桶中水的深度是xcmA．13x+1C．32x+536．（2024七年級上·河南·專題練習）在做科學實驗時，老師將第一個量筒（圓柱）中的水全部倒入第二個量筒中，如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（

）A．π?82C．π?8237．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）某車間有90名工人生產螺絲與螺母，平均每人每天生產50個螺絲或80個螺母，要使每天生產的螺絲和螺母按1:2配套，如果有m人生產螺絲，根據(jù)題意可列方程為（

）A．80m=2×50×90?m B．C．2×80m=50×90?m D．【考點12】一元一次方程與實際問題38．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）(列一元一次方程解決問題)甲、乙兩個車站相距240km，一列貨車從甲站開出，每小時行駛48km，一列客車從乙站開出，每小時行駛(1)兩列火車同時開出，相向而行，多少小時后兩車相遇？(2)貨車從甲站開出1h后，客車從乙站開出，兩車同向行駛，客車開出幾小時后兩車相距4839．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）某校新進了一批課桌椅，七年級（2）班的學生利用活動課時間幫助學校搬運部分課桌椅，已知七年級（2）班共有學生45人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人，要求每個學生搬運6張桌子或者搬運15把椅子．請解答下列問題：(1)七年級（2）班男生、女生分別有多少人？(2)一張桌子配兩把椅子，為了使搬運的桌子和椅子剛好配套，應該分配多少個學生搬運桌子，多少個學生搬運椅子？40．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期末）某公司為迎接新年，計劃定購一批禮品，現(xiàn)有甲、乙兩個工廠可以生產這批禮品，若這兩個工廠單獨生產這批禮品，則甲工廠比乙工廠多用5天完成，已知甲工廠每天生產240件，乙工廠每天生產360件．(1)求這批禮品共有多少件？(2)在禮品生產過程中，該公司每天支付給甲工廠的費用是5000元，每天支付給乙工廠的費用是9000元，公司有兩種方案可選擇，方案一：由乙工廠單獨生產；方案二：甲、乙兩個工廠共同生產．請計算兩種方案的費用差．41．（24-25七年級上·江蘇淮安·階段練習）（1）【情境導入】某服裝成本為100元，售價為120元，則利潤為元．（2）【課本再現(xiàn)】下面是蘇教版初中數(shù)學教科書七年級上冊第129頁的部分內容（銷售中的盈虧）．某商店以240元的相同售價賣出兩件不同的襯衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，商店賣出這兩件襯衫是盈利，還是虧損？回答：（3）【解決問題】七年級實踐小組去商場調查，了解到某款羽絨服以每件80元的價格購進了200件，并以每件120元的價格銷售了一部分，為回籠資金，商場將剩下的羽絨服在原售價的基礎上每件降價40%42．（24-25七年級上·河北邯鄲·階段練習）某電視臺組織知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個參賽者的得分情況：參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)總得分甲200100乙19194丙14664(1)由表可知：答對1題得______分，答錯1題得______分；(2)參賽者丁得了88分，他答對了幾道題？(3)參賽者戊說他得了80分，你認為可能嗎？為什么？43．（24-25七年級上·吉林·階段練習）七年級準備組織學生到某社會實踐基地參加社會實踐活動，門票為每人20元，由各班班長負責買票．下面是1班班長與售票員咨詢的對話：你好！我們每個班的學生人數(shù)都超過40人，請問購買團隊票有優(yōu)惠嗎？你好！購票人數(shù)超過40人的團體票，有兩種優(yōu)惠方案：方案一：若每人都購票，每張門票打8折；方案二：若打9折，有7人可免票．(1)已知1班學生人數(shù)為44，選擇了方案一購票，求1班購票需要多少元？(2)若2班選擇了方案二，購票費用為702元，求2班有多少人？(3)求當人數(shù)為多少時，兩種方案所需錢數(shù)一樣．44．（24-25七年級上·湖北宜昌·期中）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5；7，9，……排成如圖所示：(1)十字框中5個數(shù)之和是41的幾倍？(2)設十字框中間的數(shù)為a，用式子分別表示十字框中其它四個數(shù)，并求出這五個數(shù)的和．(3)十字框中的五個數(shù)之和能等于2000嗎？若能，請寫出這五個數(shù)，若不能，請說明理由．45．（24-25七年級上·廣東江門·期中）把若干宣紙分給七年級優(yōu)秀繪畫愛好者，若每人分3張，則剩余12本，若每人分5張，則缺10張，繪畫愛好者有幾人？這批宣紙有多少張．46．（2024七年級上·全國·專題練習）為了倡導節(jié)約用水，某市自去年開始實行階梯水價．具體收費標準如下：每戶每月用水量不超過12噸，每噸3.2元；超過12噸的部分，每噸4.6元．(1)林敏家今年5月用水15噸，他家應付多少元水費？(2)馬老師家5月份共交了84.4元水費，馬老師家5月份一共用水多少噸？47．（24-25七年級上·遼寧沈陽·階段練習）列一元一次方程解決實際問題．《九章算術》是我國第一部自成體系的數(shù)學專著，其中“盈不足術”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)是多少？48．（2024七年級上·全國·專題練習）《孫子算經(jīng)》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．問：幾何？譯文為：現(xiàn)在有一根木頭，不知道有多長，用一段繩子去測量，拉直后繩子還多四尺五寸；將繩子對折后去量木頭，木頭還剩一尺．問：木頭多長？（一尺等于十寸）【考點13】一元一次方程與幾何綜合49．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期末）【定義】若0°<∠α<180°，0°<∠β<180°，且∠α?∠β=45°，則稱∠α、∠β互為“半余角”．已知，如圖，O為直線AB上一點，∠AOM=15°，∠BON=60°(1)圖中的“半余角”有哪幾對？(2)若射線ON繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉，設旋轉時間為t秒0<t<21．①當t=13.5時，請判斷∠BON與∠MON是否互為“半余角”，并說明理由；②若射線OM同時繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉，當∠AON與∠MON互為“半余角”時，直接寫出t的值．50．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中點A表示?8，點B表示8，點C表示14，我們稱點A和點C在“折線數(shù)軸”上相距22個長度單位，動點P、Q同時出發(fā)，點P從點A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼乃姆种?，之后立刻恢復原速；動點Q從點C出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后也立刻恢復原述．設運動的時間為t秒，問：(1)當動點P在OA上時，把點P到點A的距離記為AP，則AP=________（用t的代數(shù)式表示）；(2)當動點P在OB上時，把點P到點O的距離記為OP，則OP=________（用t的代數(shù)式表示）；(3)當點Q在BC上時，Q、B兩點在“折線數(shù)軸”上相距的長度與P，O兩點在“折線數(shù)軸”上相距的長度相等時，t的值為________（直接寫出結果）．過關檢測1．（24-25七年級上·全國·期末）已知等式2a+6=3b，則下列等式成立的是（

）A．2a+7=3b?1 B．a=3b2?3 C．4a+6=6b2．（22-23七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°3．（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）如圖：第1個圖案中，內部“△”的個數(shù)為1個，外側邊上“●”的個數(shù)為3個；第2個圖案中，內部“△”的個數(shù)為3個，外側邊上“●”的個數(shù)為6個；第3個圖案中，內部“△”的個數(shù)為6個，外側邊上“●”的個數(shù)為9個；依此類推，當內部“△”的個數(shù)是外側邊上“●”的個數(shù)的3倍時，n的值為（

）A．16 B．17 C．18 D．194．（24-25七年級上·全國·期末）下列方程變形中，正確的是（

）A．方程45x=?B．方程3x+5=4x+1，移項，得3x?4x=?1+5C．方程3x?7x?1=3?2D．方程1?2x3=5．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在兩臺天平的左右兩邊分別放入“□”“△”“?”三種物體．若圖①所示的天平保持平衡，要使圖②的天平也保持平衡，則需在右盤放入“?”的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．86（2024七年級上·河南·專題練習）方程1+x2=3的解是（A．x=5或x=?7 B．x=?5或x=7 C．x=3或x=?2 D．x=2或x=?37．（2024七年級上·吉林·專題練習）方程3x0.5?1.4?xA．6x?7?5x2=1C．30x5?14?x8．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如果2x+6=a的解與?2x+5=4?3x的解相同，則a的值是（）A．4 B．3 C．2 D．19．（24-25七年級上·湖南永州·期中）數(shù)軸上點A、B分別表示數(shù)字a、b，且a+52+7?b=0若動點P以每秒2個單位長度的速度從A點出發(fā)向B勻速運動，動點Q以每秒1個單位長度的速度從B點出發(fā)向A做勻速運動，當運動時間為（

）秒時，A．3 B．5 C．3或5 D．無法確定10．（20-21七年級下·浙江杭州·期末）在求一個兩位數(shù)的平方時，可以用“列豎式”的方法進行算，求解過程如圖1~4所示，現(xiàn)仿照這幾個圖，用“列豎式”的方法計算一個兩位數(shù)的平方，部分過程如圖5所示，若這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為aa≠0A．a+60 B．a+50 C．a+40 D．a+30二、填空題11．（24-25七年級上·全國·期末）若關于x的方程m?3xm?2+5=6是一元一次方程，則12．（23-24七年級上·遼寧錦州·期末）如圖，點B，C在線段AD上，且AB=BC=CD，點E為AB的中點，若EC=4.8cm，則AD=cm13．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學設計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，?2，3，?4，5，?6，7，?8分別填入圖中的圓圈內，使得橫、豎以及內外兩個正方形的4個數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將?4、5、7、?8這四個數(shù)填入了圓圈，則圖中a+b的值為．14．（2024七年級上·全國·專題練習）已知關于x的方程3x?7=2x+a的解與方程4x+2=7?x的解相同，則a的值為．三、解答題15．（24-25七年級上·山東·期末）解方程：(1)2x?1(2)x+x?116．（2024七年級上·全國·專題練習）小明在解方程2x+45+1=x+a2時，由于粗心大意，在去分母時，方程左邊的1沒有乘10，由此求得的解為17．（23-24七年級上·湖南婁底·期末）閱讀下列材料：根據(jù)絕對值的定義，|x|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點與原點的距離，那么，如果數(shù)軸上兩點P、Q表示的數(shù)為x1,x2時，點P與點Q之間的距離為PQ=x1?x2，根據(jù)上述材料，解決下列問題：如圖，在數(shù)軸上，點A、B表示的數(shù)分別是?4，8（(1)AB=個單位長度；(2)若m=10，則m+4+m?8=；若m=?10，則m+4+m?8=；若m=6，則m+4+m?8=；若點(3)若m+4+m?8=2018．（24-25七年級上·全國·期末）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，a、b滿足a+6+b?122=0．點P從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上向右運動，若在點B處放一擋板(擋板厚度忽略不計)，點P在碰到擋板后立即返回，以每秒3個單位長度的速度在數(shù)軸上向左運動，設點P活動的時間為(1)點A表示的數(shù)為______，點B表示的數(shù)______．(2)當點P碰到擋板時，t的值為______．(3)當t=5時，點P表示的有理數(shù)為______；當t=11時，點P表示的有理數(shù)為______；(4)試探究：點P到擋板的距離與它到原點的距離可能相等嗎？若能，直接寫出相等時t的值；若不能，請說明理由．(5)當點P碰到擋板的同時，擋板從點B以每秒1個單位長度的速度在數(shù)軸上向左運動，直接寫出點P在整個運動過程中到擋板的距離是它到原點距離的2倍時t的值．19．（24-25七年級上·全國·期末）為了慶祝元旦，甲、乙兩校準備共同組織文藝匯演，兩校共有92人參加演出，其中甲校人數(shù)比乙校多，且甲校人數(shù)不足90人，現(xiàn)準備購買演出服裝．下表是某服裝廠給出的演出服裝的價格表，如果兩所學校單獨購買一共需要付5000元．購買服裝的套數(shù)1至45套46至89套90套及以上每套服裝的價格60元50元40元(1)如果兩校聯(lián)合起來購買演出服裝，比各自購買可以節(jié)省多少錢？(2)甲、乙兩校各有多少人參加演出？20．（22-23七年級上·浙江臺州·期末）如圖1，點O是直線MN上一點，三角板（其中∠AOB=30°）的邊AO與射線OM重合，將它繞O點以每秒m°順時針方向旋轉到邊OB與ON重合；同時射線OC與ON重合的位置開始繞O點以每秒n°逆時針方向旋轉至OM，兩者哪個先到終線則同時停止運動，設運動時間為t秒．(1)若m=3，n=2，t=10秒時，∠BOC=________°；(2)若m=3，n=2，當OA在OC的左側且平分∠MOC時，求t的值；(3)如圖2，在運動過程中，射線OP始終平分∠AOC．①若m=3，n=2，當射線OA，OB，OP中，其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線時，直接寫出t=________秒；②當OA在OC的左側，且∠COP與32∠MOA始終互余，求m與

專題05一元一次方程考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺難點強化：難點內容標注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：一元一次方程的基礎方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程的判斷條件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.知識點2：等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數(shù)，或都除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質3：如果a=b，則b=a（對稱性）等式的性質4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯易混】1）利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2）等式兩邊同時除以一個字母時，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個變形就不成立.知識點3：解一元一次方程基本思路：通過適當?shù)淖冃危岩辉淮畏匠袒啚閍x=b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數(shù)要乘括號內的每一項;2)不要弄錯符號.移項把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊1）移項時不要丟項;2）將方程中的項從一邊移到另一邊要變號.而在方程同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號處理要得當；

2）字母及其指數(shù)不變.系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時,方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù)時,方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).【補充說明】1）解具體的一元一次方程時，要根據(jù)方程的特點靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號的去括號.2)對于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當分母中含有一位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當分母中含有兩位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘100．知識點4：一元一次方程與實際應用用一元一次方程解決實際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關鍵詞），找出題中的等量關系，理清題中的已知量與未知量；設：設未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量； ①設直接未知數(shù)：一般情況下，題中問什么就設什么； ②設間接未知數(shù)：特殊情況下，設直接未知數(shù)難以列出方程時，可設另一個相關的量為未知數(shù)； ③設輔助未知數(shù)：在某些問題中，為了便于列方程，可以設輔助未知數(shù).列：根據(jù)題中相等關系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；驗：檢驗所得的解是不是所列方程的解、是否符合實際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.考點剖析【考點1】一元一次方程的定義1．（2024七年級上·全國·專題練習）下列方程：①x?2=1x；②3x=11；③x2=5x?1；④y2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的定義．熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)一元一次方程的定義判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，①中x?2=1②中3x=11是一元一次方程，故符合要求；③中x2④中y2⑤中x+2y=1含有兩個未知數(shù)，故不是一元一次方程，故不符合要求；故選：B．2．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習）已知x=3是關于x的方程2x+a=0的一個解，則a的值是（

）A．?4 B．?5 C．?6 D．?7【答案】C【分析】本題考查一元一次方程的解，掌握方程的解即為使方程成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．將x=3代入2x+a=0中，求解a即可．【詳解】解：將x=3代入2x+a=0，得：2×3+a=0，解得：a=?6．故選C．【考點2】已知一元一次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值3．（24-25七年級上·廣東東莞·期中）若方程a?3xa?3?7=0是關于x【答案】±4【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．根一元一次方程的定義：含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程為一元一次方程．【詳解】解：由題意可得：a?3≠0a解得a=±4，故答案為：±4．4．（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）已知x=2是關于x的方程3x?m=x+2n的解，則式子12m+n+2022的值為【答案】2024【分析】把x=2代入方程3x?m=x+2n，得到m+2n=4，整體思想，變形求代數(shù)式的值即可．本題考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元一次方程的解，正確求代數(shù)式的值是解題的關鍵．【詳解】解：∵x=2是關于x的方程3x?m=x+2n的解，∴6?m=2+2n,解得m+2n=4，∴12∴1故答案為：2024．5．（2024七年級上·全國·專題練習）已知3am?1b2與4a【答案】x=m+n2是方程【分析】本題考查了一元一次方程的解和同類項，根據(jù)同類項的定義求出m、n的值，將m、n的值代入x=m+n2，可求得【詳解】解：因為3am?1b所以m?1=2，n?1=2，解得m=3，n=3，所以x=m+n把x=3代入方程2x?6=0，得左邊=2×3?6=0=右邊．故x=m+n2是方程【考點3】等式的性質6．（2024七年級上·浙江·專題練習）利用等式的基本性質解方程：(1)?2x=?3x+5(2)56=3x+32?2x；(3)3x+4=x；(4)23(5)3y?7?6y=?8；(6)7.9x+1.58+2x=7.9x?8.42．【答案】(1)x=(2)x=24(3)x=?2(4)m=12(5)y=(6)2x=?10【分析】本題考查利用等式的基本性質解方程，熟練掌握等式的基本性質是解題的關鍵．利用等式的基本性質解各個方程即可．【詳解】（1）解：?2x=?3x+?2x+3x=?3x+3x+x=5（2）解：56=3x+32?2x56?56=3x+32?2x?56x?24=0x?24+24=0+24x=24；（3）解：3x+4=x3x?3x+4=x?3x?2x=4?2x÷x=?2；（4）解：2222m=12；（5）解：3y?7?6y=?83y?7?6y+7=?8+7?3y=?1?3y÷y=（6）解：7.9x+1.58+2x=7.9x?8.427.9x+1.58+2x?7.9x=7.9x?8.42?7.9x1.58+2x=?8.421.58+2x?1.58=?8.42?1.582x=?102x÷2=?10÷2x=?5．7．（2024七年級上·浙江·專題練習）在下列各題的橫線上填上適當?shù)臄?shù)或整式，使所得結果仍是等式，并說明變形是根據(jù)等式的哪一條性質以及是怎樣變形的．(1)如果?x10=y5，那么(2)如果?2x=2y，那么x=，根據(jù)；(3)如果23x=4，那么x=，根據(jù)(4)如果x=3x+2，那么x=，根據(jù)．【答案】(1)?2y，等式的性質2；變形過程見解析(2)?y，等式的性質2；變形過程見解析(3)6，等式的性質2；變形過程見解析(4)?1，等式的性質1；變形過程見解析【分析】本題考查解一元一次方程，熟練利用等式的性質解一元一次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)等式的性質2，等號兩邊都乘以?10，等號仍成立，得出所求；（2）根據(jù)等式的性質2，等號兩邊都除以?2，等號仍成立，得出所求；（3）根據(jù)等式的性質2，等號兩邊都除以23（4）根據(jù)等式的性質1，等號兩邊都減去3x，再除以?2，等號仍成立，得出所求．【詳解】（1）解：如果?x10=y5故答案為：?2y，等式的性質2；（2）解：如果?2x=2y，根據(jù)等式的性質2，等號兩邊都除以?2，等號仍成立，那么x=?y；故答案為：?y，等式的性質2；（3）解：如果23x=4，根據(jù)等式的性質2，等號兩邊都除以23故答案為：6，等式的性質2；（4）解：如果x=3x+2，根據(jù)等式的性質1，等號兩邊都減去3x，等號仍成立，那么x?3x=2，?2x=2，等號兩邊都除以?2，那么x=?1；故答案為：?1，等式的性質1．【考點4】解一元一次方程8．（24-25七年級上·江蘇泰州·階段練習）解方程：(1)x?3(2)5x+4【答案】(1)x=?1(2)x=【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．（1）方程去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：x?3x+1去括號得：x?3x?3?1=2x，移項得：x?3x?2x=3+1，∴?4x=4，解得：x=?1．（2）解：5x+43去分母得：45x+4去括號得：20x+16+3x?3=24?5x+5，整理得：28x=16，解得：x=49．（24-25七年級上·山東濰坊·階段練習）解下列方程(1)4x?3(2)x+(3)x?1【答案】(1)x=2(2)x=(3)x=8【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關鍵．（1）去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，求解即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，求解即可；（3）先整理，再去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，求解即可．【詳解】（1）解：4x?3去括號，得：4x?6+12x=26，移項，得：4x+12x=26+6，合并同類項，得：16x=32，化系數(shù)為1，得：x=2；（2）解：x+x?3去分母，得：6x+3x?3去括號，得：6x+3x?9=18?4x+2，移項，得：6x+3x+4x=18+2+9，合并同類項，得：13x=29，化系數(shù)為1，得：x=29（3）解：x?1整理，可得10x?102去分母，得510x?10去括號，得50x?50?40x?20=10移項、合并同類項，得10x=80，系數(shù)化為1，得x=8．10．（23-24七年級上·貴州遵義·階段練習）方程3(2x?1)+2(1?2x)=2(2x?1)+3可以有多種不同的解法，觀察此方程，設2x?1=y．(1)原方程可變形為3y?2y=2y+3，解方程得：y=，從而可得x=．(2)上述解法所用到的數(shù)學思想是．(3)利用上述方法解方程：2【答案】(1)?3，?1(2)換元思想（整體思想）(3)x=【分析】本題通過代換法的應用以及解一元一次方程，掌握換元思想是解題關鍵．（1）解出方程得到y(tǒng)的值，進而得到x的值即可；（2）解題方法用到了換元思想；（3）設y=x?2，將原方程換成y的方程，解出方程得到y(tǒng)的值，進而得到x的值即可．【詳解】（1）解：3y?2y=2y+3，3y?2y?2y=3，?y=3，y=?3，∴2x?1=?3，解得x=?1，故答案為：?3，?1．（2）上述解法用到的數(shù)學思想為換元思想或者整體思想．故答案為：換元思想（整體思想）．（3）設y=x?2，原方程變形為：2y?22y?22y?2283y=?9∴x?2=?9∴x=511．（2024七年級上·全國·專題練習）若單項式2a3bm+1與?3a【答案】x=【分析】本題考查了同類項的定義、解一元一次方程，由同類項的定義求出n=3，m=2，代入方程得出6x?63?2x【詳解】解：因為單項式2a3b所以n=3，m+1=3，所以m=2．把m=2，n=3代入關于x的方程3mx?2n3?2x=mn，得解得x=4【考點5】以注重過程性學習的形式考查一元一次方程12．（2024·浙江杭州·一模）某同學解方程0.10.2解：0.1兩邊同時乘以10，得12合并同類項，得16系數(shù)化1，得x=60……③請寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程．【答案】最早出現(xiàn)錯誤的步驟是①，正確的解法見解析．【分析】此題主要考查了解一元一次方程，第1步是將方程中未知數(shù)的系數(shù)化為整數(shù)，而不是去分母可得出錯誤的步驟序號，先將系數(shù)化為整數(shù)得12x?1【詳解】解：最早出現(xiàn)錯誤的步驟是①，正確的解法如下：對于方程0.10.2將系數(shù)化為整數(shù)，得12合并同類項，得16系數(shù)化1，得x=6．13．（2024七年級上·全國·專題練習）同學們，你們知道怎樣解“絕對值方程4x=5”嗎？我們可以這樣考慮：因為5=5，?5=5，所以有4x=5或4x=?5，分別解得x=54【答案】x=?2或x=【分析】本題主要考查了解一元一次方程，絕對值等知識點，根據(jù)絕對值的性質得到兩個一元一次方程，分別解一元一次方程即可，熟練掌握絕對值和解一元一次方程是解決此題的關鍵．【詳解】解：∵8＝8，∴?3x+2=8或?3x+2=?8，∴x=?2或x=1014．（24-25七年級上·福建福州·期中）在學習《求解一元一次方程》之后，老師在黑板上出了一道解方程的題，下面是小樂同學的解題過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．x+14?2x?13x+3?8x+4=10x+4?12……第二步3x?8x+10x=4?12+3+4……第三步5x=?1……第四步x=?1填空：(1)以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是__________；第二步去括號時依據(jù)的運算律是__________；(2)以上解題過程中從第_________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是__________；(3)求該方程的正確解．【答案】(1)等式的基本性質，乘法分配律(2)三，移項時沒有變號(3)x=1【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟以及注意事項是解題的關鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的基本步驟逐步分析、判定即可解答；（2）檢查步驟發(fā)現(xiàn)，移項時沒有變號，據(jù)此可解答；（3）直接解方程即可．【詳解】（1）解：以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是等式的基本性質；第二步去括號時依據(jù)的運算律是乘法分配律；故答案為：等式的基本性質，乘法分配律；（2）解：以上解題過程中從第三步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是移項時沒有變號；故答案為：三，移項時沒有變號；（3）x+133x+3?8x+4=10x+4?123x?8x?10x=4?12?3?4?15x=?15x=1．15．（24-25七年級上·廣西賀州·期中）下面是小明解方程2x?14解：去分母，得2(2x?1)=8?(3?x)，（第一步）去括號，得4x?2=8?3+x，（第二步）移項，得4x+x=8?3?2，（第三步）全并同類項，得5x=3，（第四步）系數(shù)化為1，得x=3根據(jù)解答過程完成下列任務．任務一：①上述解答過程中，第一步的變形依據(jù)是________________；②第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________________；任務二：請你根據(jù)平時解一元一次方程的經(jīng)驗，再給其他同學提一條建議：________________；任務三：請你寫出解該方程的正確解題過程．【答案】任務一：①等式的性質；②三，移項沒有變號；任務二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括號要注意符號或養(yǎng)成口頭檢驗的習慣等；任務三：見解析【分析】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1是解本題的關鍵．任務一：觀察這位同學解方程的步驟，利用等式的基本性質，判斷即可得到結果；任務二：答案不唯一，建議只要合理即可；任務三：根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可．【詳解】解：任務一：①第一步的變形依據(jù)是等式的性質；②第三步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是：移項沒有變號；任務二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括號要注意符號或養(yǎng)成口頭檢驗的習慣等任務三：解方程：2x?14去分母，得22x?1去括號，得4x?2=5+x，移項，得4x?x=5+2，合并同類項，得：3x=7，系數(shù)化為1，得x=7【考點6】同解方程16．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）若m?4x2|m|?7?4m=0(1)求m的值；(2)若該方程與關于x的方程6?2k=2x+3的解相同，求k【答案】(1)m=?4(2)k=?2【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義、一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．（1）依據(jù)一元一次方程的定義可得到2m?7=1，且（2）由（1）可得方程為?8x+16=0，即可求出它的解，將該解代入方程6?2k=2x+3【詳解】（1）解：∵m?4x2|m|?7∴2m解得：m=±4m≠4∴m=?4；（2）解：由（1）得，方程為：?8x+16=0，解得：x=2，∵該方程與關于x的方程6?2k=2x+3∴6?2k=2×2+3解得：k=?2．17．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知關于x的方程m?x2+m?33=x【答案】m=3【分析】本題考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定義，能正確解一元一次方程是解題關鍵．先求出第一個方程的解，再把x=1代入第二個方程得出m?x2【詳解】解：解方程32?x6?3x=2x+1，得：x=1，把x=1代入方程m?x2得：m?123m?13m?3+2m?6=6，5m=15，解得：m=3．18．（2024七年級上·全國·專題練習）已知關于x的兩個方程4x?a5=5x2【答案】5【分析】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法和步驟是解題的關鍵；根據(jù)題意，可先求出方程1?2x=7?5x的解，代入方程4x?a5=【詳解】解：因為1?2x=7?5x，即3x=6，解得x=2，因為兩個方程的解相同，將x=2代入4x?a5=解得a=?5．故a的值為5．【考點7】根據(jù)一元一次方程解的情況求參數(shù)19．（2024七年級上·浙江·專題練習）（1）已知關于x的方程2(x+1)=3m+1的解與方程5x+3=?7的解互為相反數(shù)，求m的值．（2）已知關于x的方程5m+3x=x+1的解比關于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．【答案】（1）m=53；（2）【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．（1）求出第二個方程的解，根據(jù)兩方程解互為相反數(shù)求出第一個方程的解，即可求出m的值；（2）分別求兩個方程的解，根據(jù)已知可列出關于m的方程，可求出m的值．【詳解】解：（1）方程5x+3=?7，解得：x=?2，把x=2代入2(x+1)=3m+1得：2×3=3m+1，解得：m=5（2）5m+3x=x+1，移項得：2x=1?5m，系數(shù)化為一得：x=1?5mm+2x=3m，移項得：2x=2m，系數(shù)化為一得：x=m，∴1?5m2解得：m=?320．（2024七年級上·全國·專題練習）已知關于x的方程3x?m2(1)若m=?1，求該方程的解；(2)若x=5是方程的解，求12(3)若該方程的解與方程x+12=3+x?6(4)某同學在解該方程時，誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為x=1，求(5)若該方程有正整數(shù)解，求整數(shù)m的最小值．【答案】(1)x=0(2)30(3)23(4)?1(5)6【分析】本題考查同解方程、一元一次方程的解法、求代數(shù)式的值，（1）依據(jù)題意得，當m=?1時，方程為3x+12（2）依據(jù)題意，由x=5是方程的解，得15?m2?5+m3=56（3）依據(jù)題意，由方程x+12=3+x?64的解為x=4，從而得（4）依據(jù)題意，由誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為x=1，可得3?m2（5）依據(jù)題意，由3x?m2?x+m3=56，可得x=5m+1解題時要能讀懂題意并列出方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：當m=?1時，方程為3x+12∴33x+1∴9x+3?2x+2=5，∴7x=0，∴x=0；（2）解：∵x=5是方程的解，∴3×5?m2∴315?m∴45?3m?10?2m=5，解得：m=6，∴12∴12m2（3）解：∵x+12解得：x=4，∵方程3x?m2?x+m∴3×4?m2∴312?m解得：m=23∴m的值為235（4）解：∵誤將“56”看成了“65”，得到方程的解為∴x=1是方程3x?m2∴3×1?m2解得：m=?1∴m的值為?1（5）解：∵3x?m2∴33x?m∴9x?3m?2x?2m=5，∴x=5∵x取正整數(shù)，∴m+1為7的正整數(shù)倍數(shù)．又∵m取最小值，∴m+1=7，∴m=6，∴m的值為6．21．（2024七年級上·全國·專題練習）已知方程x3(1)當a取何值時，方程無解？(2)當a取何值時，方程有無窮多個解？(3)當a取何值時，方程有唯一解x=?9？【答案】(1)a=?2(2)a=2(3)a=?4【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化簡絕對值等知識．熟練掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化簡絕對值是解題的關鍵．（1）由題意知，方程整理得，2?a3?x=2?a，當2?（2）由題意知，當2?a3=0（3）把x=?9代入2?a3?x=2?a，得?6+3a=2?a【詳解】（1）解：x3整理得，2?a由題意知，當2?a3=0解得a=?2，∴當a=?2時，方程無解；（2）解：由題意知，當2?a3=0解得a=2，∴當a=2時，方程有無窮多個解；（3）解：把x=?9代入2?a3?x=2?a當a≥0時，?6+3a=2?a，解得a=2（不合題意，舍去）；當a<0時，?6?3a=2?a，解得a=?4，∴當a=?4時，方程有唯一解x=?9．【考點8】與解一元一次方程有關的遮擋/污染問題22．（24-25七年級上·山東·期末）小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了，導致其看不清楚，被污染的方程是2x??=1(1)小明猜想“?”部分是2，請你算一算x的值；(2)小明翻看了書后的答案，此方程的解是x=1．請你算一算這個常數(shù)應是多少．【答案】(1)2(2)1【分析】本題考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常見的過程有去括號、移項、未知數(shù)系數(shù)化為1．（1）代入?=2，解方程即可；（2）設常數(shù)為y，把x=1代入解關于y的方程即可．【詳解】（1）解：由題意得：2x?2=1解得：x=2；（2）解：設常數(shù)為y，把x=1代入得：2?y=1解得：y=123．（24-25七年級上·北京·期中）小涵在解關于x的一元一次方程3x?12+□=3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)“□”被污染了，于是就去問同學小李，小李也記不清“□”的具體值了，只記得這個方程的解是正整數(shù)．小涵經(jīng)過深入思考，想出了一個好辦法，她將“□”設為【答案】2【分析】本題主要考查了解一元一次方程的拓展，設被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12+m=3，解方程得到x=7?2m3，根據(jù)方程的解為正整數(shù)得到7?2m3是正整數(shù)，且m為正整數(shù)，可得m=1【詳解】解：設被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12∴3x?1+2m=6，解得x=7?2m∵這個方程的解是正整數(shù)，∴7?2m3是正整數(shù)，且m∴m=1或m=2或m=3，∴當m=1或m=3時，7?2m3∴m=2時，7?2m3∴被污染的正整數(shù)是2．24．（23-24七年級上·河北承德·期末）嘉淇在解關于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2?x(1)嘉淇猜⊙是?1，請解一元一次方程x+12(2)老師告訴嘉淇這個方程的解為x=?4，求被污染的常數(shù)⊙．【答案】(1)x=4(2)5【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關鍵．（1）運用解一元一次方程的一般步驟求解即可；（2）被污染的常數(shù)⊙為k得到x+12+k=2+2?x4，將【詳解】（1）解：x+1去分母得：2x+1去括號得：2x+2?4=8+2?x，移項得：2x+x=8+2?2+4，合并同類項得：3x=12，系數(shù)化為1得：x=4；（2）設被污染的常數(shù)⊙為k，則原方程可化為：x+12∵這個方程的解為x=?4，∴將x=?4代入得：?4+12解得：k=5，即污染的常數(shù)⊙為5．25．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）嘉淇在進行解一元一次方程的練習時，發(fā)現(xiàn)有一個方程“3x+7=■?x”中的常數(shù)被“■”遮擋．(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請你算一算x的值；(2)老師說此方程的解與方程2x?1【答案】(1)x=?(2)遮擋的常數(shù)是19【分析】本題主要考查了解一元一次方程；（1）根據(jù)題意得出方程3x+7=1?x，然后解方程即可；（2）先解方程2x?12=12x+4得出x=3，設遮擋的常數(shù)為a，然后把解題的關鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準確計算．【詳解】（1）解：由題意得3x+7=1?x，移項，得3x+x=?7+1，合并同類項，得4x=?6，系數(shù)化為1，得x=?3（2）解：2x?1移項，得2x?1合并同類項，得32系數(shù)化為1，得x=3，設遮擋的常數(shù)為a，把x=3代入方程得3×3+7=a?3，解得a=19．故遮擋的常數(shù)是19．【考點9】與解一元一次方程有關的新定義問題26．（24-25七年級上·全國·期末）定義一種有理數(shù)的新運算“￡”其運算方式如下∶2￡1=4×2?3×1=5∶1￡?3?5￡…觀察上面的運算方式，請解決下列問題(1)對于任意有理數(shù)m，n，m￡n=（用含m，n的式子表示）∶(2)解方程∶3￡2￡x(3)若關于x的方程3￡ax?1=6a≠0【答案】(1)4×m?3×n(2)x=(3)a的值為?3，?1，1，3【分析】本題考查有理數(shù)的新運算，解一元一次方程，解題的關鍵是觀察有理數(shù)的新運算，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，進行計算，解一元一次方程，即可．（1）觀察有理數(shù)的新運算，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，進行計算；（2）由（1）得，有理數(shù)新運算規(guī)律，再根據(jù)解一元一次方程，即可；（3）由（1）得，有理數(shù)新運算規(guī)律，再根據(jù)解一元一次方程，進行計算，即可．【詳解】（1）解：由題意得，m￡n=4m?3n，故答案為：4m?3n．（2）解：∵2￡x=4×2?3x=8?3x，∴3￡=3￡=4×3?3=12?24+9x=?12+9x，∵3￡2￡x∴4?3x=?12+9x，解得：x=4（3）解：∵3￡ax?1=12?3ax+3，=15?3ax，∴15?3ax=6，解得：x=3∵x為整數(shù)，∴3a∵a為整數(shù)，∴a的值為：?3，?1，1，3．27．（24-25七年級上·北京海淀·期中）給定有理數(shù)a，b，對整式A,B，定義新運算“⊕”：A⊕B=aA+bB；對正整數(shù)nn≥2和整式A，定義新運算““?”n?A=A⊕A⊕???⊕An個A例如，當a=1，b=2時，若A=x，B=?y，則A⊕B=A+2B=x?2y，2?A=A⊕A=3x．(1)當a=2，b=1時，若A=x+y，B=x?2y，則A⊕B=______，3?A=______；(2)寫出一組a，b的值，使得對每一個正整數(shù)n和整式A，均有n?A=A，并說明理由；(3)當a=2，b=1時，若A=3x2+7xy，B=2x2?30xy?y2，p,q是正整數(shù)，令P=p?A，Q=q?B，且【答案】(1)3x，7x+7y(2)a=0，b=1，理由見解析(3)p=4，q=3【分析】本題主要考查了新運算的定義與理解、指數(shù)運算與代數(shù)運算、方程求解與邏輯推理，熟練掌握新運算的理解和指數(shù)運算與代數(shù)運算是解題的關鍵；（1）根據(jù)新定義直接代入化簡即可；（2）將n?A運算展開，進一步化簡，然后根據(jù)使得這個方程對每一個正整數(shù)n都成立，代入即可；（3）根據(jù)已知條件分別表示出P、Q，然后化簡，根據(jù)不含有的項的系數(shù)為0，化簡，然后找出正整數(shù)的解即可；【詳解】（1）解：當a=2，b=1時，若A=x+y，B=x?2y，A⊕B=aA+bB=2(x+y)+1(x?2y)=2x+2y+x?2y=3x3?A=A⊕A⊕A==23x+3y故答案為：3x，7x+7y．（2）解：取a=0，b=1，理由如下：n?A=a若n?A=A，則an令A=1，an這是一個關于a和b的方程，我們需要找到一組解使得這個方程對每一個正整數(shù)n都成立∴1n通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)當a=1，b=0時，上式變?yōu)?n即1=1，這個等式對每一個正整數(shù)n都成立．因此，我們找到了一組滿足條件的a和b的值，即a=1，b=0．所以對每一個正整數(shù)n和整式A，均有n?A=A．（3）解：根據(jù)新運算的定義得，P=2p?1當a=2，b=1時，P⊕Q=2P+Q當a=2，b=1時，上式變?yōu)椋篜⊕Q=2P+Q=22p?1∵P⊕Q不含xy項，∴7∴72當p=1，7×2=14，此時q不是正整數(shù)，舍去，當p=2，7×22+2當p=3，7×23+當p=4，7×24+23∴p=4，q=3．28．（2024七年級上·浙江·專題練習）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=(1)若關于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，求m的值；(2)若某“兄弟方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值．【答案】(1)m=25(2)n1=4【分析】本題考查有關解一元一次方程、一元一次方程的解，解題的關鍵是知道解一元一次方程的方法．（1）根據(jù)關于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，先求出方程2x?4=6的解為，再代入5x+m=0中求解；（2）根據(jù)“兄弟方程”其中一個解為n，則“兄弟方程”的另一個解為?n，利用兩個解的差為8，列出方程求解．【詳解】（1）解：解方程2x?4=6，得x=5∵關于x的方程5x+m=0與方程2x?4=6是“兄弟方程”，∴方程5x+m=0的解為x=?5，∴5×?5?25+m=0，∴m=25．（2）解：因為“兄弟方程”其中一個解為n，則“兄弟方程”的另一個解為?n．∵兩個解的差為8，∴n??n=8或∴n1=4，【考點10】一元一次方程與數(shù)軸綜合29．（24-25七年級上·重慶·階段練習）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=a?b(1)數(shù)軸上數(shù)x到原點的距為為4，x可能在原點左邊4個單位，此時x的值為______，x也可能在原點右邊4個單位，此時x的值為______．(2)x與3之間的距離表示為______，結合上面的理解，若x?3=2，則x=(3)當x是______時，代數(shù)式x?5+|x?2|=7(4)當x+3?x?5取最大值時，(5)若點A表示的數(shù)?1，點B與點A的距離是5，且點B在點A的右測，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，求運動幾秒后，PQ=1？（請寫出必要的求解過程）【答案】(1)?4，4；(2)x?3，1或5；(3)0或7；(4)x≥5，8；(5)運動2秒或3秒后，PQ=1．【分析】本題考查了絕對值的定義，數(shù)軸上兩點間的距離，解一元一次方程等知識，解題的關鍵是掌握絕對值的定義．（1）數(shù)軸上到原點距離為4的點有兩個，分別在原點的左右兩邊，根據(jù)數(shù)軸上點的特征即可求解；（2）根據(jù)絕對值的定義即可求解．（3）根據(jù)x的取值范圍取絕對值，分①當x≥5時；②當2≤x<5時；③當x<2時，三種情況進行討論求解即可；（4）根據(jù)絕對值的性質分類討論，可得答案；（5）設運動x秒后PQ=1，根據(jù)題意求得點B表示的數(shù)為4，得到x秒后點P表示的數(shù)為?1+3x，點Q表示的數(shù)為4+x，則?1+3x?4+x【詳解】（1）解：數(shù)軸上到原點距離為4的點有兩個，當x在原點左邊時，x的值為?4，當x在原點右邊時，x的值為4，故答案為：?4，4；（2）解：x與3之間的距離表示為：x?3，若x?3=2,則解得：x=1或x=5故答案為：x?3，1或5；（3）解：①當x≥5時，原方程可化為：x?5+x?2=7，解得：x=7，②當2≤x<5時，原方程可化為：5?x+x?2=7，此時方程無解，③當x<2時，原方程可化為：5?x+2?x=7，解得：x=0，綜上可得x的值為0或7，故答案為：0或7；（4）解：當x<?3時，x+3<0，x?5<0，∴x+3?當?3≤x<5時，x+3≥0，x?5<0，∴x+3?∴?3×2?2≤2x?2<5×2?2，即?8≤2x?2<8；當x≥5時，x+3>0，x?5≥0，∴x+3?綜上可知：當x≥5時，x+3?x?5取最大值，最大值為故答案為：x≥5，8；（5）解：設運動x秒后PQ=1，∵點A表示的數(shù)為?1，點B與點A的距離是5，且點B在點A的右側∴點B表示的數(shù)為：?1+5=4，由題意可得x秒后點P表示的數(shù)為?1+3x，點Q表示的數(shù)為4+x，則?1+3x?4+x整理得：2x?5=1∴2x?5=?1或2x?5=1解得：x=2或x=3，∴運動2秒或3秒后PQ=1．30．（24-25七年級上·廣東韶關·期中）已知數(shù)軸上A，B，C三點對應的數(shù)分別為?2、1、5，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．點A與點P之間的距離表示為AP，點B與點P之間的距離表示為BP．(1)若AP=BP，則x=________；(2)若AP+BP=8，求x的值；(3)若點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，點A以每秒1個單位的速度向左運動，點B以每秒3個單位的速度向右運動，三點同時出發(fā)．運動過程中，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數(shù)各是多少？【答案】(1)?(2)x的值為?92(3)這時點P、A、B表示的數(shù)各是525，?215，【分析】本題考查了數(shù)軸在有理數(shù)加減運算中的簡單應用，數(shù)形結合及分類討論是解題的關鍵．（1）可得點P為AB的中點，即可解答；（2）分三種情況，點P在點A左側，點P在點B右側，點P在點A、B之間，列方程即可解答；（3）分三種情況，BA=BP，點B在P左側；AB=AP，點B、P相遇；PA=PB，點B追上點P，在點P右側，列方程即可解答．【詳解】（1）解：當AP=BP時，可得點P為AB的中點，可得x=?2+1故答案為：?1（2）解：∵AP+BP=8分3種情況①若點P在點A左側∵AP+BP=8∴?2?x+1?x=8，∴x=?9②若點P在點B右側∵AP+BP=8∴x+2+x?1=8，∴x=7③若點P在點A、B之間∵AB=4∴AP+BP=4這與題目條件AP+BP=8矛盾∴綜上所述x的值為?92或（3）解：設移動的時間為t秒，則動點P，A，B對應的數(shù)分別為5+2t，?2?t，1+3t，分三種情況：①BA=BP，點B在P左側∴1+3t??2?t∴t=1此時，點P表示的數(shù)為5+2×1點A表示的數(shù)為?2?1點B表示的數(shù)為1+3×1②AB=AP，點B、P相遇∴1+3t??2?t∴t=4，此時，點P表示的數(shù)為：5+2×4=13，點A表示的數(shù)為：?2?4=?6，點B表示的數(shù)為：1+3×4=13．③PA=PB，點B追上點P，在點P右側5+2t?∴t=?4（舍去）；綜上所述，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時點P、A、B表示的數(shù)各是525，?215，31．（24-25七年級上·四川成都·期中）如圖，在以點O為原點的數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是6，點B在原點的左側，且AB=5AO（點A與點B之間的距離記作AB）(1)則B點表示的數(shù)為；點C到點A、點B的距離相等，則C點表示的數(shù)為；(2)若動點P從O點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度勻速向左運動，問經(jīng)過幾秒鐘后2PA=3PB，并求出此時P點在數(shù)軸上對應的數(shù)；(3)若動點M從A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度向B點勻速運動，同時點N從B點出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度向A點運動；當點M到達B點后，立即以原速返回，到達A點停止運動，當點N到達A點立即以原速返回，到達B點停止運動，設M點的運動時間為t秒，求t為多少時，點M和點N之間的距離是18個長度單位．【答案】(1)?24；?9(2)?12或?84(3)t為2.4或9.6或12或24秒時，點M和點N之間的距離是18個長度單位【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的表示，線段的和差，列一元一次方程方程解決問題，熟練應用