2025年人教版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第12講 菱形的性質(zhì)與判定（2個(gè)知識點(diǎn)+6大考點(diǎn)舉一反三+過關(guān)測試）

第12講菱形的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解菱形的概念；

2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.通過菱形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。知識點(diǎn)1：菱形的概念與性質(zhì)概念：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.性質(zhì)：

邊：菱形的四條邊都相等．

對角線：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．菱形的面積：菱形的面積等于對角線乘積的一半．知識點(diǎn)2：菱形的判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）．2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（對角線）．3.四條邊相等的四邊形是菱形（邊）考點(diǎn)一：利用菱形的性質(zhì)求角度例1．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB垂足為E，若∠BCD=50°，則∠BOE的大小為（

）A．24度 B．25度 C．40度 D．65度【變式1-1】（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）在菱形ABCD中如圖，∠ABC=80°，BA=BE，則∠BAE=（

）A．75° B．70° C．40° D．30°【變式1-2】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC=36°，則∠OBC的度數(shù)為（

）A．34° B．54° C．62° D．72°【變式1-3】（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，過頂點(diǎn)C作CE⊥BC交對角線BD于點(diǎn)E，已知∠A=132°，則∠BEC的大小為（）A．24° B．28° C．62° D．66°考點(diǎn)二：利用菱形的性質(zhì)求線段長例2.（24-25九年級上·廣東揭陽·期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，若OB=6，AC=9，則AE的長為（）A．14 B．725 C．15 D．【變式2-1】（24-25九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，若EF=2，則菱形ABCD的周長為（

）

A．14 B．16 C．15 D．17【變式2-2】（24-25九年級上·吉林長春·期末）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC=45°,?OC=2．則點(diǎn)BA．2,?1 B．1,?2 【變式2-3】（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長是（

）A．4 B．5 C．125 D．考點(diǎn)三：利用菱形的性質(zhì)求面積例3.（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）菱形的兩條對角線長為6和8，那么這個(gè)菱形的面積為（

）A．48 B．32 C．12 D．24【變式3-1】（24-25九年級上·山西晉中·期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=BD=4．則菱形ABCD的面積（

）A．83 B．16 C．163 【變式3-2】（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．若OB=3，OE=33，則菱形ABCD的面積為【變式3-3】（24-25九年級上·遼寧丹東·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，若MN=2，∠BCD=60°，則菱形ABCD的面積為．考點(diǎn)四：利用萎形的性質(zhì)證明例4.如圖：在菱形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC至點(diǎn)F，使EF=BC，連接DF．

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)若BF=18，DF=6，求CD的長．【變式4-1】如圖，在荾形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，求證：DE=DF．【變式4-2】如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．

(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)若DF=4，CE=5，求CD的長．【變式4-3】如圖，菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，延長OF到點(diǎn)E，使EF=OF，連接CE,DE．(1)求證：四邊形DOCE是矩形；(2)若OE=2，∠BCD=60°，求菱形考點(diǎn)五：添一個(gè)條件使四邊形是菱形例5.如圖，已知?ABCD的對角線交于點(diǎn)O，下列條件不能證明?ABCD是菱形的是（

）A．∠ABD=∠ADB B．OC．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO【變式5-1】在?ABCD中，如果只添加一個(gè)條件即可證明?ABCD是菱形，那么這個(gè)條件可以是（

）A．∠A=90° B．AC=BD C．∠B=60° 【變式5-2】如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【變式5-3】如圖，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD考點(diǎn)六：根據(jù)萎形的性質(zhì)與判定求線段長/面積/角度例6.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC、BD交于點(diǎn)0，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形(2)若CE=43，∠ADC=120°，求四邊形ABCD【變式6-1】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，點(diǎn)E在BD上，滿足AE∥(1)判斷四邊形AECD的形狀，并證明；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，求四邊形AECD的面積．【變式6-2】如圖，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形ADEF為菱形．(2)若∠ADE=130°，求∠AED的大小．【變式6-3】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，AC與EF交于點(diǎn)O，且EF垂直平分AC，連接AE、CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=6，求四邊形AECF的面積．一、單選題1．下列性質(zhì)中矩形具有面菱形不一定具有的是（

）A．兩組對邊分別相等 B．兩組對角分別相等C．兩條對角線互相垂直 D．兩條對角線相等2．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AC=8,BD=6，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接OE，若OE=CE，則OE的長是（

）A．2 B．52 C．3 3．已知菱形的周長為20，其中一條對角線的長為8，則另一條對角線的長為（

）A．3 B．4 C．6 D．84．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AD=3，則菱形AECF的面積為（

A．23 B．43 C．45．“藍(lán)絲帶”一般指藍(lán)絲帶海洋保護(hù)協(xié)會，同時(shí)也象征著對保護(hù)海洋的呼吁．李老師用一段矩形綢緞制作了一條如圖所示寬為6cm的藍(lán)絲帶，若∠BAD=45°，則重疊部分圖形形狀和面積分別是（

A．平行四邊形，182cm2C．菱形，182cm26．如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得A，C之間的距離為12cm，B，D之間的距離為16cm，則線段AB的長為（A．9cm B．10cm C．11cm7．如果點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為菱形，則四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是（

）A．一組對邊平行而另一組對邊不平行 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直8．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD于點(diǎn)E．若AC=6，BD=8，則OE的長為（）A．125 B．245 C．6二、填空題9．如圖，菱形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠BAC=25°，則∠OED的度數(shù)是．10．如圖，菱形ABCD的邊長是2cm，DE⊥AB于點(diǎn)E．若∠A=60°，則菱形ABCD的面積為cm11．如圖，菱形ABCD的AD邊在x軸上，已知B6,4、D?2,0，則點(diǎn)C三、解答題12．（23-24.江蘇.期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB=5,BD=6，求OE的長．13．（23-24.廣西.期中）如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，且AB=5(1)求證：平行四邊形ABCD是菱形；(2)求平行四邊形ABCD的面積．14．（23-24.江蘇.期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)D作ED∥(1)求證：四邊形AODE是菱形；(2)連接BE，交AC于點(diǎn)F．若BE⊥ED于點(diǎn)E，AE=2，求BE的長．

第12講菱形的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解菱形的概念；

2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.通過菱形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。知識點(diǎn)1：菱形的概念與性質(zhì)概念：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.性質(zhì)：

邊：菱形的四條邊都相等．

對角線：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．菱形的面積：菱形的面積等于對角線乘積的一半．知識點(diǎn)2：菱形的判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）．2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（對角線）．3.四條邊相等的四邊形是菱形（邊）考點(diǎn)一：利用菱形的性質(zhì)求角度例1．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB垂足為E，若∠BCD=50°，則∠BOE的大小為（

）A．24度 B．25度 C．40度 D．65度【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠BAD=∠BCD=50°，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余，同角的余角相等即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=50°，∴AC平分∠DAB，∠AOB=90°，∠BAD=∠BCD=50°，∴∠BAO=1∵OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴∠AOE+∠BAO=90°，∵∠AOB=90°∴∠BOE+∠AOE=90°，∴∠BOE=∠BAO=25°，故選：B．【變式1-1】24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）在菱形ABCD中如圖，∠ABC=80°，BA=BE，則∠BAE=（

）A．75° B．70° C．40° D．30°【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD=40°，由等邊對等角可得∠BAE=∠BEA，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=1∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，在△ABE中，∴∠BAE=∠BEA=1故選：B．【變式1-2】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC=36°，則∠OBC的度數(shù)為（

）A．34° B．54° C．62° D．72°【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC，AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∠BCA=∠DAC，在△AMO和△CNO中，∠MAO=∠NCOAM=CN∴△AMO≌△CNOASA∴AO=CO，又∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵BC∥AD，∴∠BCA=∠DAC=36°，∴∠OBC=90°?36°=54°．故選：B．【變式1-3】（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，過頂點(diǎn)C作CE⊥BC交對角線BD于點(diǎn)E，已知∠A=132°，則∠BEC的大小為（）A．24° B．28° C．62° D．66°【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對角線平分菱形內(nèi)角，直角三角形兩個(gè)銳角互余．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，從而得出∠ABC=180°?∠A=48°，則∠CBE=1【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°?∠A=48°，則∠CBE=1∵CE⊥BC，∴∠BEC=90°?∠CBE=66°，故選：D考點(diǎn)二：利用菱形的性質(zhì)求線段長例2.（24-25九年級上·廣東揭陽·期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，若OB=6，AC=9，則AE的長為（）A．14 B．725 C．15 D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD=12，得出菱形的面積54，勾股定理算出BC=B【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC=12AC=92∴BD=2OB=12，∴S在Rt△BOC中，∵AE⊥BC∴∠AEC=90°，S∴AE=36故選：D．【變式2-1】（24-25九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，若EF=2，則菱形ABCD的周長為（

）

A．14 B．16 C．15 D．17【答案】B【分析】本題考查三角形的中位線和菱形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用三角形的中位線定理以及菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴BC=2EF=4，∴菱形的周長為4×4=16．故選：B．【變式2-2】（24-25九年級上·吉林長春·期末）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC=45°,?OC=2．則點(diǎn)BA．2,?1 B．1,?2 【答案】C【分析】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)的確定，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作CD⊥x軸，先求C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∵四邊形OABC是菱形，OC=2∴OA=OC=2又∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠OCD=45°，∴OD=CD，∵OC=2，O∴OD=CD=1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,1，又∵BC=OA=2∴B的橫坐標(biāo)為OD+BC=1+2，縱坐標(biāo)為CD=1則點(diǎn)B的坐標(biāo)為2+1,1故選：C．【變式2-3】（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長是（

）A．4 B．5 C．125 D．【答案】D【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，結(jié)合勾股定理求出AB的長，等積法求出DH的長即可．【詳解】解：設(shè)菱形的對角線CA,BD交于點(diǎn)O，則：AC⊥BD，OA=12∴AB=3∵DH⊥AB，∴12∴DH=故選D考點(diǎn)三：利用菱形的性質(zhì)求面積例3.（24-25九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）菱形的兩條對角線長為6和8，那么這個(gè)菱形的面積為（

）A．48 B．32 C．12 D．24【答案】D【分析】本題考查菱形面積的計(jì)算．菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線長為6和8，∴菱形的面積為：12故選：D．【變式3-1】（24-25九年級上·山西晉中·期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=BD=4．則菱形ABCD的面積（

）A．83 B．16 C．163 【答案】A【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得△ABD是等邊三角形，∠BAO=∠DAO=12∠BAD=12×60°=30°，在【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，即∠AOD=∠AOB=90°，∵AB=BD=4，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，∴∠BAO=∠DAO=1在Rt△AOB中，AB=2OB∴OB=1∴OA=3∴AC=2OA=2×23∴S菱形故選：A．【變式3-2】（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．若OB=3，OE=33，則菱形ABCD的面積為【答案】18【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD=2OB=6，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到AC=2OE=63【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形∴BD=2OB=6，AO=CO∵CE⊥AB∴∠AEC=90°∴AC=2OE=6∴菱形ABCD的面積=1故答案為：183【變式3-3】（24-25九年級上·遼寧丹東·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，若MN=2，∠BCD=60°，則菱形ABCD的面積為．【答案】8【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．如圖：連接BN，根據(jù)三角形中位線定理可得BC=2MN=4；再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BN⊥AC，∠ACB=12∠BCD=30°，S菱形ABCD=2S△ABC，AN=2NC，最后根據(jù)S菱形【詳解】解：如圖：連接BN，∵M(jìn)、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，若MN=2，∴BC=2MN=4，∵在菱形ABCD中，N分別為AC的中點(diǎn)，∠BCD=60°，∴BN⊥AC，∠ACB=12∠BCD=30°，S∴BN=12BC=2∴AN=2NC=43∴S△ABC∴S菱形故答案為83考點(diǎn)四：利用萎形的性質(zhì)證明例4.如圖：在菱形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC至點(diǎn)F，使EF=BC，連接DF．

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)若BF=18，DF=6，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)CD=10【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．（1）證明AD∥BC且AD=BC，AD＝EF，可得四邊形AEDF是平行四邊形，結(jié)合（2）設(shè)BC=CD=x，則CF=18?x，在Rt△DCF中，DC2【詳解】（1）證明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且∵BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，設(shè)BC=CD=x，則CF=18?x，在Rt△DCF中，D∴x2∴x=10，∴CD=10．【變式4-1】如圖，在荾形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，求證：DE=DF．【答案】見解析【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF得AE=CF，進(jìn)而可證明DE=DF．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC,∠A=∠C,AD=CD，∵BE⊥AD,BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE與△CBF中∠BEA=∠BFC∠A=∠C∴△ABE≌△CBFAAS∴AE=CF，∴AD?AE=CD?CF，即DE=DF．【變式4-2】如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．

(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)若DF=4，CE=5，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)41【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理．（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件用AAS即可證明△BCE≌△DCF．（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出CE=CF=5，再利用勾股定理即可求出CD．【詳解】（1）證明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC=∠DFC=90°，又∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=DC，∠B=∠D，∴△BCE≌△DCF(AAS)（2）∵△BCE≌△DCF，∴CE=CF=5，∵∠BEC=90°，DF=4，∴CD=4【變式4-3】如圖，菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，延長OF到點(diǎn)E，使EF=OF，連接CE,DE．(1)求證：四邊形DOCE是矩形；(2)若OE=2，∠BCD=60°，求菱形【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)對角線互相平分可得四邊形DOCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，即可證明四邊形DOCE是矩形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD=2OB，AC=2OC，AC⊥BD，AB=BC=CD=2，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=12BC=1【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CF，

∵EF=OF，∴四邊形DOCE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，

∴四邊形DOCE是矩形；（2）解：∵四邊形DOCE是矩形，OE=2，∴CD=OE=2，∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD=2OB，AC=2OC，AC⊥BD，AB=BC=CD=2，∵∠BCD=60∴∠BCO=12∴OB=12BC=1∴AC=2OC=23，BD=2OB=2∴四邊形ABCD的面積為12考點(diǎn)五：添一個(gè)條件使四邊形是菱形例5.如圖，已知?ABCD的對角線交于點(diǎn)O，下列條件不能證明?ABCD是菱形的是（

）A．∠ABD=∠ADB B．OC．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO【答案】C【分析】本題主要考查了菱形的判定，掌握對角線垂直的垂直或鄰邊相等的平行四邊形是菱形解題的關(guān)鍵．根據(jù)∠ABD=∠ADB得出AB=AD，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，判定A選項(xiàng)不符合同意；根據(jù)勾股定理得出∠AOB=90°，得出AC⊥BD，即可判斷B不符合同意；根據(jù)∠BAO=∠DCO無法判斷四邊形ABCD為菱形，即可判斷C符合題意；根據(jù)∠ABO=∠CBO，證明∠ABO=∠ADB，得出AB=AD，即可判斷D不符合同意．【詳解】解：A．由∠ABD=∠ADB得出AB=AD，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得：四邊形ABCD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；B．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，∵OA∴OA∴△AOB為直角三角形，∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；C．由∠BAO=∠DCO不能證明?ABCD是菱形，故該選項(xiàng)符合題意；D．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABO=∠CBO，∴∠ABO=∠ADB，∴AB=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．故該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式5-1】在?ABCD中，如果只添加一個(gè)條件即可證明?ABCD是菱形，那么這個(gè)條件可以是（

）A．∠A=90° B．AC=BD C．∠B=60° 【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：由題意可作出圖形：當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，則當(dāng)AC=BD時(shí)，則?ABCD為矩形，故B錯誤；當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，不能判定出當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，則∠ABD=∠CBD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴?ABCD為菱形，故D正確；故選：D．【變式5-2】如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】C【分析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)．由四邊形ABCD的對角線互相平分，得四邊形是平行四邊形，再由菱形的判定定理知，只需添加條件是鄰邊相等．【詳解】解：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴要使四邊形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故選：C．【變式5-3】如圖，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的判定，先說明四邊形EFGH為平行四邊形，再結(jié)合四個(gè)答案依次判斷即可.【詳解】連結(jié)AC、BD，如圖所示，∵E、F、C、H分別為四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，∴EF∥AC,EF=1∴EF∥HG,EF=HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形．當(dāng)AB∥DC或AB=DC時(shí)，只能判斷四邊形EFGH為平行四邊形，故A、B選項(xiàng)錯誤；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，能判斷四邊形EFGH為矩形，故C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)AC=BD時(shí)，能判斷四邊形EFGH為菱形，故D選項(xiàng)正確．故選：D.考點(diǎn)六：根據(jù)萎形的性質(zhì)與判定求線段長/面積/角度例6.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC、BD交于點(diǎn)0，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形(2)若CE=43，∠ADC=120°，求四邊形ABCD【答案】(1)見解析(2)32【分析】(1)先證CD=AD=AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD=AB，即可得出結(jié)論；(2)由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠DAB=60°,∠CAB=【詳解】（1）證明：∵AB∥CD,∴∠∵AC平分∠BAD∴∠∴AD=CD,∵AB=AD,∴AB=CD,∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=AD,∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠∴AC=2CE=83,AB=2BO∴AO=CO=43∵AB∴4BO∴BO=4(負(fù)值舍去),∴BD=8,∴菱形ABCD的面積=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式6-1】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，點(diǎn)E在BD上，滿足AE∥(1)判斷四邊形AECD的形狀，并證明；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，求四邊形AECD的面積．【答案】(1)平行四邊形，證明見解析(2)24【分析】本題主要考查平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握其判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠EAO=∠DCO，運(yùn)用角邊角可證△AOE≌△COD，可得OD=OE，結(jié)合平行四邊形的判定方法“對角線相互平分的四邊形是平行四邊形”即可求解；（2）根據(jù)題意可得四邊形AECD是菱形，運(yùn)用勾股定理可得OD=3，由此菱形的面積計(jì)算方法即可求解．【詳解】（1）解：四邊形AECD為平行四邊形．證明如下：∵AE∥CD，∴∠在△AOE和△COD中，∠EAO=∠DCOAO=CO∴△AOE≌△COD(ASA∴OD=OE，又∵AO=CO，∴四邊形AECD是平行四邊形．（2）解：∵AB=BC，AO=CO，∴OB⊥AC，∴四邊形AECD是菱形，∵AC=8，∴CO=1在Rt△COD中，由勾股定理得OD=C∴DE=2OD=6，∴S【變式6-2】如圖，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形ADEF為菱形．(2)若∠ADE=130°，求∠AED的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)25°【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由三角形中位線的性質(zhì)可得DE∥AC，EF∥AB，即可得四邊形ADEF為平行四邊形，又由中點(diǎn)定義可得（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DEF的度數(shù)，然后根據(jù)菱形的對角線平分每一組對角求解即可．【詳解】（1）證明：∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，EF∥AB，AD=1∴四邊形ADEF為平行四邊形，∵AB=AC，∴AD=AF，∴四邊形ADEF是菱形；（2）解：∵EF∥AB，∠ADE=130°∴∠DEF=180°?∠ADE=50°，∵四邊形ADEF是菱形，∴∠AED=1【變式6-3】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，AC與EF交于點(diǎn)O，且EF垂直平分AC，連接AE、CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=6，求四邊形AECF的面積．【答案】(1)證明見解析(2)18【分析】（1）利用平行四邊形和線段垂直平分線的性質(zhì)可證△OAF≌△OCEAAS，即得AF=CE，即可得四邊形AECF（2）由AC⊥AB，∠B=30°可得∠ACB=60°，進(jìn)而可得△AEC為等邊三角形，得到AE=CE=AC=6，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)求出對角線EF的長即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥CE，∴∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AF=CF，∴△OAF≌△OCEAAS∴AF=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AF=CF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，∴∠ACB=60°，∵四邊形AECF是菱形，∴AE=CE，EF=2OE，∴△AEC為等邊三角形，∴AE=CE=AC=6∵EF垂直平分AC，∴OC=12AC=3∴OE=C∴EF=2OE=63∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列性質(zhì)中矩形具有面菱形不一定具有的是（

）A．兩組對邊分別相等 B．兩組對角分別相等C．兩條對角線互相垂直 D．兩條對角線相等【答案】D【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)此題難度不大，注意熟練掌握菱形與矩形的性質(zhì)定理．根據(jù)菱形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，可求得答案．【詳解】兩組對邊分別相等：是矩形和菱形共同的性質(zhì)；兩組對角分別相等：是矩形和菱形共同的性質(zhì)；兩條對角線互相垂直：是菱形的性質(zhì)，矩形不一定有；兩條對角線相等：是矩形的性質(zhì)，菱形不一定有．故選：D．2．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AC=8,BD=6，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接OE，若OE=CE，則OE的長是（

）A．2 B．52 C．3 【答案】B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出CD的長，等邊對等角結(jié)合等角的余角相等，得到OE=DE，進(jìn)而得到OE=DE=CE=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,OC=1∴CD=32+42∵OE=CE，∴∠OCD=∠EOC，∴∠ODE=∠EOD，∴OE=DE，∴OE=DE=CE=1故選B．3．已知菱形的周長為20，其中一條對角線的長為8，則另一條對角線的長為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，菱形各邊長相等的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理求AO的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的周長可以計(jì)算菱形的邊長，菱形的對角線互相垂直平分，已知AB，BO，根據(jù)勾股定理即可求得AO的值．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD,AO=OC，AB=BC=CD=DA，∵菱形周長為20，BD=8，∴AB=5，BO=4，∴AO=A∴AC=2AO=6，故選：C．4．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AD=3，則菱形AECF的面積為（

A．23 B．43 C．4【答案】A【分析】本題考查折疊性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)矩形和折疊性質(zhì)得到，AD=3，AC=23，進(jìn)而利用勾股定理求解CD=3，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CF=AF，DF=3?CF，然后利用勾股定理求得【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=3∴∠D=90°，AD=BC=3由折疊性質(zhì)得OA=AD=BC=OC=3，則AC=2∴CD=A∵四邊形AECF是菱形，∴CF=AF，則DF=DC?CF=3?CF，在Rt△ADF中，由AD2解得CF=2，∴菱形AECF的面積為CF?AD=2×3故選：A．5．“藍(lán)絲帶”一般指藍(lán)絲帶海洋保護(hù)協(xié)會，同時(shí)也象征著對保護(hù)海洋的呼吁．李老師用一段矩形綢緞制作了一條如圖所示寬為6cm的藍(lán)絲帶，若∠BAD=45°，則重疊部分圖形形狀和面積分別是（

A．平行四邊形，182cm2C．菱形，182cm2【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理．先證明四邊形ABCD是平行四邊形，則∠DAB=∠BCD=45°，如圖，作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，利用面積法證明AB=BC，得到四邊形ABCD是菱形，再由勾股定理求得AD=62，然后根據(jù)重合部分四邊形ABCD的面積為AB×DM【詳解】解：由題意知，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=∠BCD=45°，如圖，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，連接BD，則DM=DN=6cm

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABD=S∴AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠DAM=45°=∠ADM，∴AM=DM=6，由勾股定理得，AD=A則AB=62∴重合部分四邊形ABCD的面積為：AB×DM=62故選：D．6．如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得A，C之間的距離為12cm，B，D之間的距離為16cm，則線段AB的長為（A．9cm B．10cm C．11cm【答案】B【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由題意可得AB∥CD，AD∥BC，AM=AN，可得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得【詳解】解：連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四邊形ABCD由兩張等寬的紙條重疊在一起形成的，∴AB∥CD，AD∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S四邊形∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BDAO=12AC=6∴∠AOB=90°，∴AB=A故選：B．7．如果點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為菱形，則四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是（

）A．一組對邊平行而另一組對邊不平行 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】B【分析】據(jù)已知條件可以得出要使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)使EH=EF=FG=HG，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可以求出四邊形ABCD應(yīng)具備的條件．此題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)以及菱形的判定方法，正確運(yùn)用菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接AC，BD，

∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵FG=EH=12DB∴要使EH=EF=FG=HG，∴BD=AC，∴四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是BD=AC，故選：B．8．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD于點(diǎn)E．若AC=6，BD=8，則OE的長為（）A．125 B．245 C．6【答案】A【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OC=12AC=3，OD=12【詳解】∵在菱形ABCD中，AC=6，BD=8∴OC=12AC=3，∴CD=∴S∴1∴OE=12故選：A．二、填空題9．如圖，菱形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠BAC=25°，則∠OED的度數(shù)是．【答案】25°【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決這類問題的方法是四邊形轉(zhuǎn)化為三角形．根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得OE=OB=OD，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠DBE=12∠ABC=65°，從而得到∠OEB【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAC=25°，∴∠ABC=180°?25°?25°=130°，O為BD中點(diǎn)，∠DBE=1∵DE⊥BC，在Rt△BDE中，OE=OB=OD∴∠OEB=∠OBE=65°．∴∠OED=90°?65°=25°．故答案為：25°．10．如圖，菱形ABCD的邊長是2cm，DE⊥AB于