【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修二課時(shí)作業(yè)-1.7.3球

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十四)球一、選擇題(每小題3分，共18分)1.(2022·濟(jì)源高一檢測)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa【解題指南】該球的直徑等于長方體的對角線長.【解析】選B.由于長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，則長方體的對角線長為(2a)2+a2+a2=6a.又長方體外接球的直徑2R等于長方體的對角線，所以2R=6a.所以S球2.假如三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的()A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍【解題指南】可設(shè)出球的半徑，計(jì)算出三個(gè)球的體積，然后求得結(jié)論.【解析】選C.半徑大的球的體積也大，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為x，2x，3x，則最大球的半徑為3x，其體積為43π×(3x)3，其余兩個(gè)球的體積之和為43πx3+43π×所以43π×(3x)3÷4【變式訓(xùn)練】(2022·佛山高一檢測)兩個(gè)球的表面積之比是1∶16，則這兩個(gè)球的體積之比為________.【解析】由球的表面積公式S=4πR2和體積公式V=43πR3，有S1S2=1∶64.答案：1∶643.(2022·西安高一檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為23，則四周體A-B1CD1的外接球的體積為A.32π B.36π C.163π D.108π【解析】選B.由于四周體A-B1CD1是由面對角線組成的正四周體，所以其外接球?yàn)檎襟w的外接球，半徑為正方體的對角線的一半，即R=12(23)2×3=3，則外接球的體積為434.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長都相等，其外接球的表面積是4π，則其側(cè)棱長為()A.33 B.233 C.2【解析】選B.依題可以構(gòu)造一個(gè)正方體，其對角線就是外接球的直徑.設(shè)側(cè)棱長為a，球半徑為r.由于r=1，所以3a=2，則a=235.已知，棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個(gè)球，某同學(xué)畫出四個(gè)過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如圖所示，則()A.以上四個(gè)圖形都是正確的B.只有(2)(4)是正確的C.只有(4)是錯(cuò)誤的D.只有(1)(2)是正確的【解析】選C.棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個(gè)球，過棱錐任何三個(gè)頂點(diǎn)的截面都不過球心.6.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是323π，那么這個(gè)三棱柱的體積是A.963 B.16 C.243 D.483【解析】選D.由43πR3=323π，所以R=2.所以正三棱柱的高h(yuǎn)=4.設(shè)其底面邊長為a，則13·32a=2，所以a=43.所以V=34·(43)二、填空題(每小題4分，共12分)7.(2021·上海高一檢測)已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，則球O的表面積為________.【解析】由題知：△SAC，△SAB，△SBC均為直角三角形，O是SC的中點(diǎn)，從而OB=OA=12SC=OS=OC=32，所以球O的表面積為9答案：9π8.(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅰ改編)如圖，有一個(gè)水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，假如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為________.【解題指南】正方體容器上底面截球得小圓的直徑為正方體的棱長，結(jié)合截面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程，求出球半徑，再利用V=43πR3【解析】設(shè)球的半徑為R，由勾股定理可知，R2=(R-2)2+42，解得R=5，所以球的體積V=43πR3=43π×53=500π答案：500π39.(2021·福建高考)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡潔組合體，假如該組合體的主視圖、左視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是____________.【解題指南】只要清楚一個(gè)結(jié)論，外接球的直徑就是正方體的對角線.【解析】球是棱長為2的正方體的外接球，則球的直徑2R=22+22+22=23答案：12π【變式訓(xùn)練】(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正四棱錐O-ABCD的體積為322，底面邊長為3，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為【解題指南】利用正四棱錐的性質(zhì)，求得OA的長，即可得球的表面積.【解析】設(shè)正四棱錐的高為h，則13×(3)2h=322，解得高h(yuǎn)=322，則底面正方形的對角線長為2×3=6所以球的表面積為4π·(6)2=24π.答案：24π三、解答題(每小題10分，共20分)10.(2022·江津高一檢測)一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.【解析】(1)當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，球的軸截面如圖所示，由球的截面性質(zhì)知，AO1∥BO2，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.設(shè)球的半徑為R.由于π·O2B2=49π，所以O(shè)2B=7cm.由于π·O1A2=400π所以O(shè)1A=20cm設(shè)OO1=xcm，則OO2=(x+9)cm.在Rt△OO1A中，R2=x2+202在Rt△OO2B中，R2=(x+9)2+72，所以x2+202=72+(x+9)2，解得x=15，所以R2=x2+202=252，所以R=25cm.(2)當(dāng)截面位于球的兩側(cè)時(shí)，球的軸截面如圖所示由已知，類似于(1)得，x2+202=72+(9-x)2.解出x=-15，舍去.所以S球=4πR2=2500πcm2.11.已知正四周體的棱長為a，求它的外接球的半徑及外接球的體積.【解析】如圖，設(shè)SO1是正四周體S-ABC的高，則外接球的球心O在SO1上.設(shè)外接球半徑為R.由于正四周體的棱長為a，O1為正△ABC的中心，所以AO1=23×32a=SO1=SA2-AO1在Rt△OO1AR2=AO12+OO12=AO1即R2=33a2+63a-R所以所求外接球體積V球=43πR3=68πa【一題多解】如圖，如圖，設(shè)SO1是正四周體S-ABC的高，則外接球的球心O在SO1上，設(shè)外接球的半徑為R，由于正四周體的棱長為a，O1為正三角形ABC的中心，所以AO1=23×32a=延長SO1與球面交于點(diǎn)M，則SM為球的直徑，所以SM=2R，在Rt△SAO1中，SO1=SA2-AO1在Rt△SAM中，SA2=SO1×SM.所以SM=SA2SO1即2R=62a，所以R=64a，V球=43πR3=68一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·焦作高一檢測)一個(gè)正方體與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是()A.6π6 B.π2 C.2【解析】選A.由表面積面積相等得到正方體的棱長a和球的半徑r的關(guān)系a=6π3r，再由體積公式求得體積比為2.(2022·駐馬店高一檢測)一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，圓錐的底面半徑是球半徑的3倍，圓錐的高與球半徑之比為()A.4∶9 B.9∶4 C.4∶27 D.27∶【解題指南】設(shè)球的半徑為r，圓錐的高為h，依據(jù)體積相等，可得到r，h的關(guān)系.【解析】選A.設(shè)球的半徑為r，圓錐的高為h，則13π(3r)2h=43πr3，可得h∶r=4【舉一反三】本題在體積相等的前提下，條件改為圓錐的底面半徑與球的半徑相等，求圓錐的高與半徑的比.【解析】設(shè)球的半徑為r，圓錐的高為h，則13πr2h=43πr3，可得h∶r=43.已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S-ABC的體積為()A.33 B.233 C.4【解析】選C.由題可知AB確定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，如圖所示，設(shè)SD=x，則DC=4-x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S-ABD和C-ABD.在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD=BD=x.又由于SC為直徑，所以∠SBC=∠SAC=90°，所以∠DBC=∠DAC=45°，所以在△BDC中，BD=4-x，所以x=4-x，解得x=2，所以AD=BD=2，所以△ABD為正三角形，所以V=13S△ABD×4=434.(2021·遼寧高考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為A.3172 C.132 D.3【解題指南】對于簡潔組合體的相接問題，通過作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對集中在某個(gè)平面圖形中.【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過球心O和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓面，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心O′為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接OA，OO′，O′A，由勾股定理得，OA2=O′O2+O′A2.其中OA=R，OO′=12AA1=6，O′A=12BC=52，所以球O的半徑為OA=R=6二、填空題(每小題5分，共10分)5.(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________.【解析】由于α截球O所得截面的面積為π，所以截面α的半徑為1.設(shè)球的半徑為R，則AH=2R3，BH=4R3，由勾股定理得12+R32=R所以球O的表面積為4πR2=92π答案：926.已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的316，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________【解析】設(shè)球心為O1，半徑為r1，圓錐底面圓圓心為O2，半徑為r2，則有316×4πr12=πr22，即r2所以O(shè)1O2=r12-設(shè)兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高分別為h1，h2，則h1h2=r答案：1三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2022·蚌埠高一檢測)在正四周體ABCD中(AB=BC=CD=DA=AC=BD=a)，球O是內(nèi)切球，求球O的表面積.【解析】取DB中點(diǎn)P，連接PA，PC，OA，OB，OC，OD，設(shè)VABCD的高為h，球O的半徑為r，則VABCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-BCD+VO-ACD.即13×34·a2·h=4×13×34·又h=63a，所以r=6則S=4πr2=π6a2【拓展延長】處理多面體之間或多面體與球之間的切接關(guān)系問題時(shí)，常用的兩種轉(zhuǎn)化方法(1)轉(zhuǎn)化為平面圖形之間的內(nèi)切或外接關(guān)系.(2)利用分割的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算和推理變得簡潔，這里體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中格外重要的思想方法.8.有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的軸截面是正三角形，在這個(gè)容器內(nèi)注入水，并且放入一個(gè)半徑是r的鋼球，這時(shí)球面恰好與水面相切，那么將球從圓錐形容器中取出后，水面高是多少？【解題指南】容器的容積等于球的體積與水的體積之和，取出球后，水在容器內(nèi)形成小圓錐的截面仍是正三角形.【解析】如圖作出軸截面，因容器的軸截面是一個(gè)正三角形，依據(jù)切線的性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水面的深度為3r，水面半徑為3r，則容器內(nèi)水的體積為：V=V圓錐-V球=13π·(3r)2·3r-43π=53πr3將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為3hV′=13π·3h32